В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 28
Текст из файла (страница 28)
финский математик Зундмаи нашел в результате глубоких исследований аналитическое решение задачи трех тел в виде бесконечных рядов, но впоследствии выяснилось, что для вычисления с современной точностью координат точек по формулам Зундмана необходимо брать сумму огромного числа членов ряда — ряды крайне медленно сходятся.
В силу этого исследования Зундмана представляют чисто теоретический интерес. Формула (3.99) была получена Резерфордом ((9(1 г.) при изучении рассеяния а-частиц (атомов гелия) рассеивающим слоем. Эти исследования привели Резерфорда к мысли о наличии атомного ядра, в котором сосредоточен весь положительный заряд атома, а также почти вся его масса. Последующие эксперименты подтвердили гипотезу Резерфорда, и на этой основе была создана модель атома, предложенная Бором.
и 1З. О ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ Большой прогресс в решении многих задач механики и, в частности, в решении задачи трех тел связан с развитием современных методов вычислительной математики. Применение электронно-вычислительных машин позволило находить численные решения дифференциальных уравнений с большой точностью, превосходящей точность аналитического решения, причем численное решение задачи трех тел отличается от решения задачи двух тел главным образом объемом вычислительной работы.
В точности и быстроте вычислений заключается большое преимущество численных методов перед аналитическими. Однако численные методы в настоящее время еще не позволяют выявлять общие свойства движения и устанавливать функциональные зависимости между переменными, характеризующими состояние движения той или иной механической системы. Поэтому аналитические методы исследования движения, несмотря на успехи вычислительной математики, яе утратили своей ведущей роли. Кроме того, чрезвычайно полезные качественные способы исследования целиком относятся к области аналитических методов. Обратимся к задаче трех тел. Рассмотрим движение трех свободных- материальных точек, ев„ег„евв, относительно инерциальной системы отсчета, с которой свяжем декартовы оси координат х, д, г. Массы точек обозначим через т„лт„и тк соответственно.
С центром масс системы (точка С) свяжем оси Кенига х', у', г' (барицентрическая система координат). Радиус- вектор центра масс находится по формуле (3.1): з т г, а=1 зс= м где М= ~~ и! есть масса всей системы. Радиусы-векторы точек а=1 можно представить в виде г„=гс+г', где г„' — относительный радиус-вектор точки ев„. Кинетическая энергия системы равна Т= — ~ лт оа. 1 %1 а а=! Применяя формулу Кенига (3.20), представим кинетическую энергию в виде з ~= —, ~а+ —,,у', ~( -')'.
1, 1 а=1 Выражению кинетической энергии можно придать другую форму, удобную для некоторых приложений. С этой целью запишем 8 в, а. петкевич !Б2 гл. н!. системы своводных мАтеРБАльных точек формулу Кенига в виде з 2МТ М об+ М сз'з !па(оа) ° а ! Воспользуемся, кроме того, тем, что )- з !з з з ;У', ~ '/ = ~ ~ч' ,„лзв(~'тзв)=0 а=! а !В-! и составим разность 3 3 з з ~ ЛЗВ,У~ ЛЗа (з!а) —,У~,~~~'З Пзалза (Оавз). В ! а-! а=!в Замечая, что все члены вида (лз„о„')з взаимно сократятся, мы придем к формуле з з 9 ЛЗа (Оа) =,~'„З,Я~ !лая!а (ТЗВ Оа) ° в- а-! а !В)а Таким образом, кинетическая знергия системы трех материальных точек может быть записана в следующем виде: Г МО~ + ~~~ ~ (тзв тза), (3 100) а зВ>а Разность (тзв — тз') можно рассматривать как скорость точки относительно системы, имеющей начало в точке ырра и движущейся поступательно.
Заметим еще, что формула (3.100) может быть применена к системе, состоящей из любого числа материальных точек (обычно вта формула получается на основании тождества Лагранжа). Запишем выражение потенциальной внергии системы трех материальных точек: (3Л01) ! Рм Рзз Рзз ! Через / обозначена универсальная постоянная тяготения, рз~ есть расстояние между точками Ф! и авм вычисляемое по формуле р !, = (х! — х!)'+ (у! — у!)з+ (г! — г!)' = (х', — х',)'+ (у! — у!)з+ (г! — г!)' (1 чь!). (3. Р32) Лифференциальные уравнения движения относительно ннерциальной системы х, у, г каждой материальной точки будут иметь вид ~еа л! — '= — игам(,, „,, )О (а=1, 2, 3).
(3.103) 163 $1О. О ЗАДАЧВ ТРЕХ ТВЛ В такой же форме мы можем записать уравнения движения относительно системы Кеннга: Ио„' л1,— „,"= — угас1(.. „, )С!' (1х=1, 2, 3), (3.104) где еа' есть относительная скорость точки ооа, производная от которой по времени равна абсолютному ускорению; символом У' обозначена потенциальная энергия, выраженная через разности относительных координат (очевидно, что У' =(!). Система дифференциальных уравнений (3.103) содержит девять уравнений второго порядка.
Следовательно, порядок системы равен восемнадцати. Наличие первых интегралов, допускаемых уравнениями, позволяет понизить порядок системы уравнений. Если рассматривать движение трех точек относительно системы координат х, у, г, т. е. исходить нз уравнений (3.103), то прежде всего следует отметить сохранение импульса системы: з Х л!аеа = Сз~ а или Мпс=сь что позволяет записать три первых интеграла з виде Мыс=с!, Мус =сна Мгс с1,. (3.1 05) Следовательно, центр масс движется относительно системы х, у, г равномерно и прямолинейно. Если же исходить из системы уравнений (3.104), то необходимо положить с',, =с;„.с1,— — О.
Кроме того, е1це три интеграла мы получим, используя сохранение кинетического момента системы относительно начала координат: з Я~ 1!гас!от!а1 = Оо| а 1 нли з ,~ Япза (уа~а гауа) а бозе а ,У! Л1а (газа Хайа) = ОООЙ а 1 з Х л!а (х туа уаха) ~ боо. (3.106) а 1 Вместо последних интегралов мы можем записать три интеграла для движения относительно системы Кенига, исходя нз векторного бо 1б4 гл. нь системы своводных матвеиальных точек выражения ~ (Га$паюй~ -з 0с.' ~! л!а (у!!йа зауа) = 6с! ! а ~'.! !и!! (зайа хай!!) ~ !-'сич !!! ! ~'.! гла (х!!Ци Уайа) ~ бе~а (3.107) а Кроме того, система уравнений (3.103) допускает интеграл энергии т+и Е,. (3.108) Разумеется, интеграл энергии допускает и система дифферен.
циальных уравнений (3.104). В относительном движенин получим Т'+ У' Е;, (3.109) гае Т' — ~~) !п„(о„')', У' У. В выражениях (3.108) и ~3.109) постоянные интегрирования будут отличаться на величину /,МпЬ В задаче трех тел обычно исходными являются уравнения движения относительно осей Кеиига (уравнения (3.104) в барицентрических координатах). Так как относительные координаты удовлетворяют трем соотношениям вида 3 !! д шаха ~ О, ~ т!!Уц май !!, ~ !п~!з!! ~ О, а=! а Я~ /паха~О, ~ щ~фа~яОю,Я~ !пайа~О, а а ! то система (3.104) будет иметь двенадцатый порядок. Ури интеграла кинетического момента и интеграл энергии позволят пони- вить порядок системы уравнений еще на четыре единицы.
Укажем еще на два способа понижения порядка системы уравнений. Первый способ основан иа яспользоваиии уравнений движения двух точек относительно поступательно движу!цейсн а для проекций относительной скорости справедливы три соотно- шения такого же вида 165 5 12. О ЕАЕАче трех тел системы координат, начало которой находится в третьей точке (система $, т), ь на рис. 3.16). Эта система неинерциальная, поэтому в уравнения относительного движения нужно ввести силу инерции переносного движения, подобно тому как это было Рпс. 3.16. сделано в задаче двух тел.
Помещая начало координат в точке .Ф„ запишем ыв/аеы т1 — „, =Яз+Д,з — ттат„,р (1=2, 3, 1=2, ЗФ/). (3.110) Переносное ускорение равно абсолютному ускорению точки Фь Следовательно, Лг+Л» Л 2 з1 а, =а,= ПЕР Уравнение относительного движения точки М, запишем теперь в следующем виде: ы~~/адан /т1 гт1) те тт — = ( — ф1-~-Яз+ — Я„.
т1+т! Разделив обе части на —, получим 1П, т11П,1 Ырзаеы 1П, 1П1+ тз еч т1+ ты т1+ 1П9 Введем векторы азРЗаЗ"З = РИ ЗРЗаЗРЗ = РЗЗе ззыазРЗ = РЗМ з66 гл. нь систвмы своводиых мвтвривльиых точкк и запишем подробно выражения для сил взаимодействия". !тат, /тата )тзтз ззаз= Рм рв э 1аз= Рзз з е Аз=+Раз ~3-' Рз,, 13 Введем, кроме того, приведенные массы т зтз зз ам а ра= +„,. Рв=т+т ° н представим уравнения относительного движения в виде Рзт~ ~Ф1~2 (равзз Рата Ра,п Рза рз Рзз ра + Раа рз т РЬ авзоан тзтз )рата )рата Рз аз — Рзз з Рм —, + Рвв —,, Р1 Рз: (3.111) где (' есть универсальная постоянная тяготения, а расстояния междУ точками Ри выРажены фоРмУлами Рзз заа+ Ча+ 1а Р(з = Ь+ Чва+1з Раз = Рз (Ь вЂ” $ )'+ (з(з — з)а)'+ (1з — 1 )'.
где аозт, есть скорость точки зхз относительно системы $', з)', ~', а.„'а,р-абсолютное ускорение начала этой системы (точки С„). Ускорение центра масс двух точек ззз н ззв пропорционально сумме всех сил, приложенных к этим точкам. Поэтому Ги+ут увз+ум зтзза тр Таким образом, мы пришли к системе п|ести уравнений для шести неизвестных функций времени 1ь Чь ~, ((=2, 3). Найдя какое- либо решение системы уравнений (3.111), мы сможем с помощью простого преобразования координат (переиос начала в центр масс) перейти к барицентрическим координатам. Второй способ понижения порядка системы дифференциальных уравнений в задаче трех тел связан с именем Якоби.
Способ этот состоит в том, что рассматривается движение точки зва относительно системы, имеющей начало в точке Мз как и в предыдущем способе, а движение точки ззз — относительно системц С НаЧаЛОМ В ЦЕНТРЕ МаСС ДВУХ ТОЧЕК Ззз И Зза (СнетЕМа $', з(', Ь' с началом См на рис. 3.16). Обе вспомогательные системы движутся поступательно и являются неинерциальными. Уравнения относительного движения точки ззв мы уже получили. Запишем теперь уравнение движения точки зз;. авз. зз зпз Г~,айвз + Узв глззхзаарс з ж о злдлчв трвх твл 167 Следовательно, уравнение относительного движения точки ааа мы запишем следующим образом: р' ~'" =Уаа+Уэь (3. 112) гае приведенная масса опрецеляется формулой 1а та (та+ та) т,+та+та Переменными Якоби являются $„7)„ьа (координаты точки ааа в системе $, Ч, Ь) и Са, 71;, Ь; (кооРДинаты точки аха в системе $', 71', Ь'). Покажем, что кооРДинаты точек ааа и ааа относительно системы $', а1', ~' могут быть выражены через $„а)„ьа.
В самом целе, координаты точки Саа в системе $, тв ь будут равны тра тапа р ~ид~~ заа'= + Чаа=т +„ам 'т + Следовательно, мы легко найдем координаты точки аэа в системе Г,а1' Г: т,Да а тапа И- — 5 а=в та+та' та+ааа ' а)а — а)аа 1а — 1аа а ЩДа т,+та Координаты точки ака относительно системы $', а1', ь' найдем из соотношений лаДа+лааса=О, и т. Д., тДа, таав г, т ~ та+та' 1а та+та ' аа т, 1.т Поэтому расстояния между точками ®а и ~ха мы сможем выра- зить через переменные Якоби по формулам: Раа = Я+ 71а+ И Движение трех точек будет плоским„если в некоторый (на- чальный) момент времени вектор скорости каждой точки лежит в плоскости треугольника Ма ааа ааа. В этом случае материальные точки будут двигаться в плоскости, неподвижной относительно осей Кенига, проходящей через центр масс и ортогональной к вектору кинетического момента системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
