В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Таким образом, все декартовы координаты будут выражены через новые переменные д, так, что уравнения связей тождественно удовлетворятся. Заметим, что если уравнения связей ие содержат явно времени, то преобразование можно выбрать так, чтобы формулы (4.!3), а значит, и (4.16), не содержали бы явно времени. Обобщенные координаты могут быть выбраны удачно — решение конкретной задачи благодаря такому выбору может быть получено проще и форма его может быть более наглядной.
В иных случаях выбор координат д, не будет таким удачным. Общего правила, как выбирать обобщенные координаты, не существует. Дальше мы увидим, что можно высказать лишь некоторые наводящие соображения, связанные со структурой системы и с характером силовых полей. Главное здесь — это личный опыт, приобретаемый при решении задач. Выразив все декартовы координаты с помощью формул (4.!6) через новые переменные д„ мы удовлетворили уравнениям связей. Следовательно, вариации обобщенных координат не должны подчиняться уравнениям связей — они будут независимы между собой. Дадим материальной системе виртуальное перемещение, обозначив обобщенные координаты в новой «мыслимой» конфигурации через д,.
Очевидно, что д,= д,+ бд„ где бд, есть символ виртуального перемещения или изохроиной вариации обобщенной координаты д,. Изменившиеся значения декартовых координат точек системы отметим тем же значком « ж В новой конфигурации системы декартовы и обобщенные ко.ординаты будут связаны теми же формулами, что и в старой. Поэтому, используя формулу (4.16), запишем хг-Х~(дт, ", дг' !) (4. 17) в з. нвзлвисимыв и злвисимыв кооединлты 183 Найдем главную линейную (относительно бр,) часть приращения х;: л.
ч. (21 — х1) — бх~= 7 д— бу». ~» дХв (4.18г »~~ др В действительном движении системы обобщенные координатьь меняются с течением времени, т. е. д,=г,(1), следовательно, декартовы координаты будут сложными функциями времени, н проекцию действительного перемещения на ось хь т. е. Йх, мы найдем, вычисляя полный дифференциал от функции у,(д, 1): (4.19) »'„~ д Р»+ д др» » д» ! Обобщенные координаты д, и их вариации не подчиняются уравнениям связей — в этом и заключается их независимость, Но н сами координаты и их дифференциалы могут быть связаны динамически — посредством уравнений движения. Обобщенные координаты, каждая из которых определяется «своим» уравнением движения, будут рассмотрены в главе Ч!1. Поясним переход к обобщенным координатам на разобранном. выше примере (см. рис.
4.1). Четыре координаты двух точек удовлетворяют двум уравнениям связей, следовательно, 1= 2. В качестве обобщенных координат выберемся» ОМ,— г и р»=~р. Формулы преобразования будут такие: х»=г в1па х, =г сова, х,=гсова+1в1п~р, х«с хв!па — !сов~р. Нетрудно проверить, что уравнения связей удовлетворяются. Разумеется, на практике описанная выше процедура применяется в тех случаях, когда возникают затруднения.
Обычно определив число степеней свободы, сразу вводят обобщенные координаты, сообразуясь с характером задачи. В механике мы встречаемся с переменными, дифференциальь которых связаны с дифференциалами декартовых координат неинтегрируемыми соотношениями. Например, дифференциал секторной площади «(о = — (х «(у - у «(х), ! дифференциал дуги траектории свободной точки («(в)» = («(х)» + фу)» + («(х)» и т.
д. »З4 гл. нл мнхлникл ллгнлнжл. нлэилцнонныв пэинципы Подобные величины называют квазикоординатами (иногда гово- рят «неголономные координаты»), а их производные по времени— квазискоростями. В качестве координат, определяющих конфигу- рацию системы, они ие пригодны*). $4. Статический принцип виртуальных перемещений. Применение обобщенных координат Обратимся к основам аналитической статики — части аналитической механики, в которой рассматривается равновесие механических систем.
Фундамент аналитической статики был заложен Лагранжем в первом томе «Аналитической механики», вышедшей первым изданием в 1788 г. 1!7]. Раздел «Статика» начинается с глубокого анализа всего, что было создано до Лагранжа. В статье «О различных принципах статики» Лагранж называет многих своих предшественников, среди которых были такие, как Галилей, Торричелли, И.
Бернулли. Далее, в первой части первого тома, Лагранж формулирует общий принцип аналитической стах тики, рассматривает вывод уравнеРнс. 4.3. ний равновесия механических систем из общего принципа и применение их в различных конкретных случаях. Разумеется, форма записи и в значительной степени терминология были у Лагранжа иными по сравнению с принятыми в настоящее время. Рассмотрим систему с голономными связями. Положение точек относительно инерциальной системы отсчета будем определять декартовыми координатами (рнс. 4.3). Пусть к точке М„приложена сила Ра.
Введем понятие виртуальной работы. Виртуальной работой силы Ра, или элементарной работой силы Ра ни виртуальном неремеигеиии, будем называть скалярное произве- дечие (Р„бт" ) =Р „бха+Р абуа+Ра,бг, ба а = 7 бда + 1 бУа + ь беа. где При виртуальном перемещении материальной системы мы смеацаем точки вместе с приложенными к ним силами. Поэтому если ") Величина квазикоординаты в данном положении системы может аависеть от предыстории двимсепня — от того, по каким траекториям точки пришли в рассматриваемое положение. » «. СТАТИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ~35 сила зависит от координат *), то при виртуальном перемещении ее величина и направление могут измениться.
Следовательно, чтобы получить выражение виртуальной работы в виде ли пейнйн о й функции вариаций координат, мы должны брать н е и змеиноее значение силы**). Суммарная виртуальная работа представляет собой линейную однородную функцию вариаций координат точек, но не всегда есть полная вариация. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы обозначим суммарную виртуальную работу символом Аа. За. пишем равенство: л Аа =,~~ (Рабу а) а=! (4.20) Если существует функция П(х, уа, г; () такая, что ап ап ап Р = —, Ра= —, Р дка а дуа даа Следовательно, виртуальная работа потенциальных сил равна изохрониой вариации силового потенциала, или со знаком минус вариации потенциальной энергии системы материальных точек и тел. К точкам системы со связями приложены реакции связей, виртуальная работа которых вычисляется но формуле вида (4.20).
Будем называть связи идеальными, если сумма работ реакций таких связей на любом виртуальном перемещении равна нулю, Обозначая реакцию связи, приложенную к точке М„, через А'„, для идеальных связей запишем л У', (й„бг,) = О. (4.22). а=| Здесь уместно напомнить, что виртуальные перемещения должны быть совместимы со связями и что время фиксировано (бг О). Само название «идеальиые связи» ~оворит о том, что связи, подчиненные условию (4.22), представляют собой идеализацию реальных связей.
К идеальным связям относятся, например, абсо- *) Предположим, что силы — непрерывные функции координат. *) В противном случае выражение виртуальной работы станет нелинейным относительно варваплй координат. т. е. если силовое поле потенциально (но, может быть, нестацио парно), то а Аа= ~ ~~— бх +д бу +д бг )=6П= — 6(У. (4.21). 'кт lдп дП дП ааа ~дха дуа даа а1 чзб гл. !ч. механика льгеьнжл. влеи»ционныв ппинципы .лотно гладкие поверхности, «идеальные подшипники» вЂ” подшипники без трения, в которых закреплены оси вращающихся тел.
Кроме того, к идеальным связям относятся и абсолютно шероховатые поверхности, по которым тела не могут скользить, а лишь катиться и вертеться. Если скольжение невозможно, то перемещение точки тела, совпадающей с точкой касания, с точностью до малых первого порядка равно нулю (см. пример неголономной связи), а значит, равна нулю и виртуальная работа реакции связи, приложенной в этой точке. В некоторых случаях будет обращаться в нуль именно сумма виртуальных работ реакций связей, но работа каждой реакции может быть отлична от нуля. Поясним это на примере (рис. 4А). Система состоит из двух одинаат ковых катков, на которые положена доска. Катки могут катиться без скольжения по неподвиж- К ной плоскости. Скольжение досуа ки по каткам так же невозможно — перемещение точек Р н К, принадлежащих соответственно доске и катку, с точностью до Рнс.
4.4. малых первого порядка, одина- ково. Лоска и каток взаимодействуют с силами Яо и й», равными по величине и противоположно направленными (реакции внутренних связей). Следовательно, сумма виртуальных работ реакций будет равна нулю. Если бы под идеальными связями понимались только связи, у которых равна нулю сумма работ реакций на действительных перемещениях, то в стороне остались бы нестационариые связи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
