В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Описание этих методов не включено в книгу. В следующих параграфах будут рассмотрены основы теории устойчивости движения и равновесия и малые линейные колебания » а. ОснОВы ВТОРОГО метОдА ляпунОВА материальных точек и тел около устойчивого невозмущенного состояния. Малые линейные колебания (малые возмущения) описываются системами линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Впервые такие системы дифференциальных уравнений были составлены и проинтегрированы Лагранжем при изучении малых колебаний тел около положения равновесия (см. [17), т.
1, Динамика, отдел шестой). Исследование устойчивости движения и равновесия имеет большое значение в технических приложениях: проектируемый режим работы машины должен быть устойчивым по отношению к возмущениям, если они, разумеется, ограничены и не достигают катастрофических значений. В литературе известен выразительный термин «прочность» движения — устойчивое движение обладает как бы запасом прочности *). й 2.
Основы второго метода Ляпунова Общая теория устойчивости движения, созданная А.М. Ляпуновым, была предметом его докторской диссертации *е). А. М. Ляпунов предложил два метода исследования устойчивости движения. К первому он отнес совокупность всех способов исследования устойчивости, в основании которых лежит разыскание общих илн частных решений дифференциальных уравнений возмущенного дан>кения в виде бесконечных рядов. Ко второму методу были отнесены все те способы, которые основываются на построении некоторых функций времени и переменных, определяющих состояние движения системы, и не требуют разыскания решений дифференциальных уравнений возмущенного движения.
Функции, применяемые во втором методе, получили название функций Ляпунова. Основная идея второго (часто говорят — прямого) метода Ляпунова состоит в качественном исследовании поведения интегральных кривых системы дифференциальных уравнений возмущенного движения по отношению к некоторым поверхностям, которые могут либо меняться с течением времени, либо являются неподвижными интегральными поверхностями. По сравнению с первым второй метод Ляпунова проще и удобнее: он ие требует громоздких выкладок и доказательства сходимости рядов; поэтому второй метод применяется гораздо чаще.
Мы ограничимся кратким изложением основ второго метода "'*). ") См. [12), «О прочности движения», докторская диссертация, т. 1. ") Докторская диссертация А. М. Ляпунова «Общая аадача об устойчивости движения» была напечатана в 1892 г. "») дальнейшее развитие теория устойчивости движения получила в работак Г.
Н. Дубошняа [11[, Н, Г. Четаева 136) и прутик авторов, 430 ГЛ, У!1. УСТОПЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ Все последующее относится к исследованию движения голоиомных систем с конечным числом степеней свободы, т. е. к таким системам, движение которых может быть описано уравнениями Лагранжа 2-го рода (см. гл. !Ч) дд~ — д— =(с. (Б=1 2 " 1). д дТ дТ (4.67) Как мы видели, систему (4.67) можно заменить системой 21уравнений первого порядка следующего вида: дд, д дт дт — '=ч — — = — +(). д! х' Ш дт! дех (4.67') Если все активные силы потенциальны, то, вводя функцию Лагранжа 7. (д, 4); 1), мы можем записать систему уравнений пер.
вого порядка в виде (см. гл. Ч) ддх д И. д/. либо в канонической форме длх дН др, дН (5.24) д!'. где р, = — есть обобщенный импульс, Н (д, р', 1) — функция Гамильтона. Рассматривая уравнения Лагранжа 2-го рода, мы показали, что зти уравнения всегда (во всяком случае, для всяких классических систем) могут быть разрешены относительно вторых производных от координат по времени. Поэтому систему (4.67') или систему (5.10) мы можем представить в нормальной форме (7.1) (5.10) (7.2) ') Предполагается, что, во-первых, удовлетворяются условия существо.
ванна и единственности решения системы (7.1], а во-вторых, начальные ана. чения ча„и 4 „определяют имеющее смысл частное решение. Каждой системе начальных значений д,а, !),е или дю, т),е соответствует некоторое частное решение системы (7.1)*). Выберем из множества частных решений одно, которое будем считать невозму щенным. Обычно этот выбор основывается на той предварительной информации, о которой шла речь в р 1 настоящей главы. Пусть !)74 и 4)74 — начальные значения переменных в избранном невозмущенном движении, а !)~=4р~(1) !) ='т'(1) 4 т.
ОснОВы Второго метОДА лЯпУнОВА — соответствующее частное решение (все величины здесь вещественные). При 1 (о 0 ф«(0) = у>о> ф«(0) = 4>о Любое другое частное решение системы (7.1) будем, следуя А. М. Ляпунову, называть возмущенньом. Начальные значения переменных в возмущенном движении представим в виде д«(0) вю ало = >7«о+ е«, >), (О) — й.о = о)'о+ е> (7,3) Вещественные постоянные е, и е', назовем начальными возмущениями. Разности у,Я вЂ” >р,(1) и д,(1) — тр,(1) (1~1о) — последующими возмущениями или просто возмущениями обобщенных координат и обобщенных скоростей. В силу единственности решения системы дифференциальных уравнений возмущения обращаются в нуль, если равны нулю начальные возмущения е, и е,'. Если же е, и е,' не равны нулю, то будут отличны от нуля и последующие возмущения. Поведение возмущений, зависящих от времени 1 и от величин е, и е'„определяется свойствами невозмущенного движения.
Если при достаточно малых е, и е,'*) возмущения при 1)(о не выйдут за некоторые заданные, численно малые пределы, то невозмущенное движение будем называть устойчивым. В противном случае — нвуслюйчивым. Прежде чем дать строгое определение устойчивости невозмущенного движения, запишем уравнения движения в нормальной форме, вводя для переменных, определяющих состояние движения, единообразное обозначение х, '").
Положим у«(1)-ф«(у) хв(1) о)в(у) — ф«(у)=хг+ (1) (з=1, 2> ..., 1). (7.4) Прн подстановке функций ф,(8) и тр«(1) в систему (7.1) получим тождества ~ф т)«> ф г ('р чч 1). (7.5) Вычитая почленно (7.5) из (7.1), мы придем к следующей системе дифференциальных уравнений для возмущений; — ' = Х> (х, 1) (г = 1, 2, ..., 21). (7,6) «1 Имеются в виду численно малые величины, а не бесконечно малые, т. е. стремящиеся к нулю. ««) Неизвестными функпиямн в уравнениях движения являются обобщен. ные координаты и обобщенные скорости, т.
е. переменные, определяющие состояние движения системы. Поэтому, строго говоря, исследуется устойчивость состояния движения илв еостояння покоя некотоРой системы. 46й гл. чп. нстоичивость двнжвния, мллыв колввлния Относительно невозмущенного движения заметим, что ф ф«(( «)зе дз) Ь «Р (1 чз Фз). Поэтому неизвестные возмущения будут зависеть от времени ( и от начальных значений переменных в невозмущенном движении. Предположим, что функции Х, для всякого ( конечны, одно- значны и непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в области ~х~(( А.
Так как Х;(О, Г) =О, то невозмущенному движению отвечает нулевое решение системы (7.6). Дадим определение устойчивости. Невозмущенное состояние движения (будем говорить короче: «невозмущенное движениез), т. е. нулевое решение системы (7.6), называется устойчивым, если всяколгу положительному числу е ( Л соответствует такое положительное число б(е, что при началь- ных возмущениях, удовлетворяющих условиям (х„((б (з 1, 2...,, 21), будут справедливы неравенства ~ х,(г) ((е для всякого (т в(з. Через х„мы обозначили х,((,). Положительное число Л ие превосходит числа А.
Если при выполнении указанных условий 1)гп х, (() — О, когда г' — ь со, то устойчивость невозмущенного движения называется асимптотической. Всякое невозмущениое движение, не удовлетворяющее определению устойчивости, называется неустоичивым. Дадим самостоятельное определение неустойчивости. Невозмущенное движение называется неустойчивым, если всякой паре положительных чисел б и е, задаваемых произвольно, подчиненных лишь условию б < е ( Ь, соответствует такое число т ) йи что всегда можно найти вещеспиенные значения хыь удовлетворяющие неравенствам ~х„((б и приводящие при ( т по крайней мере к одному из равенств ( х, (т) ! = е. (7.7) Заметим, однако, что можно найти такое тг)у„что при (е((~тз будет ~х,(О~~в (в=1, 2, ..., 21).
Следовательно, в течение некоторого конечного времени возмущения будут ограничены и при неустойчивости невозмущенного движения *). «) Для неустойчивости невозмущенного движения достаточно, чтобы нашлась хотя бы одн а система начальных возмущений ямба,з~щб), приводящая к равенству (7.7). Если люба я система начальйык значений приводит к равенствам вида (7,7), то говорят, чтп невозмущенное движение абсолютно неустойчива.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
