В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 24
Текст из файла (страница 24)
нь систямы своводных мйтагийльных точек Вычисляя с' с помощью формулы '=6ЮЬтс1)=(р(тс[рнУ)=р'и' — ( )'=р' о — Р, и привлекая интеграл энергии (3.45), найдем зависимость Р от р: ,(2й+,) с, (3.60) Мы можем теперь выразить скалярное произведение (рЛ) через р, подставив (3.51) и (3.60) в правую часть уравнения (3.59): (рЛ) = — Ар+ с'.
Отсюда находим искомое уравнение семейства поверхностей, иа которых располагаются траектории точки М,: сс ( й) или, подробнее, сс Р= с — -~— , (ссй+ссЧ+ссД), (3.61) где где р = )/ х1 + у1, + г1. Введем обозначения сс — =Р Гг й — =е Ф и запишем уравнение семейства поверхностей в следующем видес р= р — ех,. (3.63) Мы получили уравнение семейства поверхностей второго порядка, которые, как мы увидим дальше, представляют собой поверхности вращения с осью вращения, направленной по вектору Лапласа.
Уравнение (3.61) инвариантно относительно ортогональиых преобразований координат в силу того, что оно связывает расстояние р и скалярное произведение векторов р и Л, Используем инвариантность уравнения (3.61) и произведем, не выписывая формул, ортогональное преобразование координат — поворот вокруг начала координат. Потребуем, чтобы одна из новых осей была направлена по вектору Л. Обозначая новые координаты через хм ум г, и направляя ось хг по вектору Л, получим с' й р = — — х1— (3.62) $7. ЗАДАЧА КЕПЛЕРА. ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА 139 Ьх= — —, рв 1-ва' (3.65) то, производя простые выкладки, найдем (1 — е') х,'+ у', + г', = р', (3.66) Мы получили уравнение семейства центральных поверхностей второго порядка, в геометрическом центре которых находится начало координат. Величина е называется эксиептриситстом поверхностей.
При е(1 поверхности представляют собой эллипсоиды вращения, при в~1 — гиперболоиды вращения. Найдем, например, Ьх для эллипсоида вращения. Как известно из аналитической геометрии, ьа р= — ~ е =1 —— ь* в о '» Иа аналитической геометрии иавестно, что расстояния точек кривых второго порядка до их фокусов могут быть выражены в виде линейных функЕнй координат этих точек (на основании определения фокуса», Очевидно, что поворот осей координат вокруг оси х, не изменит уравнения (3.63).
Следовательно, мы получили уравнение семейства поверхностей вращения, ось симметрии которых направлена по вектору Л. Каждая из поверхностей этого семейства получается вращением кривой второго порядка вокруг оси х, (вокруг вектора Л). Расстояние р есть линейная функция координат точки на поверхности. Отсюда мы заключаем, что р представляет собой расстояние точки Мв до фокуса поверхности, т. е., что силовой центр находится в фокусе поверхности второго порядка *). Для того чтобы выяснить смысл величины р, проведем через силовой центр плоскость, ортогональную к вектору Л. Плоскость пересечет каждую из поверхностей семейства по окружности, радиусом которой и будет линейная величина р, т.
е. р р~„ о. Величина р называется параметром. Уравнение (3.63) приведем к канонической форме. Для этого перенесем начало координат вдоль оси х, (вдоль вектора Л). Обозначим новые координаты через хм уго г, и постараемся исключить из уравнения первые степени координат. Положим хх х,+Лх, ух=у„гт=гв. Из уравнения (3.63) находим квадрат расстояния р, выразив его через новые координаты: (1 — е') (ха+ 2Ьх х, + (Лх)в) + Уч+ га — — Р' — 2Рех, — 2РЕ Лх. (3.64) Допустим, что еФ1. Если начало координат перенести на рас. стояние ыо ГЛ.
111. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МЛТЕРИАЛЪНЫХ ТОЧЕК где а — длина большой полуоси, Ь вЂ” длина малой полуоси. Подставив выражения параметра и эксцентриситета в формулу (3.66), найдем Лх= — еа. Уравнение эллипсоида вращения, отнесенное к координатам хм у„гт с началом в центре поверхности, мы получим в виде — + — + — =1. л1 у1 т1 а ь ь Если е='1, то в уравнении (3.64) нельзя исключить первую степень хм В этом случае из уравнения (3.63) находим р1+ 21 — — р' — 2рхг. (3.67) й 8. Задача Кеплера.
Качественное исследование плоского движения В плоскости, перпендикулярной к постоянному моменту импульса, расположим оси координат с, т( с началом в точке М,. Положение точки М, будет определяться полярными координатами р и гр (см. дальше рис. 3.9). Запишем интегралы энергии и плошадей: Рот )т,тт = — +Ее 2 р Ф р — =с. а нт от (3.68) (3.69) Для исследования траекторий точки воспользуемся первой формулой Бине От=ее)( — ) +ие~, ГдЕ и= —. (1.17) е) Прнмененне ннтеграла Лапласа в квантовой механике см.
в 12а). е(ы получили уравнение семейства параболоидов вращения„ обший фокус которых находится в силовом центре. Траектории точки Ме будут представлять собой линии пере. сечения плоскости (2.40) с поверхностью второго порядка (3.66) или (3.67), т. е. конические сечения.
Если е ( 1, то траекториями будут финитные кривые в эллипсы, в частности, окружности. Если е ) 1 — инфинитные кривые — гиперболы, внутренний фокус которых совпадает с силовым центром. При е=! траекторией будет парабола, являющаяся также инфинитной кривой. Если с= О, то и р= О. В этом случае траектории будут прямые, проходящие через силовой центр '). $ В.
ЗАДАЧА КЕПЛЕРА. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИВ !4! Обозначим — ' через Й, ~ ' * через Й. Дифференциальное урав- В ' В пение траекторий будет иметь вид ( )= пи~В В 24  — ) = — и'+- — и+ —. Ар! с~ с~' (3.70) Рис. З.а при различи ~х знаках постоянной и (рис. 3.6). Если 8<0 и и,(иВ(им то и(<р) меняется периодически между крайними значениями; период функции и(<р) будет равен Н, (3.72) Соответственно, р будет периодически колебаться между значениями р, и р, с периодом Ф: р, ( р (<р) ~ р„р (~р+ Ф) = р (ф).
Если Ь=О, или й)0, то и будет принимать нулевое значение, следовательно, изменение р будет инфинитным. Те же качественные результаты можно получить, построив график так называемой эффективной потенциальной энергии. Для этого вернемся к интегралу энергии (3.68). Исключая — при ач й помощи (3.69), придем к уравнению (3.73) Следовательно, (ж) = —,'-. -1- -'"-+й =Р(р). (3.74) Мы пришли к уравнению с разделяющимися переменными, в котором и рассматривается как функция полярного угла «р. В силу (3.69) полярный угол есть монотонная функция времени, которая может быть выбрана в качестве независимой переменной, изменяющейся подобно времени.
УЫ Обозначим правую часть Ь д (3.70) через Ч'(и) и приме- Ь=д ним способ качественного исследования решения урав- Л д --. (-. И, ~ 3). Для го построим график функции Ч'(и) = — и'+ —, и+ —, ЯВ А В В В В г г а й С С~ (3.71) 142 ГЛ. 1и. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК Представим функцию г'(р) в виде 211 Замечая, что функция ( — — 1 пропорциональна потенциальной I си 2А1 энергии материальной точки в поле тяготения, назовем ( — — — ) Р) эффгктигной потенциальной энергией и обозначим через У,(р). Построим график функции У,(р) (рис, 3.7).
Рис. 3.7. Область изменения р в действительном движении определяется неравенством Е(р) =И вЂ” и,(р) О. Следовательно, при И ( О мы имеем финитное периодическое изменение р: Рв р1(р(ри тр=2~, р((+тр) р((). и 'т' Р (Р) Здесь важно, чтобы начальное значение р, принадлежало интервалу (р„р,), в частности, р, может совпадать с одним из крайних значений. Далее, при И=О или И) О мы будем иметь инфинитное изменение р (на рис. 3.7 через р1 обозначено наименьшее значение р при различных И). Следует обратить внимание на то, что ординаты кривой У,(р) и И не являются независимыми: если при И ~ О увеличивать ~И~, то ординаты кривой У,(р) будут меняться в том же направлении (штриховая кривая на рис. 3.7).
Если и1 = и, или р, =р, (прямая при И ( О касается графика У,(р)), то орбита точки будет круговой. ыз $9. 3АдАчА кеплеРА. плОскОБ движение $ й. Задача Кеплера. Интегрирование уравнений плоского движения Обратимся к дифференпиальному уравнению траекторий материальной точки в полярных координатах (3.70), интегрируя которое, мы найдем различные траектории точки в зависимости от знака полной энергии *). Разделяя переменные, запишем: 1(ф — -+- (3.75) — и + — и+— 2й й сз сз 2А Ь и — — и — — =О сз са (3.75) найдем а .аГы ь из е — + 1гт — + —. се р се са ' В уравнении (3.75) сделаем замену, положив тогда Отсюда <р = фе+ агссоз Я. Таким образом, уравнение траекторий в полярных координатах мы получим в виде Ф "а Где А и = — + йт — „+ —,, соз (ф — фе).
Полагая фе 0 и возвращаясь к полярному радиусу р, запишем уравнение траекторий как уравнение конических сечений, в полярных координатах, 1+есозф ' Р (. ) 3.77 ') Решение с помощью второй формулы Бннй (1.18) получается несколько короче, однако прн использовании первой формулы важные постоянные вко.
дят в решение в более удобной форме. ййы уже сталкивались с выбором того или иного знака перед корнем: нужно, чтобы решение отвечало начальному состоянию. Если решение колеблющееся, то выбор знака не существенен. Для определенности выберем минус. Решая квадратное уравнение 144 гл. иь системы своводных материальных точек где р= — '„, е=)/ 1+ —,И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
