В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Из (2.95) получаем: Ооо оп соя (' оэ оо ') ооо й~ а!о сп К!о 1 щ ,!! ~ ~ сяо — = 2сос —,, — = — 2~со! — — со! — ~! — = — д — 2го! —. (2.96) и! ' Систему (2.96) интегрируем, полагая, что при !о=О сор=О~ Чо=О~ ого)0 $о=Чо=~о=О. Из первого и третьего уравнений найдем а$ ну — = 2сост)+ с„— = — йт — 2сотт!+ со.
а! Очевидно, что с, О, с,=О. Подставив выражения первых производных от $ и ь по времени во второе уравнение, мы получим дифференциальное уравнение для координаты т!: —,+ 4сооо) = 2поо! сова. (2.97) Интегрируя (2.97), получим т) = саин (2!о!)+с, сов (2!о()+~ г. 1ОЭ $9. зАлхчи Частное решение будет иметь вил 4з )+ (2.98) Формула (2.98) дает точное решение уравнения (2.97), однако сами исходные уравнения составлены приближенно — отброшены члены, в которые входит малый множитель м'.
Поэтому точность решения нужно привести в соответствие с точностью уравнений. С этой целью решение разложим з ряд по степеням в1 — угла, на который повернется Земля за время 1, и удержим два члена разложения: ясозиг 4мнэ1 ясОЗЯ ч ~ — — 2в1 — — + — 1. 44Я ( З Величина уклонения материальной точки к востоку может быть представлена в виде аЖ~ова чъ ай (2.99) Вычисленное значение гь пропорциональное гэ(, хорошо согласуется с измеренным на опыте. В решении этой задачи формула (2.99) дает главный результат — она выражает одно из проявлений неоднородности пространства, определяемого земной системой отсчета: величина отклонения явно зависит от широты а.
Интегрируя дальше си- I стему (2.96), можно было бы l l найти уклонение точки к югу и поправку к закону свободного т 0 падения точки по вертикали. Ч Однако обнаружить эти поправки гораздо труднее, так как они х,„1 второго порядка малости — пропорциональны (4э()' Лля их вычисления в уравнениях нужно г сохранить проекции центробежной силы. 2. Маятник Фуко.
В Рис. 2.11. 1851 г. Фуко, наблюдая в Парижском Пантеоне за движением сферического маятника, обнаружил влияние суточного вращения Земли. С тех пор маятник на достаточно длинной подвеске носит имя Фуко (в опыте Фукб длина подвески равнялась 67 м). Прежде чем исследовать движение маятника Фуко, мы рассмотрим более простую задачу. Пусть система отсчета $, ть ь вращается равнояерно с произвольн ~й угловой скоростью вокруэ вертикальной оси. Относительно этой системы движется в одно- ыо ГЛ, и. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОИ ТОЧКИ 1(Р, т1, ~) — = Ро+т1о+Р— го О.
Составим уравнение относительного движения точки М! (2.100) т — "' тй — та„,р — та„„+ Й„. (2.101) Здесь а„„вЂ” от' (то+от(). !то Р афтаб /, !! уз а200от, Запишем уравнение момента импульса относительно оси 0~: — ٠— тД) = — 2 (Д+ т)т)) от, (2.102) или (й — т($ — от ($'+ трт) + ст Переходя к сферическим координатам, найдем з1п ф — — ото!и ф + с„ сф о (2.103) где с, с;/го. Очевидно, что, заменяя тР+от( через 6, мы получим интеграл (2.67) для обычного сферического маятника. Постоянная с, определястся из начальных условий: ст = з то фо (Фо+ от). Если потребовать, чтобы в начальный момент было фо — от, фоФО, либо фо=О, но (е„„(0)~ФО, то с,=Π— маятник будет колебаться в плоскости, вращающейся относительно системы р„ ть ь с угловой скоростью ф — от.
Относительно инерциальной системы отсчета Х, У, с плоскость качаний будет неподвижна. Обратимся к уравнению кинетической знергии. Умножая скалярно обе части уравнения (2.101) на дг =е„,т(1, найдем отротн д ! — ! * — тс т(Ь + тото (3 т(1 + и т(т1). l Отсюда о =* итйг СОь ф+ о К'+,~') + Ео. родном поле тяжести без трения сферический маятник, точка подвеса которого находится в начале координат (рис. 2.11).
Система Х, У, Я вЂ” неподвижна. Положение точки М на сфере будем определять углами ф и ф. Уравнение связи имеет вид $9. Задачи Переходя к сферическим координатам, получим Я) +и)паф® ~лсозф+гоав(паф+Ь, (2.104) 2Ео где Й= —. глга Если заменить — через — — ет и использовать интеграл (2.67), оф оа Лг лг то мы вернемся к интегралу энергии для обычного сферического маятника. Изменится лишь постоянная Ь.
При ед О, так как — = — гв имеем оф гп Я) ~~сон ф+й, — интеграл энергии принимает такой же вид, как для плоского кругового маятника, Следовательно, на период колебаний маятника вращение системы отсчета не влияет. Рис. 2.12. Вернемся к маятнику Фукб, расположенному на широте ае), и приближенно рассмотрим его движение, не принимая во внимание трение и сопротивление среды. Оси координат, связанные с Землей, выберем так же, как и в предыдущей задаче, помещая начало координат в точке подвеса маятника (см.
рис, 2.12, на котором в преувеличенном виде изображен маятник и отдельно указаны сферические координаты ф и ф). Уравнение связи имеет вид (2.100). ') Маятник, движение которого рассматривалось выше, есть, очевидно, маятник Фуко при а н/2 (на полюсе). 112 ГЛ. П. ДИНАМИКА МАТВРИАЛЪНОН ТОЧКИ Полагая, что г и.")с (Р— радиус Земли), запишем уравнение относительного движения маятника Фукб: т — "' = лгу — 2т [ВТ1а„)+ Л Итас(7. (2.105) Здесь, как и в первой задаче, положено Š— лта„,р лгд.
Из (2.105) следует интеграл энергии = — лта1+ ~о. (2.106) Запишем, кроме того, уравнение для момента импульса относительно точки О": ~ [гтрк, )= [гни) — 2пт [г [вт1„,11+ Л [г йтад 7). Очевидно, что [гдгаг())=0. Проектируя уравнение момента импульса на ось О'ь, получим ~ ($Ч ЧΠ— ~ (вс аз+ ЧЯН+ 2ад Уравнение (2т107) отличается от (2.102) наличием в правой части члена 2вдйь, который при малых (и медленных) колебаниях маятника будет величиной третьего порядка малости, Чтобы это показать, перейдем к сферическим координатам: $= г з(п 1р соз тр, Ч =г з1п гр соз тр, Ь = — г соз гр. Уравнения (2.106) и (2.107) примут следующий вид: — ')® + з(из1р( — ) ~ = тйг соя тр+Ео (2.108) „—,1з(п 1Р-„-) = — — „1 (агз(п 1Р)+2аесозтйз)п 1Р— „. (2.109) Из (2.108) видно, что при малом начальном значении угла гре и малой начальной скорости значения угла отклонения маятника гр и скорости его движения во все время будут малыми *), Следовательно, произведение з(пзгр — в приближенном исследо- 31 ванин можно отбросить.
Тогда получим -„- ( з1пз <р -- ) = — — (ай з(пв гр). *) Приведенные здесь нестрогие рвссуждения будут обоснованы в главе ЧП, посвященной изложению теории устойчивости движения. из $9. ЗАДАЧИ Отсюда в!и'др( — + ада) с,. (2.111) Очевидно, что сд=в!п22ра($2+едв) и, если в начальный момент положить дра=О, но ~е„„(0) )чьО, тосд —— О. Тогда, так как угол ~р не равен тождественно йулю, то (2.1 12) ® + Я) в!пд др = ~ сов ар+ й, где Ь= —.
2Ео т~Ф' В рассматриваемом частном решении -„- = — адд, поэтому лат (Я) = ~совдр — а)в!падр+)д. (2.113) В соответствии с принятой точностью в правой части уравнения (2.113) нужно отбросить член — дадав!пд др. Тогда период малых колебаний маятника Фукб будет совпадать с периодом малых колебаний обычного плоского маятника и будет равен / а тр 2пу я (2.114) Если же в уравнении (2.1!3) сохранить член ( — ад! в!идар), то для периода конечных колебаний получим выражение л/2 т, =4~ а )2 1 — Йд в!яда ~/ ~ +ад"„!! — ла(!+2!вал)1, в котором талала ..
Чд й=яп —,; Ав!псд=в!п —. 2 2' Мы приближенно нашли частное решение, из которого следует, что плоскость качаний маятника вращается относительно Земли вокруг местной вертикали с угловой скоростью, равной — 222!па, с востока через юг на запад. Это и есть еще одно из проявлений неоднородности пространства, определяемого земной системой отсчета. Вернемся к интегралу (2 !08) и найдем период малых колебаний маятника Фуко. Имеем 114 ГЛ. и. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОИ ТОЧКИ Формула для т получена так же, как формула (2.75) для периода конечных колебаний обычного маятника.
Полагая й величиной малой, найдем первый член разложения интеграЛа по параметру Й: и/е Получена ошибочная формула для периода малых (линейных) колебаний маятника, из которой следует, что наибольшее влияние вращения Земли на период малых колебаний маятника Фукб будет на полюсе, где ее=ее е). Выше, рассматривая колебания маятника, точка подвеса которого находится на оси вращения Земли, мы нашли, что вращение системы отсчета вовсе не влияет на период колебаний маятника. ') См., например, (13). ГЛАВА /П СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК % 1. Основные меры движения Рассмотрим движение и свободных материальных точек относительно ииерциальной системы отсчета (рнс. 3.1).
Положение каждой точки М будем определять декартовыми координатами х„, у„, г . Массу точки М обозначим через т . Масса всей системы точек будет равна ,Я~ та. я Центром масс системы назовем точку С, радиус-вектор которой равен л Я и г,„ Гс= ~хе е (3 1) Рис. зл. где Г = ОМ вЂ” радиус-вектор точки Ма Под основными мерами движения системы материальных точек мы будем понимать суммарный импульс системы (геометрнческую сумму импульсов материальных точек), кинетический момент системы (геометрнческую сумму моментов импульсов материальных точек) и кинетическую энергию системы (сумму кинетических знергий материальных точек). 1, Суммарный импульс системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
