В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Разумеется, для наблюдателя, связанного с инерциальной системой отсчета, силы инерции н е с у щ е с т в у ю т — те же явления, которые первый наблюдатель объясняет наличием сил инерции, второй, в соответствии с законами механики, должен объяснить как результат проявления свойства инерции материи "). Итак, в механике относительного движения — та„,р и — та„,р— это силы, приложенные к рассматриваемой точке и обязанйые своим происхождением свойству инерции материи, — силы инерции, которые изменяют состояние относительного движения материальной точки. Уравнение (2.85), как и (2.84), содержит в левой части ускорение точки относительно выбранной системы отсчета, и при переходе к другим неинерциальным системам отсчета вид уравнения относительного движения может изменяться. Наряду с уравнением (2.85) рассмотрим другие формы уравнений относительного движения: уравнение момента импульса и уравнение кинетической энергии.
Умножая обе части уравнения (2.85) слева векторно на относительный радиус-вектор г и замечая, что (значок « », тильда, означает относительное дифференцирование— гл. 1, й 11), получим уравнение момента относительного импульса в виде — (гтрк„„"~ = ) г (Г+ К вЂ” та„— та„,р)1. (2.86) Относительнан производная момента импульса геометрически равна моменту всех сил, включая силы инерции, относительно начала подвижной сиспгемы координат.
Заметим, что так как все силы приложены в одной точке, то сумма моментов сил равна моменту суммы сил. Уравнение кинетической энергии в относипмльном движении получим из (2.85), умножая обе части скалярно на п„„йу=с(г— ') Многочисленные примеры такой двойственности встречаются а быту: пассажиру резко остановившегося автобуса кажется, что какая-то сила толкнула его вперед, тогда как наблюдатель, стоящий иа тротуаре, усматривает в поведении пассажира стремление его массы сокранить импульс. 104 ГЛ.
И. ДИНАМНКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ относительное элементарное перемещение. Так как то й ( О™) = ((Г+ )т — та„, ) Ь ). (2.87) Дифференциал кинетической энергии в относипгельном двилсении равен сумме элементарных работ на относительном перемещении активной силы г', реакции связи )7 и силы инерции ( — тао,р). Сила инерции Кориолиса ортогональна к относительному перемещению — ее работа равна нулю. В левой части уравнения (2.87) значок « » над символом а отброшен, так как под знаком дифференциала скалярная функция тооо»о/2.
Если работа реакции связи на относительном перемещении равна нулю, а силы ет и ( — та„,р) консервативны, то из (2.87) мы получим интеграл энергии в относительном движении. Нетрудно проверить, что если, например, переносное движение есть равномерное вращение вокруг неподвижной оси, то поле сил инерции, — центробежных сил, — будет консервативно. $8. Относительное равновесие. Зависимость веса тела от широты места Предположим, что материальная точка покоится относительно подвижной системы отсчета, т. е.
что т> „=О. Тогда в силу (2.85) г+)с — та„„= О. (2.88) Наоборот, если справедливо (2.88), го из (2.85) получим т — "" = — 2т [ып„„]. Ф (2.89) Умножив скалярно обе части (2.89) на т>„„, найдем, что и0»о) — — — О или [т>„„! = сопз(. .-('.'~= Значит, если т>„„[и 0=0, то и при ( Го т>„„=О.
Итак, уравнение (2.88) есть уравнение относительного равнове»ия, частное решение которого отвечает состоянию относительного покоя материальной точки. В частности, взвешивая какие-либо тела, мы наблюдаем их в состоянии покоя относительно вращающейся Земли. Если принимать во внимание только суточное вращснне Земли, считая его равномерным, то в уравнении (2.88) символом ет будет обозна- э а относительноа Рхвновеснь юз Рис. 2.9 чена сила тяготения Земли, символом ( — та„,р) — центробежная сила, равная т(гс', где ! — расстояние от точки до оси вращения Земли. В уравнение входит еще реакция связи (чашки весов, нли пружины динамомегра), обозначенная через Я. При взвешивании измеряется величина именно силы Ю и определяется ее направление.
Взвешивание на пружинных весах, как известно, показывает, что на экваторе тела несколько легче, чем на полюсе — на экваторе центробежная сила максимальна по величине и направлена противоположно силе тяготения Земли. Численно это расхождение невелико, так как в выражение центробежной силы входит квадрат угловой скорости вращения Земли. Рассмотрим вывод формулы, приближенно выражающей зависимость веса тела от широты места.
Землю будем представлять в виде шара, состоящего из однородных концентрических слоев. ° В Такая модель Земли позволяет с приемлемой точностью решать многие практически важные за- -тюсд дачи, так как отклонения от сферической формы вследствие по- -- — Р*ту лярного сжатия Земли и отклоне- Ф ння, вызванные наличием гор, весьма малы по сравнению с радиусом Земли. Примем без вывода, что результирующая сила тяготения, действующая на материальную точку М с массой т, находящуюся на поверхности Земли либо вне Земли, равна силе, с которой притягивала бы точку вся масса Земли, сосредоточенная в центре сферы.
На рис. 2.9 точка М находится в северном полушарии. Через Р обозначен вес тела, й — ускорение силы тяжести, Й вЂ” реакция связи, а †широ места, 1 †вект, направленный от точки М к оси вращения Земли под прямым углом. Вектор Р лежит в плоскости меридиана, проходящего через точку М. Направление вектора Р, которое можно на практике определить с помощью отвеса, не проходит через центр сферы, если 0(ас.п/2. Это направление, образующее с плоскостью экватора угол Р, назовем местной вертикалью. Разность углов (р — а) представляет собой отклонение местной вертикали от направления радиуса Земли.
Из треугольника 00'М найдем гпдсоз()=Рсоза — тгаЧ, пгйз!пр**г'з(пес, где (=рсоза (р — радиус Земли). Обозначая Р!т через)', запишем дсоз () =(~ — ыэр) созсс> яз(пр с~) 9(пя. (290) гл. п. динлмика матарихльнои точки На экваторе, при а=р=О, ускорение л будет равно Б =1 — ызр отсюда ~=9,+вар=а,(1+е), д=д,~/1+2е(1+ — )з(пза.
Отсюда с точностью до е в первой степени ужа,(1+ее(пза). (2.92) Полученная формула позволяет с приемлемой точностью вычислять величину я в зависимости от широты места, если положить л, = 978,03 м/сз, е = 0,005302. Выразим величину отклонения местной вертикали от направления радиуса Земли через угол а. Умножим обе части первого из равенств (2.91) на з(пр, а обе части второго — на созр и вычтем почленно из первого равенства второе.
Тогда и, з(п и соз а= д, (1+ е) соз р з(п а. Сокращая на общий множитель и„найдем з(п (р — а) =есоз р з(па. Обозначим малый угол (р — а) через бу. Тогда, полагая з1п (бу) — бу, найдем приближенную зависимость угла бу от широты места Ьу" — з1п 2а. е 2 (2.93) Из полученной формулы следует, что наибольшее отклонение местной вертикали от направления радиусе Земли, равное е12 (в радиаиной мере) будет при а=45'. В градусах наибольшее збо отклонение составит †„ е, т. е. около 1О'. где д, есть ускорение силы тяжести на экваторе, е= — (е «1).
мйр кв Тогда для проекций ускорения силы тяжести на широте а получим выражения дсоз б =д,соза, дз(п и =я,(1+е) з1па. (291) Из (2.91) следует !07 $9. ЗАДАЧИ Мы предположили, что Земля есть шар, состоящий из однородных концентрических слоев. На самом деле фигура Земли не является шаром, строение ее гораздо сложнее, н поле тяготения Земли несколько отличается от поля, создаваемого точечной массой, помещенной в центре Земли. Отклонения реального поля тяготения Земли от сферически-симметричного поля, создаваемого точечной массой, изучается при помощи тонких методов, разработанных современной гравиметрией ').
Уравнение (2.88) описывает и такое состояние материальной точки, которое можно охарактеризовать как состояние невесомости. Сосгояние невесомости наступает при (2.94) лттхвер Если на точку наложена связь, то прн невесомости ас=О. Простой пример поясняет сказанное выше. Предположим, что в однородном поле тяжести падает ящик. Тогда предмет, находящийся в ящике, падает вместе с ящиком и давление дна ящика на предмет исчезает. Разумеется, в состоянии невесомости не исчезают внутренние напряжения в телах, например, силы взаимодействия между гвоздями и досками, из которых сколочен ящик.
В неоднородном поле сил г строгое выполнение условия невесомости возможно лишь в точке, где Р=та„,р. В окрестности такой точки условие невесомости будет удовлетворяться приближенно (см. гл. 111, у 9). й 9. Задачи Рассмотрим в приближенной постановке задачу о падении свободной материальной точки на вращающуюся Землю и задачу о движении маятника Фукб. Выделим частные решения, которые наиболее просто показывают влияние вращения Земли на поведение материальной точки — влияние неинерциальности земных систем отсчета.
В рассматриваемых здесь задачах мы не будем принимать во внимание центробежную силу инерции, а следовательно, можем считать, что местная вертикаль направлена по радиусу Земли. Кроме того, имея в виду, что перемещения материальной точки малы по сравнению с радиусом Земли, допустим, что ее вес постоянен. Е Задача о падении материальной точки на вращающуюся Землю. Поле тяжести будем считать однородным, так как расстояние, на которое переместится точка, малб по ') Исследования поля тяготения Луны с помощью искусственных спутнн. ков показали, что в поле тяготения Луны имеются заметные отклонения от сферической симметрии.
!08 гл. и, динамика млтьрихльнои точки сравнению с радиусом Земли. Сопротивление среды учитывать не будем, начало координат О, поместим в северном полушарии, а оси выберем так, как указано на рис. 2.!О: ось ОД направим по касательной к меридиану на юг, ось О,т! — по касательной к параллели иа восток, ось ОД вЂ” вертикально вверх (Землю будем считать однородным шаром). Составим уравнение относительного движения, заменяя в (2.85) сумму векторов от и — вп„р через тй (вектор й обозначает ускорео ние свободного падения материальной гг точки на широте а): о- ! 7 гп — „"" = тп — 2т ооо ооч оос; (2,95) ч о -4 — — Ч здесь ооь= — сосоза, соя=О, соо = сох(па, и о', /, й — единичные векторы, направленные по осям координат.
Таким образом, члены, содержащие квадрат угловой ф скорости вращения Земли, не входят Риа 2.!о, в уравнение (2.95), и влияние центро- бежных сил сказывается лишь на величине вектора й. Основанием для этого является, во-первых, то, что угловая скорость вращения Земли мала (со — 0,00007 с-'), и во-вторых, что рассматриваемая точка движется не слишком долго.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
