В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 79
Текст из файла (страница 79)
478 гл. чп. устончивость движання. мдлыи колввдния лютной» скорости точки М,: / Ф1 ть = Рхз+ уу; + йг; + ~ д х; Уз г; (7.!04) где Р, г', й — единичные векторы, направленные по осям х, у, г. Запишем функцию Лагранжа, принимая за обобщенные координаты х» у» г~е): о (. = — ~т, [(х;+дг,— гуз)'+ (у,+гх; — рг;)'+(г,+ ру~ — дхз)»~(Р(рд), »=~ (7.105) где рд = ~Г(ху — хз)'+ (уу — у,)'+ (гг — г;)', (Р (рд) — потенциальная энергйя системы. Уравнения Лагранжа будут иметь вид ды т; [х;-1- 2дг, — 2гуз+ г~д — у Р— (д»+ г»)хз+ гргз+ рдут[+ — „= О, ду т; [у', + 2гй, — 2ргз+ х,Р— г,р' — (г'+ р')у;+ дгг, + рдх; 1+ — = О, Уз до тДХ;+ 2ру< — 2дд, + у~Р— хзд — (р»+ д»)г~ + дгу;+ грхд) + — = 0 (7.106) (1 = 1, 2, ..., и).
Для того чтобы выяснить условия, при которых возможны «жесткие» действительные вращения системы материальных точек, предположим, что точки покоятся относительно вращаю- ') Декартовы координаты не всегда являются самыми удобными, но здесь вто не имеет значения. векторов точек на углы 6сс, 66, 67. Этн три поворота эквивалентны одному повороту вокруг произвольной оси, проходящей через начало координат, на произвольный угол 6)(.
В этом смысле можно говорить о трех поступательных и трех вращательных степенях свободы и точек. Все остальные (Зи — 6) комбинации виртуальных перемещений будут связаны с изменением расстояний между точками, т. е. с изменением конфигурации системы. Предположим, что центр масс системы неподвижен, и введем две системы декартовых координат с общим началом в центре масс. Одна система $, т), ь неподвижна, а вторая х, у, г вращается с п р о и з в о л ь н о й угловой скоростью в» (1) вокруг оси, проходящей через центр масс. Обозначив проекции вектора «о(1) на оси х, у, г через р, д, г, запишем выражение «абсо- 4 в.
относитнльноа елвновнсив мдтвенлльных точек 478 щейся системы координат. Тогда х1=у!=й! О. Система уравнений (7.106) примет вид и!; [г!!) — у,.г — (о»+ та)х!+ трг, + руут]+ — = О, дх! и!! [х!т — г!р — (ге+ р')у!+ Рух!+ чгг!]+ д — — О, ду! т! [у Р— х!!) — (Р'+ у')г!+ угу, + грх.] + — О. дг! (7.107) Запишем для системы точек интеграл энергии л — и!!и! + (7 (р) = сопя( ~ Ее, (7.108) т=! где е, есть скорость точки М; относительно неподвижной системы отсчета.
Если точки системы не движутся относительно вращающихся осей, то еабсолютные» скорости точек совпадут с переносными и интеграл энергии (7.108) примет вид л — ~) т! [(уг! — ту )'+ (гх — рг)'+ (ру; — ух!)']+ У (р) = Е,. 1 !=! (7.109) При относительном равновесии координаты хь уь г! не зависят от времени. Постоянны и ру. Следовательно, проекции угловой скорости вращения системы не могут зависеть от времени — ве- личины р, д, г должны быть постоянными. Отсюда мы заклю- чаем, что вектор о» неподвижен и относительно осей $, т), ь*).
Следовательно, в уравнениях (7.107) надо положить р = !) =т = =О. Координаты точек в относительном равновесии найдем, решив систему уравнений: щ; [ — (у»+ гз)х!+ грг!+ Руу!]+ — = О, л1; [ — (г'+ р») у! + Рух; + утг!]+ — = О, ду! и! [ — (р'+ у')г, + угу!+ грх,:]+ — = 0 дг! (1=1, 2, 3), где р, д, г — постоянные*е). 4в Ъю !)е» ') Это следУет из тото, что — = — -1 (еив) Й д! *') Рассматриваемая задача родственна с задачами о фигурах равновесия жидкой вращающейся массы 1181. Аео гл.
Ун, устоичивость движения. мАлые кОлеБАния Запишем теперь уравнение кинетического момента —,=0 ~о ~1~ или — +!Е»01=0, г)а где 6 есть кинетический 3а осей, — — относительная г)1 е1 — постоянные, то — =О, йо Ф [ы01= 0; -е = — *=А. а о, г а х Р (7.111) При »жестком» движении системы свободных материальных 1о- чек кинетический момент имеет вид кинетического момента абсо. лютио твердого тела. Следовательно, О, =,!ххр+ !ха+,Гхгг.
0»=.7»„р+/„га-,'- /г,г, 1г, = )гхр+ )гга+ )„г, (7.112) где все мо»1еи1ы шнрции постоя нные. Пропорция (7.!1!) приводит к системе уравнений: (Ухх — ))р+ У„гд+ )„,г = О, ,(г р+(!гг — Л)у+1»,г =О, У,„р+ 7,»а + (7„— Д)г = О. (7.!! 3) Отсюда ! ( Гхх Х) )хг г хг ( ,„- ",) „, ( =О. Хх:г 'Ггг (Хгг Х) (7.
114) Кубическое уравнение (7.114) имеет три вещественных корня, )1, А„Х„представляющие собой главные моменты инерции си- стемы точек. Подставив поочередно корни »1 в систему (7.!13), ГРЫЛ 14)Н1 найдем отношения 1 — ~ н 11 — ), определяющие направления ~ ) главных осей, Следовательно, отсюда момент относительно неподвижных производная. Так как р, д, г, хь у1, 4 В. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЯ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 48! Следовательно, «жесткие» вращения возможны т о л ь к о вокруг главных осей инерции-они родственны перманентным вра. щениям абсолютно твердого тела в случае Эйлера (см.
гл. Ч!). Однако имеется и существенное различие, которое состоит в том, что абсолютно твердое тело может вращаться (в действительном движении) относительно любой оси, тогда как система свободных точек может вращаться с сохранением конфигурации только вокруг главных осей инерции. Здесь ие имеет смысла постановка вопроса об устойчивости перманентных вращений неизменной конфигурации. В задаче и точек прежде всего возникает вопрос об устойчивости самой конфигурации *). Обратимся к задаче трех точек и, не снижая общности, по- дй' ложим г; О. Так как теперь — =О, то из третьего уравнения дгз системы (7.110) найдем (7.115) г (рхз+ гауз) = 0 (! = 1, 2, 3).
Покажем, что р=д=О, г ~ 0. Допустим, что, наоборот, (7.116) оз =к=О. (взг«)=с;ФО, т. е. что ось вращения треугольника, проходящая через центр масс, лежит в его плоскости (рис. 7.8). Если сторона треугольника М;М, пересекает ось вращения и не перпендику. лярна к ней, то сумма сил, приложенных к к а ж д о й „,г и точке, не может обратиться г„ ! в нуль, так как силы взаи- / модействия направлены по сторонам треугольника, а ли- « I ния действия центробежной Рнс. 7.8.
силы инерции перпендикулярна к оси вращения. Если же сторона МзМТ перпендикулярна к оси вращения, то заведомо не может обратиться в нуль сумма сил, приложенных к точке М„. Относительное равновесие невозможно. Поэтому (пзгз) =0 и оз„=р=О, от„=у=О.
Итак, фигура равновесия — треугольник — вращается с постоянной угловой скоростью оз, = г вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной к плоскости треугольника. Координаты вершин мы найдем из уравнений (7.110), *) Упрощенно мох«но сказать, что прн изменении осн вращения центробежные силы будут «растаскнвать» материальные точки, увеличивая нк рас- чтонпня от осн н тем самым изменяя конфнгурацн1о, зйй гл.
чп. истончивость движвния. мллыв колввлния положив гс=О, р=у О: — — спу'хс = О, — — тсгзус О (1 = 1, 2, 3). (7.117) дкс ' ' Ус Полученный результат известен из решения задачи трех тел в небесной механике — это треугольные решения Лагранжа. $10. Малые колебания системы материальных точек около положения относительного равновесия В качестве невозмущенного состояния системы трех свободных точек будем рассматривать равновесие относительно вращающихся осей, предполагая, что вращение происходит вокруг одной из главных осей инерции. В этом состоянии на точки действуют внутренние силы и центробежные силы инерции.
Состояние относительного равновесия можно рассматривать как установившееся движение системы точек относительно неподвижных осей, но такой подход не всегда удобен. Под влиянием мгновенных возмущений начнется возмущенное движение. Если невозмущенное движение устойчиво, то при надлежащем выборе переменных возмущенное движение можно описывать уравнениями первого приближения. Возмущенное движение есть движение точек относительно вращающейся системы отсчета, поэтому кроме центробежных сил появятся силы Кориолиса.
Силы Кориолиса — частный вид гироскопических сил— мы будем рассматривать как возмущающие силы. Назовем функцию з У(х, у г)=(7(рсс) — ~ ~~~~~ г (хс+ус)т; (7.118) с-с приведенной потенциальной энергией и предположим, что в положении относительного равновесия функция у (х, у, г) имеет изолированный минимум. Следовательно. положение относительного равновесия устойчиво. Действие возмущающих гироскопических сил не нарушит устойчивости невозмущенного состояния. Важно подчеркнуть, что возмущения изменят лишь относительное движение системы точек. Вращение подвижной системы отсчета не изменится под влиянием возмущений.
Обозначим координаты точек в положении относительного равновесия через хс, уе и сделаем замену переменных, положив хс=хс+и» ус=ус+о» гс=псс, хс=й» ус=о» йс=сйс, (7. 119) где и» о» псс, и» йс, сйс — малые возмущения*). '1 для изучения малых линейных колебаний не нужно фактически ре исеть евсееву уравнений (7.117). $ !О. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 483 (7.120) Под (Г(и, о, и) здесь понимается квадратичная функция пере- менных ии о!, в! с постоянными коэффициентами. Уравнения Лагранжа будут иметь вид т; [ й, — 2гд« вЂ” г' (х," + и«)] + — = О, ди; т![ б;+2гй« вЂ” гз(у7+о!)]+ — =О, « (7.121) дУ лй (с«+ — =0 « (1=1, 2, 3). дУ дУ дУ В состав †, †, — войдут слагаемые вида ди! ' ди! ' д«и! дУ! дУ ди; /и.=в ди! !««.
«7' дУ! дУ див !в«. с дУ! ~!в«. Р«Э« которые в силу уравнений (7.117) взаимно сократятся с членами — т;г'х7, — т!г'у,". Предположим, что зависимость всех внутренних сил от расстояний между точками одинакова. В уравнения (7.121) внесем выражения проекций сил, минуя явное выписывание разложения потенциальной энергии, и разделим обе части ках<дого уравнения на т;: ~с„в(и,— и,), "'+в ,Я~ свв (с«ов)« «ф« ~ с«в (!с, — !с,), «~в й, — 2гд, — гти, = б,+2ги,— гвс,= (7.122) где с„— постоянные, зависящие От а,=г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
