В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 65
Текст из файла (страница 65)
У!. МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Таким образом, окончательно находим соя 8 как функцию времени: соя 8= — 'соя6+ ~/ 1 — — *, я!пбсоя~ — '(1 — !)«)1, (6.102) а ао ! А где О, есть проекция кинетического момента на ось собственного вРащениЯ (О,=СГз), бз — величина полного кинетического момента. Если угол 6=0 (ось уэ направлена по вектору Оэ), то а, Сг, соя 8 = — ' = — = сопя1. а а й 5. Постановка задачи о движении абсолютно твердого тела с одной неподвижной точкой н однородном поле тяжести Предположим, что абсолютно твердое тело движется без трения в однородном поле тяжести таким образом, что одна из его точек неподвижна относительно инерциальной системы отсчета.
С неподвижной точкой совмещаем начала двух систем декартовых осей координат: «неподвижной» системы у„у„уз и системы главных осей инерцчи тела х, у, г. Ось Оуэ направляем вертикально вверх. Положение тела будем определять углами Эйлера, полагая, что ось г есть ось собственного вращения, а ось уз — ось прецессии. Далее предположим, что главные моменты инерции удовлетворяют неравенству А)В)С. Центр тяжести тела отметим буквой /(*), а координаты его относительно главных осей инерции буквами Х, У, Я. Составим выражение момента силы тяжести относительно неподвижной точки и найдем его проекции на главные оси инерции: / Ф Ш= — х у 21мд= тз тз тз ! = Мй (/(гуз — Уу,)+/(Ху, — гу,)+й (Уу, /(у,)), где У, = цэт = Я!п 8 Я!и 1Р, У, = азз = Я1п 8 соз 1Р, Уз = цэз соз 8 — косинусы углов между осями х, у, г и осью уэ (см, таблицу (6.37)), М вЂ” масса тела, яг — ускорение силы тяжести.
Уравнения движения тела мы составили, применяя динамические уравнения Эйлера (6.60) и дополняя их либо кинематическими уравнениями Эйлера (6.42), либо кинематнческими уравнениями Пуассона (6.49). *) См. рис. 6.!1 4 6. Обычное обозначение центра тяжести — букву С— заменяем здесь буквой Ц, так как через С обозначен одни нз главных мо. ментов инерцни тела, 4 з.
постлновкл злдлчи о движении тяжзлого тялл 4ОЗ Подставляя в правые части динамических уравнений Эйлера выражения проекций момента силы тяжести, запишем А „Я+(С вЂ” В) дг = Мй'(27» — Ууз) °  — +(А — С) гр= Мв(Х7» — 37«) Й~ С ~-'+ ( — А) рд = Мя ()'7, — Х7,). (6.103) (6.49) Таким образом, движение тела описывается системой шести дифференциальных уравнений первого порядка, в которой неизвестными функциями являются шесть функций: р, д, г, 7„7„7,. Функции 7, связаны, как мы уже отмечали, соотношением з '5'„71=1, которое иногда удобно рассматривать как первый ин«=1 теграл системы (6.49) (так называемый «тривиальный» интеграл).
Следовательно, для того чтобы получить общее решение, иам нужно найти п я т ь функций времени. Системы уравнений (6.103) и (6.49) можем представить в следующем виде: «Р «Ч зг 47» 47 Лтз Р 0 к г г, г где знаменатели зависят от р, д, г, 7„ 7„ 7„ но не зависят от времени. Это позволяет интегрировать отдельно пять уравнений, не содержащих времени, после чего найти время при помощи квадратуры, например, таким образом: ~ д)Р где Р' есть функция только р.
Для интегрирования системы пяти уравнений, не содержащих времени, нужно найти п я ть независимых интегралов. Если соотношение межДУ уз РассматРивать как интегРал, то Решение задачи сведется к отысканию четырех интегралов. Один интег- Мы видим, что в правые части входят в качестве неизвестных фУнкций 7ь ПоэтомУ к динамическим УРавнениЯм Удобно пРисоединить систему кинематических уравнений Пуассона: — = г7, — 47„ 7» Лтз лз = Р7» — г7и д =47» — Руз тз 404 ГЛ. НЬ МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА рал мы найдем, применяя теорему об изменении кинетической энергии (см.
уравнение (6.62)): йТ = (ш «Ы ЙФ). Записывая подробно и интегрируя, найдем — (Ар'+ Вдз+ Сг')+ Мя(Хут+ Куз+ Туз) Ве (6 1Об) Еще один интеграл найдем, проектируя уравнение кинетического момента (6.69) на вертикальную ось уз и принимая во внимание равенство нулю момента силы тяжести относительно этой оси: АРУС+ ВдУ»+ СГУ, = сопз1= ()з. (6. 106) Остается найти два интеграла. Однако рассматриваемая система уравнений обладает такими свойствами, которые позволяют снизить число искомых интегралов до одного*). Недостающий интеграл легко находится в важном для практики случае Лагранжа — Пуассона, который мы рассмотрим в следующем параграфе. Еще один случай движения абсолютно твердого тела с неподвижной точкой в однородном поле тяжести, в котором удалось найти недостающий интеграл и получить общее решение, был открыт С. В. Ковалевской, но описание этого случая не входит в наш курс.
Задача о движении тела с неподвижной точкой в однородном поле тяжести привлекла внимание многих исследователей. Был найден ряд частных решений, но, как выяснилось впоследствии, общее решение задачи — решение при любых начальных данных — могло быть получено только в случаях Лагранжа — Пуассона и Ковалевской *а) (см., например, (3), 1311).
й 6. Случай Лагранжа (качественное исследование движения). Быстрый волчок Рассмотрим движение абсолютно твердого тела с одной неподвижной точкой в однородном поле тяжести, не принимая во внимание трение в «подшипнике» и сопротивление среды. Предположим. что эллипсоид инерции с центром в неподвижной точке ") Это связано с тем, что дР дц дд дг, др де дг дуз Доказательство основано на теории множителя Якоби 1в нашем курсе зта теория не рассматривается). ") Общее решение находится и в случае Эйлера, но этот случай занимает особое положение в силу того, что момент внешних сил относительно неподвижной точка ранен нулю. 4 6. СЛУЧАИ ЛАГРАНЖА 405 есть эллипсоид вращения и что центр масс лежит на оси динамической симметрии.
Лагранж впервые исследовал движение тяжелого тела с одной неподвижной точкой при любом распределении плотности и показал, что если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то решение задачи сводится к вычислению эллиптических квадратур (к «спрямлению конических сечений» по словам самого Лагранжа) *). Поэтому случай, который мы будем рассматривать, называется случаем Лагранжа или Лаг- У ранжа — Пуассона "*).
з о На рис. 6,11 изображен эллипсоид инерции, центр которого совпадает с неподвижной точкой, а вдоль Ц оси динамической симметрии направ- на лена ось собственного вращения тела Ог. Центр масс тела (в однород- I / О за ном поле тяжести — центр тяжести) отмечен буквой Ц. Оси х, у, г — главные силы инер- Х ции. Относительно главных моментов Рнс. 6.11. инерции предположим, что они удовлетворяют условию А =ВФС.
Неподвижная ось и, направлена вертикально вверх. Расстояние ОЦ обозначим через 1, массу тела — через М. В качестве обобщенных координат выберем углы Эйлера. Задачу удобно решать, построив функцию Лагранжа Е: Е = Т вЂ” (7 — 1А (р'+ 8') + Сг'1 — МС1 соз 8. 1 Выразим р, с, г через производные от углов Эйлера по,времени, используя для этого кинематические уравнения Эйлера (см. 8 3 настоящей главы).
Функция Лагранжа будет иметь вид Е = — (А (фэ з)пэ 8+ 8») + С (ф соз 8+ ф)61 — Мй) соз 8. (6. 167) Мы видим, что функция Лагранжа не зависит явно от времени и, кроме того, имеются две циклические координаты — углы ~р и тр. Следовательно, уравнения движения допускают три интеграла — интеграл энергии и два циклических: Т+ Ь = сопз( = Еш дЬ дЬ вЂ” =Ст, —.=Са. дф д»р ) См. 117Ь т. И. '*) В 1815 г.
было опубликовано решение этой же эадачи Пуассоном, который а своей работе не ссылался на онубликоеанное ранее решение Лагранжа. 408 гл. ть мехлникз авсолютно твегдого тела Запишем зти интегралы подробнее: — !А (фз з(пз 9+ 9~) + С (ф соз 9+ ф)з]+ Мд( соз 9 = Ез, (6.106) С(ф соз 9+ф) =с„(6.109) А фа(язв+С(фсоз 8+ф) соз 8 =с,.
(6.110) Используя третье кинематическое уравнение Эйлера, найдем ф соз 9 + ф = сопз! = г„ (6.111) Афз)пз8+Сгзсоз8 сз, (6.112) где сз есть, очевидно, проекция кинетического момента на ось у„ т. е. сз = (Оез). Из интеграла (6.112) находим скорость прецессии в виде функции угла нутации: А япзВ (6.113) Зависимость скорости собственного вращения от угла нутации найдем из (6.111): (6. 114) Подставив (6.111) и (6.113) в (6.103), исключаем ф и ф и прихо- дим к уравнению с разделяющимися переменными + Ай +Сг;+2Мй! сох 9 = 2ЕО', А з1пзз отсюда ( †) — ' АВ Л 2Ео — Сгоо 2Мф (сз — Соо ссп В)з ) О о СОВ 9 3 О Ж) А А Аз япзВ Введем обозначения 2ЕΠ— Сооо 2МВ! со Соо ' =пз, — =и, — =р, — =т.
А ' А '"' А Отметим, что всегда а)0. Кроме того, будем предполагать, что гз)0. Сделаем обычную замену искомой функции, положив соз 8 = зв. Тогда правая часть уравнения будет представлять собой поли- пом третьей степени, а само уравнение примет впд (йо'1з си) — ) = (ПЗ вЂ” ПВС) (1 — Цоз) — (Р— тио)з. (6. 116) 4ОТ 5 6. СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА Правую часть уравнения (6.116) обозначим через Р(и): Р (и) = (и! — Лв) (1 — в') — (!А — ти)'. Переменные в уравнении разделяются. Интегрируя, найдем время ! как функцию от в: ,) УР( )' (6.116) Время ! выражено с помощью эллиптического интеграла с переменным верхним пределом.
Обращение интеграла позволит найти и=сов 8 в виде эллиптической функции времени. Затем, зная и(!), из (6.113) и (6.114) находим скорость прецессии ф и скорость собственного вращения ф, а значит, можем вычислить и сами углы <р и ф. Такова схема решения задачи. Решение задачи в случае Лагранжа находится в эллиптиче. ских функциях, и поэтому характер движения тела представить себе довольно трудно. Поскольку в силу уравнений движения мы получили дифференциальное уравнение первого порядка (6.115), то к исследованию движения тела в случае Лагранжа сможем применить метод качественного исследования (см. гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
