В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Предположим, что ') О силах, действующнз на абсолютно твердое тело, подробнее сказано и гл. Ч!. 5 «СТАТИЧЕСКИИ ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЛ 193 тело свободно, значит, его положение определяется шестью параметрами, а так как уравнения внутренних связей конечные, то и число степеней свободы равно шести. Уравнения внутренних связей не содержат времени, поэтому вариации координат точек тела моя!но вычислять по фор!лулам для действительных перемещений — по формулам Эйлера. Пусть )ч„— радиус-вектор точки М с началом в неподвижной точке О системы координат х, х, х„)ч' — радиус-вектор точки тела О', в которой помещено начало поступательно движущейся системы координат у,у,уе (рис.4.7).
Тогда 6К„= 6Я'+ [е буг„), где е бу есть вектор, изображающий виртуальный поворот вокруг произволь- х, но направленной оси, про- рве. 4.7. ходящей через точку О'. Запишем равенство нулю суммы виртуальных работ активных сил: ,Я~ (Ра 6«ча) Ое а=! или л л (Ра 6!о )+ ~к~! (Ра [в буГа!!) — О а В смешанном произведении изменим порядок сомножителей и, замечая, что ебу и 6)ч' не зависят от номера точки, получим л л м Х л.)«( ь! Х ! .л.!)-!. а =1 а В силу независимости бес' и ебу мы приходим к условиям равновесия одного свободного абсолютно твердого тела; л л ~Ч', РаллО, Я [ГаРа1=0.
(4.37) а ! Для равновесия абсолютно твердого тела необходимо и достаточно *), чтобы сумма всех сил и сумма моментов всех сил атно. сипмльно любой тачки были равны нулю. «) Прн условии, что в некоторый момент времена тело поковтся, у В. В. Пете«лвч! 1з4 гл. пл мкхлникл ллгялнжл. влоилпионныв принципы й 5.
Динамический принцип виртуальных перемещений— принцип Даламбера — Лагранжа Пусть система материальных точек и тел движется относительно инерциального базиса (инерциальной системы отсчета). Положение точек пока будем определять декартовыми координа« тами. Запишем уравнение движения точки М„как несвободной точки: ееа то,и — «о+ («а « (4.38) где «а — «о««+ «а ««а — ««а + «'«о Здесь индексом «е» отмечены внешние (активные и пассивные) силы, индексом «(» — внутренние (гл. П1, р 2). Уравнение (4.38) перепишем в виде уравнения равновесия: гт„+ гс — т„ф = О. (4.39) Векторы ( — т„— ) назовем силами Даламбера (часто их назыееа« и) вают «силы инерцйи Даламбера»). Уравнение (4.39) можно прочесть так: ари движении системы материальных точек относительно инерциального базиса активные силы и реакции связей в каждый момент времени уравновешиваюл«ся силами Даламбера '), В этом состоит принцип Даламбера (1743 г.).
Ценность принципа Даламбера в том, что уравнениям динамики придается вид урав. пений статики и, следовательно, в динамике может быть применен хорошо разработанный аппарат статики. Предположим, что связи, наложенные на точки системы, идеальные, но, может быть, зависящие от времени. Дадим системе виртуальное перемещение. Тогда, при условии л ,У', (г«бг„)=0, а ') Система отсчета здесь инерциальная, следовательно, состояние движе.
иця материальной системы изменяется толь ко под влнянвем сил го и связей. «Силы Даламбера» не являются силами, изменя«ои«нми состояние движе. ния Поэтому, в отличие от сил инерции, которые были введены в динамнке относительного движения, «силы инерции Даламбер໠— силы фиктивные. В фор-. мулировке самого Даламбера термина «силы няерцив» нет. Заметим, что условия (4.37) получены для дискретного распределения сил.
Если силы распределены непрерывно, то вместо конечных сумм в (4.37) войдут интегралы по поверхности и по объему тела. а в. диндмичвскии принцип виптзяльных пвпвмвщвннн 195 суммируя скалярные произведения, из (4.39) мы получим и Х «г' — т„в~~") бг„) =О, а=1 (4.40) или е ,~ Я((Раз тахо) бха+ (Рае та0а) бум+ (Раз ти2а) бго) =з О. а ац (4.
41) ") Например, Лагранж применял понятие чвнртуальная скоросты от которого в настоящее время почти отказалясь. еь) Если имеется неидеальная связь (есть, например, тренке скольжения) то нужно применить прием, разобранный в аналитической статике: искусственно увеличивается число степеней свободы н сила трения, выраженная о помощью закона тренка через нормальную реакцию, включается в число актнвнык анл. уе Уравнение (4.40) носит название общего уравнения динамики и представляет собой запись одного из самых общих принципов механики — динамического принципа виртуальных перемещений.
Динамический принцип виртуальных перемещений, называемый еще принципом Даламбера — Лагранжа, может быть сформулирован так: пусть система материальных точек и тел с идеальными связями движется под действием активных сил. Тогда в каждый момента времени обращается в нуль сумма виртуальных работ активных сил и сил Даламбера. Этим истинное движение отличается от всех мыслимых, совместимых со связями и близких к истинному.
Динамический принцип виртуальных перемещений был положен Лагранжем в основу построения всей динамики ([17), т. !). С тех пор идеи Лагранжа, его подход к выводу уравнений дви. жения и многие методы исследования характера движения вошли во все лучшие руководства по механике. Лагранжева механика пополнилась новыми идеями и новыми методами, но первооснова ее сохранилась, изменились лишь термины и форма записи *). Мы увидим, что все основные виды уравнений движения могут быть получены из динамического принципа виртуальных перемещений, который является как бы хранилищем этих уравнений.
В этом смысле можно утверждать, что динамический принцип виртуальных перемещений охватывает всю механику систем с идеальными связями '"). Из динамического принципа виртуальных перемещений не могут быть выведены лишь уравнения дви. жения систем с нелинейными неголономными связями, которые в настоящем курсе не рассматриваются. 1 !96 гл. нс мнхлникл ллгьлнжм влгилпионнын принципы й 6. Основные теоремы динамики систем со связями Обратимся к выводу уравнений движения систем материальных точек и тел. Движение отнесем к инерциальной системе отсчета а, отправляясь от уравнения движения точки М (4.38), выведем дифференциальные уравнения, описывающие изменение во времени импульса системы, кинетического момента и кинетической энергии.
Вначале рассмотрим вывод, примененный в 5 2 главы ( П к системе свободных точек. Запишем уравнение движения точки М ." (4.38) Перенося параллельно все векторы в центр масс и складывая геометрически, получим векторное уравнение для импульса системы: — ~~ т„е„- ~~) Р"!+ '~)' Д!'!. (4.42) »=! »=! » Л роизводная по времени от импульса системы геометрически равна сумме всех внешних активных и пассивных сил. Уравнение (4.42) можно записать в виде уравнения движения центра масс » и М" с ~~р~ рч.!+ '~~ у~! »=! а=! Уравнение движения центра масс совпадает с уравнением движения материальной и!очки массы М, к которой приложены все внешние силы.
Умножив обе части (4.38) слева векторно на ОМ„* г и сложив геометрически, после простых преобразований получим » и л — (г'»тсЛ>»1= ~~„е (Г»~» ~+ ~ !('»г(»' '1 (4 44) » » Производная по времени оп! кинетического момента системы геометрически равна сумме моментов всех внешних активных и пассивных сил *). Умножая обе части (4.38) скалярно на йг'»=т!»й! и суммируя> найдем » й ~~~' 2»» ~~~„(Р» йг'») + ~~~~~ Р» йг"») (4.45) »-! »=! » ! *) Моменты импульсов в снл берутся относнтельно одного н того же неподвнжного центра. 5 6. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ !97 (4.4с) Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элемен- тарных рабосл на деиетвительном перемещении всех внешних и внутренних активных и пассивных сил. Уравнения (4.42), (4.44) и (4.45) представляют собой запись общих теорем динамики систем с любыми связями.
Применение этих уравнений к решению задач, В которых нужно исследовать движение при заданных силах и связях, приводит часто к боль- шим трудностям из-за того, что в уравнения входят реакции связей — «лишние неизвестныел, Лангранж показал, как и при каких условиях можно исклю- чить из уравнений лишние неизвестные и получить дифферен- циальные уравнения движения, ие содержащие реакции связей. Ограничимся идеальными связями (см. конец 9 5) и, исходя из динамического принципа виртуальных перемещений, выведем дифференциальные уравнения движения в виде основных теорем динамики систем с идеальными связями. !.
Теорема об изменении импульса системы. Если среди виртуальных перемещений есть поступательное перемещение сислсемы как целого вдоль некоторой неподвижной прямой, то про- изводная по времени от проекции импульса сислммьс на эту пря- мую равна проекции еуммьс всех внешних сил на эту же прямую. По условию, бг'а=е6$, где е — единичный вектор, направлен- ный вдоль прямой, 6$ не зависит от номера точки.
Подставим ВыРажение бг а в (4.40): л ((Еа та а, 1ей)=О. а=с Связи допускают выбрать 69 не равной нулю. Кроме того, — =О. ве Сокращая на 6$, получим Если, в частности, е = с' (прямая направлена вдоль оси Ох, бх,=65, бу,=бг,=О), то л л таха =,) Еамл ° а=~ а л В случае равенства нулю 'у', г"сл мы получим интеграл-проека=! ция импульса системы на ось Ох будет постоянной' л ~~~~ ссс„й„сопз(. и 1 100 гл. цк мвхлникл ллгелнжм вкеилционныв пьинципы Если вектор е может быть направлен произвольно, то из (4,48) получим векторное уравнение (4.48) а ! Так будет, например, для системы свободных материальных точек. 11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
