В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 78
Текст из файла (страница 78)
(7.89) Заметим, что если рв)ув, то один из корней характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть. Следовательно, гироскопическая стабилизация недостаточна— неустойчивость сохраняется. При рв(ув мы получим решение и виде комбинации гармонических колебаний. Казалось бы, тем самым доказана возможность гироскопической стабилизации. Но так как результат получен в первом приближении (в первом приближении равны нулю вещественные части корней характеристического уравнения), то об устойчивости невозмущенного движения судить нельзя е).
Однако устойчивость быстрого вращения волчка вокруг вертикальной оси может быть доказана строго (при отсутствии диссипации) либо построением функции Ляпунова, либо — и это проще — тем способом качественного исследования, который был применен в случае Лагранжа. Если мы построим график функции Р(цс), где цс =сова (см. гл. )с'1, рис. 6.12), полагая, что угол ае численно мал, а проекция угловой скорости г, достаточно велика, то увидим, что два корня уравнения г" (пс) = О будут близки к единице (асс<псе<1) и расстояние между ними будет мало.
Значит, если мы, желая совместить ось собственного вращения с вертикалью, допустим малую ошибку, то при достаточно большом значении ге получим движение, близкое к желаемому. Предположим, что действуют еще диссипатнвные силы, и запишем уравнения (7.87) с добавлением проекций этих сил: У, + 27Хв+ Ь„х, + Ь„х, — р'х, = О, х, — 27х, + Ь мха + Ь„ха — )сехв —— О. Частные решения ищем в виде хд 7( икс хе=К евс Характеристическое уравнение будет уравнением четвертой степени: (х + Ь„,н — рв) (х + Ь„н — )св) + (4ув — Ь с в) хв = О.
Записав это уравнение в виде (н — хс) (х — хв) (х — нв) (х — х ) = О ') См. теоремы Ляпунова, относящиеся к устойчивости по первому при. ближеиию. 474 ГЛ. УГЬ Устойчивость ДВИЖениЯ. мАЛЫе КОЛЕБАНИЯ н принимая во внимание знаки свободного члена н коэффициента при и В первой степени, мы придем к неравенству (7.85), которое указывает на то, что хотя бы у одного корня имеется положительная вещественная часть, т.
е. что равновесие неустойчиво. Следовательно, днсснпатнвные силы разрушают гироскопическую стабилизацию. Обратимся теперь к постоянно действующнм силам (часто нх называют вынуждающими силами илн постоянно действующими возмущеннямн). Подобные силы возникают в результате взаимодействия рассматриваемой системы с какнми-лнбо другими снстемами, причем взанмодействие это рассматривается «односторонне»вЂ” данная система считается пассивной, а возмущающие силы — внешними «). Заметим, что если возмущающие силы никак не ограничены, то применение уравнений первого приближения недопустимо— результат будет весьма далек от истины.
Запишем уравнения возмущенного движения в виде системы 2Р уравнений первого порядка, обозначая неизвестные через х,: — ' = Х, (х) + У, (х, » ), (7.9! ) где Х,(х) — известные функции х„..., х„такне, что Х,(0) =О. Через У,(х, () мы обозначили возмущающие силы, причем У,(0, г) ~0. Условимся под невозмущенным движением понимать нулевое решение системы — "; =Х,(х) (7.92) (правые части могут явно зависеть от времени).
Дадим определение устойчивости прн постоянно действующих возмущениях. Невозмущенное движение называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях, если всякому произвольному положительному числу е ( А соответствуют такие положительные числа Ь и В (б~е), зависящие от е, что из неравенств ~х,(0)~(б, (У,(х, Ф)/ СВ (/х,~(А) следуют неравенства ,' х, (7) , ,'< е, ') В виде примера можно привести огрзниченные задачи небесной механика; можно также указать ив взвимодействие сейсмографа и Земли, й в. силы днсснплтивныи, гнросхопичвскив, выниждлющив 475 еде х,(1) есть любое решение системы (7.91). В противном случае нулевое решение системы (7.92) называется неустойчивым, как бы ни были малы числа В е).
Рассмотрим теперь малые линейные колебания при наличии возмущающих сил. 11усть известно устойчивое положение равновесия некоторой системы. Совместим с ним начало координат и запишем уравнения первого приближения в виде х,+щ,'х,=О (в=1, 2, ..., 1), (7.93) где х,— нормальные координаты. Нулевое решение этой системы примем в качестве невозмущенного состояния. Уравнения возмущенного движения запишем, добавив возмущающие силы: х,+ю',х,=у,(х, 1). (7.94) Интересны возмущающие силы, представляющие собой периодические функции времени, которые мы запишем в комплексной форме, положив г', = М,е'л', (7.95) где [з = — 1, р есть вещественная постоянная частота, не зависящая от номера координаты, М,— амплитуда возмущающей силы, которая может быть комплексной.
Запишем уравнения возмущенного движения в первом приближении: х, + щ,'х, = М,еов (7.96) Общее решение системы дифференциальных уравнений (7.96) складывается из общего решения соответствующей однородной системы и частного решения неоднородной.
Общее решение однородной системы описывает свободные колебания консервативной системы в окрестности устойчивого положения равновесия. Частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений — вынужденные колебания, навязанные возмущающим действием активной системы. Таким образом, возмущенное движение будет представлять собой наложение вынужденных колебаний на собственные колебания. Общее решение системы однородных дифференциальных уравнений мы уже рассматривали, поэтому ограничимся отысканием частного решения системы (7.96). Положим х, = [ч,е'м. (7.97) ') См. [111, где рассматривается устойчивость при постоянно действующих возмущениях и доказана теорема Дубощинв — Малкина о достаточных условиях устойчивости при постоянно действующих возмущениях.
Эзметим, что нв внд Самых функций уз(х, 1) никаких огрвничений не нвклвдывветсн. 476 гл. идд. тстоичнвость движения. милые колпплния Подставив (7,97) в (7.96) и сократив на егпг, получим Ьдх (дод — Р') = М . )Чг=Мд(од — Р ) Отсюда (7.98) Яд+ Ь„х, + Ь„х, + пд1хд = Мдпдид, х, + Ь„х, + Ьддхв+ шгхэ = Мхедлд (7.99) (частота возмущающей силы не зависит от номера координаты). Часткое решение ищем в виде х, = 1е' дпдрд, х, = дд1дпгрд. (7.! 00) Подставив (7.100) в (7.99), получим два уравнения для амплитуд: Ь(д (ш1 — Р'+ дРЬп)+ Ь(д (дРЬ„) = М„ Фд (дРЬэд)+Фи(одэ Р +дРЬхэ) =Мд. Мы пришли к системе неоднородных уравнений, поэтому определитель системы Л должен быть отличным от нуля.
Находим й(д и дЧх: М д (м1 — р'+ драм) — Мддрв де д й Э М, (м', — р'+ дрбдд) — М,гран Л здесь йд=(од) — Р +дРЬ,д)(одэ Р +дРЬт)+Р Ь(э. Положим -да дд1, = л,п (7.102) где л, и а,— вещественные числа, и запишем частные решения в комплексной форме х, = л,ед(р' ах), (7.103) '1 медод малых колебаний подает лишь сигнал о гои, что воэможип реэонэис и свиээииое с иим опасное увеличение амплитуды.
Решение имеет смысл, если частота возмущающей силы р не совпадает ни с одной нз собственных частот системы. При сближении частот р и од, амплитуда вынужденных колебаний неограниченно растет и наступает явление резонанса, для описания которого метод малых колебаний непригоден *). Положим число степеней свободы равным двум и рассмотрим вынужденные колебания при наличии слабой диссипации, которая всегда имеется в реальных условиях. Уравнения запишем в нормальных координатах: 5 9 ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 477 Очевидно, что числа а, выражают сдвиг фазы вынужденного колебания по отношению к фазе возмущающей силы.
Отметим, что невозмущенное состояние будет неустойчивым при постоянно действующих возмущениях, если частота возмущающей силы близка к одной из частот собственных нормальных колебаний системы. й 9. Равновесие системы свободных материальных точек относительно вращающейся системы отсчета Рассмотрим систему, состоящую из и свсбодиых материаль- ных точек. Допустим, что внешних снл нет н ччо силы взаимо- действия между любыми двумя точками зависят только от рас- стояния между этими точками. Такие замкнутые системы служат упрощенными моделями систем небесных тел (задача и тел) и, с некоторой ищяжкой, сильно идеализированными механическими моделями многоатом- ных молекул*). Если между материальными точками действуют силы взаим- ного притяжения, то пространственная конфигурация может существовать при условии, что радиусы-векторы точек враща- ются в пространстве, но так как у такой системьг нет твердого скелета, то угловые скорости у различных радиусов-векторов чаще всего не будут совпадать.
Радиусы-векторы всех точек мо- гут вращаться с обшей угловой скоростью лишь при соблюде- нии некоторых условий. Прежде всего мы выясним, что пред- ставляют собой так называемые «вращательные степени свободы» системы точек, а затем выясним условия, при которых возможны действительные «жесткие» вращения. Положения точек относительно неподвижной системы будем определять декартовыми координатами «г, г)г, Ьг. Число коорди- нат равно Зп.
В силу голономности число независимых вариа- ций — число степеней свободы — также равно Зп. Среди всех совокупностей вариаций координат (виртуальных перемещений) можно выделить шесть таких, при которых не изменяются расстояния между точками — «жесткие» виртуальные перемещения. Это, во-первых, три поступательных перемещения, при которых б|г=бВ, б г=бН, б~г=Ы, или поступательное виртуальное перемещение вдоль произвольной прямой. Во-вторых, три вращательных виртуальных перемещения вокруг координатных осей — повороты всех радиусов- Задачу о колебаниях молекул предложил рассмогреть В, А(. Кривчеииоа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
