В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 69
Текст из файла (страница 69)
ть мвхлннкл лвсолютно твкадого талл Допустим, что в начальный момент времени ось гироскопа Ог совпадает с осью уз (или расположена близко к этой оси). Тогда зРа - .п/2. Поэтому здесь удобно угол прецессии заменить углом Резаля, положив и 2' Уравнение (6.146) примет следующий вид: 1ззтрз+ Сй ф соз а з(п (зр, — е) =Ми. (6. 146) Предположим, что момент М„, совпадающий здесь с моментом внешних сил относительно оси у„равен нулю (центр масс системы совпадает с неподвижной точкой, силы трения весьма малы). Предположим, кроме того, что скорость собственного вращения гироскопа постоянна и что й4а соза >О. При указанных условиях уравнение(6,146) совпадает с уравнением свободных колебаний маятника и будет иметь следующий вид: 1зззрч+ Сй зра сох а ейп (зрз — и) = О.
(6.147) Если начальные значения зрз((а) — е и ф,(1а) малы, то ось гироскопа будет совершать малые колебания около направления Юг— Север; приближенное значение периода этих колебаний будет равно (6. 146) Для того чтобы период колебаний оси гироскопа был не слишком велик, необходима достаточно большая угловая скорость собственного вращения *). Если в начальный момент времени трз((а)=а и зр,(уа)=0, то частным решением уравнения (6.147) будет зр,=и — ось гироскопа будет покоиться относительно Земли, указывая подобно магнитной стрелке на Север. Заметим, что в реальных условиях наличие трения приводит к некоторому искажению показаний гироскопа. Предположим, что й созолра ( О.
В этом случае уравнение движения можно записать так: 1зз рт — С ~ й <Га соз тз ! з (п (зрз — е) = О. Угол трз будет теперь колебаться около значения ( — и+ а). В этом можно убедиться, положив трз — е=)( — и. Уравнение движения оси гироскопа примет вид 1зз Х+ С ) й Фа сох ез ~ з 1п Х = О. 'У Колебания е большим нериодои трудно наблюдать. 4 а. МАГнито-кинемАтическАя АнАлОГия 4гб Линейным приближением для угла трт теперь пользоваться нельзя, так как оно приведет к расходящемуся решению. Здесь можно отметить аналогию с колебаниями маятника в однородном поле тяжести при условии, что направление силы тяжести изменено иа противоположное. ," 8. Магнито-кииематическая аналогия Укажем на аналогию между уравнением, описывающим движение магнитного момента в магнитном поле, и кинематическим уравнением (6.47), из которого мы вывели уравнения Пуассона.
Уравнение движения магнитного момента имеет вид оМ вЂ” = — Ч 174М1 й (6.149) где М есть магнитный момент, 74 — напряженность магнитного е поля, 9 = —, е — величина заряда, с — скорость света, т — масса Й~пс ' заряда (см, 1321) *). Из уравнения (6.149) следует, что )М! = сопз1. Крамерс 1391 показал, что скалярные уравнения движения магнитного момента можно записать в виде уравнений Гамильтона, принимая за обобщенные координаты угол собственного вращения ~р подвижной системы, с которой жестко связан вектор М и угол тр. В качестве обобщенного импульса ре нужно взять постоянную величину, а импульс ре следует положить равным рчсоз|. Функция Гамильтона определяется формулой О т) (74М). (6.160) Кинематические уравнения Пуассона мы выводили, исходя из векторного уравнения а (6.47) *) Напряженность магнитного поля мы обозначилн через Л для того, чтобы ма смешивать с функцией Гамильтона.
имеющего такой же вид, как и уравнение (6.!49) (см. 9 3 настоящей главы). Сопоставим постоянный по величине вектор еа с вектором М, вектор оз с вектором й. Вектор М неподвижен относительно вращающейся системы, а вектор еа — относительно неподвижной. Поэтому в уравнение (6.149) входит полная производная от вектора М по времени, а в уравнение (6.47) — относительная. Но в кинематике мы можем обратить движение и тогда отличия в системах отсчета и в производных не будет. Покажем, что если 42Е ГЛ. ЧЬ МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА мы положим Чт=ф, д,=ф Рч=сз=сопз(, Р, с соэа, а функцию Гамильтона запишем в виде Н=с,(4ае,)=(рып<р+дсоз~р))гр~ — рч+грч, (6.151) то кинематические уравнения можно будет представить в виде канонических уравнений Гамильтона.
Запишем в общем виде йр дН ~ф дН й дат' де дра ' ар дН арч дН вЂ” = — — =О, и ар ж д4 Правые части уравнений вычислим, используя формулу (6,151): ач) — = — (р з(п ~Р+асоз ~р) +г, рч )' 4 — ' й~ рч — = (р з 1п ~р+ а соз <р) = ~/рч — р' (6.152) ддч — = — (Рсоа ~ — азш ~с))г Рч — Р', рч = сопз1.
Нетрудно проверить, что первое из уравнений (6.152) совпадает с третьим кинематическим уравнением Эйлера, третье из урав- нений (6.152) — с третьим уравнением Пуассона, а второе кано. да ническое уравнение есть результат исключения — из первых Й двух кинематических уравнений Эйлера. Функцию и, определяемую формулой (6.151), можно назвать кинематической функцией Га44ильтана. Возможность записать кинематические уравнения в виде урав- нений Гамильтона интересна в тех случаях, когда динамические уравнения Эйлера можно проинтегрировать независимо от кинема- тических.
Проекции мгновенной угловой скорости р, д, г будут известными коэффициентами в уравнениях (6.152). Записав кине- матические уравнения в виде уравнений Гамильтона, мы можем применить некоторые методы аналитической механики, например метод Гамильтона — Якоби. )Аля приближенного интегрирования кинематических уравнений может оказаться полезным метод теории возмущений, основанный на вариации канонических постоянных. гллвл рп УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ й 1. Предварительные сведения Опыт лежит в основании законов механики; решения конкретных задач прямо илп косвенно проверяются опытным путем.
Но опыт, кроме того, во многих случаях позволяет сформулировать постановку задачи и внести в нее разумные упрощения. В результате наблюдений над каким-нибудь явлением (движением какого- либо объекта) мы можем получить предварительные сведения («предварительную информацию»). Это дает нам возможность уяснить себе в общих чертах характер движения. Так, например, наблюдения над движениями небесных тел показывают, что их движения не вполне точно согласуются с законами Кеплера: налицо малые отклонения от основного «кеплеровского» движения. Движение какой-либо системы может оказаться наложением колебательного, близкого к периодическому, движения на некоторое среднее движение. Амплитуды колебаний могут либо сохранять свою величину в течение достаточно продолжительного времени, либо заметно затухать.
Наблюдение за движением волчка указывает нам на стабилизирующее значение быстрого собственного вращения и т. п. Подобная предварительная информация позволяет в ряде случаев сравнить величины членов в уравнениях движения и, отбрасывая второстепенное, выделить главное. Таким образом, выделяется основное — иенозмущенное — состояние движения (зто может быть, в частности, состояние покоя), на которое накладываются возмущения. Подобное выделение имеет смысл, если сами возмущения (приращения координат точек и приращения скоростей) численно малы '). Возмущенное движение может возникнуть в результате малых изменений начальных условий либо под действием кратковременных импульсов. Возмущения могут вызвать также постоянно действующие малые внешние силы, Приближенное исследование возмущенного движения допустимо, если основное — невозмущенное — устойчиво (определение ') С целью избежать субъективности в оцениах величины членов в уравнениях движения полезно перейти н безразмерным переменным и тогда сравнивать все с безразмерной единицей, не заввсяпгей от того или иного выбора системы единиц.
428 гл, чп. гстончивость движения. мхльт колввлш|я устойчивости дано в 5 2). Поэтому на первый план выдвигается исследование устойчивости невозмущеиного движения. Строгое (соответствующее принятой модели) доказательство устойчивости невозмущенного движения дает основание для приближенного вычисления возмущений. При соблюдении некоторых условий мы будем иметь гарантию того, что отклонения переменных в возмущенном движении от их значений в невозмущенном не выйдут за некоторые предписанные малые пределы, по крайней мере в течение достаточно большого промежутка времени. Исследование устойчивости невозмущенного движения в тех случаях, когда мы знаем решение дифференциальных уравнений, основывается на анализе самого решения.
Если же решение не может быть представлено в замкнутом виде (не может быть выражено через известные функции времени или иной независимой переменной), то применяются те или иные методы качественного исследования движения. Приведем два примера, которые мы рассмотрели в главе И.
В й 4, излагая исследование Пуансо, мы установили, что перманентные вращения тела вокруг большой и малой осей эллипсоида инерции устойчивы в том смысле, что прп малой погрешности в начальных условиях — при малом отклонении оси вращения от осн эллипсоида — мы получим движение, мало отличающееся от перманентного вращения. Перманентное вращение вокруг средней оси яеустойчиво. Здесь невозмущенным движением является перманентное вращение, а возмущенным — то движение, которое возникнет в результате малой ошибки в начальный момент времени. В 2 6 мы рассмотрели частное решение уравнений движения в случае Лагранжа — регулярную прецессию.
Затем, предполагая, что величина г, (проекция мгновенной угловой скорости тела на ось собственного вращения) большая, мы, качественно исследуя нелинейные уравнения движения, оценили (строго) размах нолебаний оси собственного вращения и отклонение величины скорости собственного вращения от постоянной. Оценки показали, что, назначая достаточно большое г„ мы можем сделать сколь угодно малым размах колебаний оси волчка, а скорость собственного вращения — сколь угодно близкой к постоянной. В этом смысле можно говорить об устойчивости (при большом значении г,) регулярной прецессии в случае Лагранжа. Решение системы дифференциальных уравнений возмущенного движения можно искать в виде рядов, расположенных по степеням некоторых малых параметров, которые либо естественно входят в уравнения движения, либо вводятся искусственным путем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
