В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Оси вращения тела и двух вспомогательных систем пересекаются в одной точке. Следовательно, результирующее движение тела относительно системы у„уя, ув будет вращение о мгновенной угловой скоростью ю, равной сумме ю', ю", ю (см. гл. 1, 8 11)! ю=ю'+ю" +ю . (6.40) Обе части равенства (6.40) проектируем на оси хя, хе, хв. ю, 4з(пззйп1р+9соз1р, юв $ з1п 9 соз 1р — 9 з(п ф, (6.4!) Юв (1 СОЗ 8+ф. а 3. кинемАтические и динАмические лРАвнения 38! называют кзазискоростямп '). Причина здесь в том, что результирующее положение тела при сложении вращений вокруг ортогональных осей зависит от «предыстории» вЂ” от того, в какой последовательности производятся повороты.
Углы поворота тела вокруг ортогональных осей не могут быть выбраны в качестве обобщенных координат "). Рассмотрим вывод кинематических уравнений Пуассона, обозначив для краткости а„= з 1п 9 з)п ф = уи аез = з)п 8 соз ~р = у„ азз = соз 6 = у,. Очевидно, что (6.43) ез = э«уз+ э«уз+ э,у,. Дифференцируем ез по времени: з з оез %1 лтз %! се! — О ~~э,— + ~~ у,—. ст з'з зм' ~~з М ' г з 1 По формуле Эйлера (6.44) Поэтому ~~'„эз ~ + [о»аз)=О.
мы можем рассматривать как относительную производную вектора е, по времени (относительную скорость). Сумма а Х т Ъ лг -[«ез] Ив~ 1 (6.46) дает выражение переносной скорости конца вектора ез. Запишем (6.44) в виде л,' = [взе»1. (6.47) «) См. [3!), зз) См. гл. 1, 4 1 (секторная скорость), 4 !2 (слоагевзе аращевза). Формула (6.43) дает выражение неподвижного вектора ез через его проекции на подвижные оси. Поэтому сумму з 382 ГЛ. Ть МЕХАНИКА АВСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА ~ = з»»7» — е»зуз> лт> — = з»>7» - з»»7» > тз (Ы (6.48) — = м»7> — е>>7».
тз >я В других обозначениях будет — гуз — >)7»> лт„ д Р7» — г7м >>т> (6.49) у =47> Руз. 4ъ Отметим, что в систему уравнений Пуассона не входит угол прецессии >р. Очевидно, что 7> не независимы, так как 7>+7»+тв 1 ° (6.50) Равенство (6,50) есть одно из равенств (1.57) (соотношений ортонормированности). Поэтому его надо рассматривать как уравнение свЯзи: тР и фУнкции 7м 7», 7> выРажены чеРез две независимые координаты. Однако равенство (6.50) может быть получено и как следствие системы (6.49): в силу (6А9) найдем 7> — =0; Х "—— т> >я отсюда 7,' ** сопз1.
~р ' Поэтому соотношение (6.50) часто рассматривают как интеграл системы (6.49) (>тривиальный» интеграл). В своей теории поверхностей 1Аарбу показал, что от (6.49) можно перейти к одному дифференциальному уравнению, если РассматРивать 7м 7з, 7, как кооРДинаты точек сфеРы единичного радиуса, выразив их через две независимые переменные-через параметры, определяющие прямолинейные образующие сферы. Эти параметры> являясь комплексными функциями уи будут Проектируя (6А7) на ося хм х„кз, мы получим систему кинематических дифференциальных уравнений Пуассона.
В 3. КИНВМАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИВ УРАВНЕНИЯ 383 удовлетворять уравнению Риккати вида ш з+ 2 + 2 где йз тз+ зту тз+ зту 1-тз ' 1+Уз (6.51) 0=~[то)йи, (6.52) ~ зз зз аз1 тз= [ау'1=1вз вз вз~ ° хз хз хз Удобно найти какую-либо проекцию вектора О, например О,: 0з = ~ (хз (взхз — взхз) — хз (азхз — взхз)) бзп = аз ~ (х,'+ х,') бпз — аз ~ хзх, Ьл — вз ) х,х, бш. Используя формулы (6.7), запишем 3 0з=* ~ удзаз з ! Следовательно, вектор 0 можно представить в виде з з 0= ~ч~~ т, 3,./,звз. (6.53) *=1 з Переходя к главным осям инерции х, у, з и обозначая единичные векторы, направленные по главным осям, через 1, ~, й, получим 0 = 1'7ххвх+,Фууву+ ь'7ххвхз 0 =1Ар+увд+ йСг. (6,54) Р = — 1; р, д, г - проекции вектора в.
Уравнения Риккати, как известно, в квадратурах не интегрируются. Общее решение можно получить двумя квадратурами, если известно одно частное решение. Следовательно, и уравнения Пуассона в общем случае (при любых р, д, г) не интегрируются (см., например, [101, т. 11, н 2, гл. Х1Х).
Обратимся к выводу выражений для основных мер движения тела с одной неподвижной точкой, используя оси х„ х„ х,. Кинетический момент определяем формулой 384 Гл. Т!.мвххникА АБсОлютнО твягдого твлА (6.56) в ! =1 Если в качестве осей координат выбрать главные оси инерции, то выражение кинетической энергии примет вид Т= 2 (~'~!о +~ггыч+ ! юы*) или Т = — (Арз+ В уз+ Сге). 2 (6.58) Уравнения движения тела с одной неподвижной точкой проще всего можно вывести, используя обобщение теоремы об изменении кинетического момента относительно неподвижной точки. Внешняя связь допускает виртуальный поворот вокруг любой осн, проходящей через неподвижную точку; поэтому мы можем записать уравнение кинетического момента в векторной форме (момент реакции, приложенной в неподвижной точке, равен нулю). Производная по времени оп! кинетического момента равна сумме моментов всех внешних (массовых и поверхностных) сил относительно неподвижной пючки: — й)с.
(6.59) Выразив вектор 0 при помощи формулы (6.54), получим Ыс, Вч сэ Вг ф ВЛ 1А — +у — + ФС вЂ” + Ар — + Вд — + Се — = ЯЙ. !а !й !и !и !я !и Найдем выражение кинетической энергии Т=! ~озб =! ~( )б (6.55) к Преобразуем скалярное произведение (ее!), используя формулу Эйлера: ( )=(( 1)=( (-В Подставим в (6.55): Т = — ~ ~ [ге) бт — (в!0). к Следовательно, кинетическая внергия тела с одной неподвижной точкой может быть представлена в виде половины скалярного произведения мгновенной угловой скорости тела на вектор кинетического момента. Используя выражение кинетического момента (6.53), представим кинетическую энергию тела в виде квадратичной функции проекций мгновенной угловой скорости: з з Т вЂ” ~ ~,(е,э1,вх.
(6.57) Ф». кинвмлтичвскин и динлмичаскив ррлвнвния Очевидно, что первые три члена в левой части представляют собой относительную производную вектора 0: «А — + г — + ФС вЂ” = —. ар ° ее ег йО ат ет е«' ет ' Так как по формуле Эйлера Ж . 4г' еа „вЂ” [е«1, „— = [еЯ, „—, = [ей), и у а Ар — + Вд — + Сг — [е0) = ~ р ет а«ат Ар Вд Сг Если 2г рассматривать как скорость конца вектора 0 относи- НО йО тельно неподвижной системы отсчета, то — будет скоростью Й относительно подвижной системы, а [е0) — переносной скоростью. Эти «скорости» имеют ту же размерность, что и момент сил.
Следовательно, уравнение кинетического момента можно записать в виде — + [е0]=ЧЖ. Проектируя векторное уравнение на главные оси инерции, полу- чим три скалярных уравнения: А — + (С вЂ” В) аг = И„, Нр В „~ + (А — С) гр = 6))е, С вЂ” '+ ( — А) ра = йй,. (6.60) Система (6.60) представляет собой систему динамических ураенений Эйлера, правые части которых (проекции главного момента внешних сил) могут зависеть от углов Эйлера, от проекций мгновенной угловой скорости и явно от времени.
Система дифференциальных уравнений (6.60) вместе с системой кинематических уравнений (6.42) образуют систему из шести совместных дифференциальных уравнений первого порядка. В общем случае все шесть уравнений нужно интегрировать совместно. Иногда системы (6.60) и (6.42) удается интегрировать раздельно. !3 в. в. п«1«евич 386 ГЛ. ЧЬ МЕХАНИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Для того чтобы получить частное решение, нужно задать в начальный момент времени шесть величин: фо, эь, фь, фо. 6«, фь Вместо начальных значений производных от углов Эйлера можно задать рь, дь, гь. Выведем уравнение кинетической энергии тела с одной неподвижной точкой.
Это уравнение при консервативных силах и при отсутствии трения допускает интеграл энергии. Уравнение кинетической энергии можно получить из (6.60), умножая обе части первого уравнения на р, второго на д, третьего на г и складывая их почленно. л«ы же выведем его, обобщая теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек. Если нет трения в «шаровом подшипнике», то связь — неподвижная точка — будет идеальной и стационарной. Следовательно, дифференциал кинетической энергии будет ровен сумме влементарных работ всех внешних (массовых и поверхностных) сил на действительном перемещении.
Используя формулы (6.27) и (6.28), запишем йТ = ~ (~ йг) бт + Ц (Р„й ) бо. (6.6!) Выразим йг по формуле Эйлера: йг'=(«ь й! г]. Тогда ) (у йг) бт = ) (у («в й! г1) бт = (' «ь й! ~ (гу1 бт) = (ь» йГ Щ! !). « « Аналогично, й. (Р йг) бо («эйГЩ<а!) « Следовательно, сумма влементарных работ внешних сил, приложенных к телу с одной неподвижной точкой, равна скалярному произведению вектора ь»й! на главный момент всех сил относительно неподвижной точки. Уравнение кинетической энергии будет иметь вид йТ = (ь» й( Щ), Щ Щ«а>+ Щ«в! (6.62) где Выведем еще уравнения Лагранжа 2-го рода, принимая за обобщенные координаты углы Эйлера. Заметим, что при вывода уравнений Лагранжа удобнее рассматривать кинетическую энер.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
