В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Частные решения задачи трех тел были найдены Эйлером, Лагранжем и Лапласом. Мы здесь кратко рассмотрим частное , решение Лагранжа — так называемое треугольное решение. Лагранж 168 ГЛ. П1. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК показал, что три материальные точки с различными массами могут двигаться, находясь в вершинах равностороннего треугольника, который, изменяясь, всегда остается подобным начальному треугольнику. Движение точек совершается при этом в плоскости, неизменно связанной с системой Кенига. Так как движение точек плоское, то мы можем оси Кенига выбрать так, чтобы треугольник ага навыка всегда находился в плоскости (х', у'). Вспомогательную систему координат, начало которой в точке аз„ располо>ким так, чтобы плоскость (З, т() совпала с плоскостью (х', у') н рассмотрим относительное движение точек ага и аа„ воспользовавшись уравнениями (3.!11).
па На рис. 3.17 показано расположен' ние точек в некоторый момент времени. Положение каждой точки будем определять ее полярными координатами. Углы при вершинах треугольника обозначим через Вь Ищем частное решение системы (3.111) в следующем виде: Р11 = Р (1) ку (3.113) Рнс. 3 11 где Р (1) есть одинаковая для всех точек переменная, имеющая размерность длины, ху — безразмерный постоянный множитель.
Начальная длина стороны треугольника равна Ру ((а) = Р (1а) иу. Если длины сторон треугольника определяются соотношением (3.113), то очевидно, что углы О, при вершинах ааа не будут изменяться со временем. Запишем уравнения (3.111) в полярных координатах: а 1наан'а 1ианаа 1иана~ Ра(ри РиФа) = — —, — —,СОВ 81 — — СОЗВа, Р)а Р)а Р(а Ра — (Р Ф )= — —,в(п 8,+ —,з(па„ 1паана 1иа"аа Ф Р)а Раа )аа (Ри — Рифа) = — —, — —, соз О, — —, соз В„ 1наанаа 1иаана йаанаа Р)а Раи Раа Ра — (Рифа) —,в1п Ва+, вап 81. 1ианаа . 11аанаа ат Раа Р)а х,а х„ха, аьа За Нп За а1п За Заменим ра~ по формуле (3.113) и примем во внимание известныи соотношения между сторонами и углами треугольника: $1а.
о 3АдАче тРех тел Замечая, что ф,=фа=ф, запишем уравнения движения в виде тата Ивтв 1аата (авх„(р — рф') Р,Наа — (Рвф) = 1Ралаз (",. тата Ра"1в Рата ( в1п 9, ~1~ аа') р,х'„ — (р'ф) = (раааа Если тРеУгольник ава авв авв всегда остаетси РавностоРонним, то хм=и~=хза=х и 61 — — 6 =9,=0=я/3. ПРавые части пРоекций УРавнений движениЯ точек .зтв и ааа иа трансверсали при этом обратятся в нуль.
Следовательно, уравнения относительного движения точек ааа и авз допускают интеграл площадей: р аа =рафы в а'Р а Проекции уравнений движения на радиальные направления и римут простой вид р — рф' = — ( ~' + а* + ~а . Таким образом, движение точек Фв и агз относительно системы координат $, т1 будет описываться уравнениями такого же вида, как и одной точки, движущейся в поле тяготения неподвижного силового центра. Значит, точки авв и Мв будут описывать конические сечения с общим фокусом в точке ава.
Если же угол 9, и один из остальных углов, например, 9„равны нулю (угол 9, при этом равен и), то материальные точки располагаются на одной прямой, вращающейся вокруг оси аваь с угловой скоростью ф. Точки аав и аг„ так же как и в треугольном решении Лагранжа, описывают конические сечения с общим фокусом в точке ага. В этом случае множители нау не равны друг другу. Если точка авв лежит между точками аав и авв(угол 0в равен и), то бУДем иметь Рм=Рм+Раз, слеДовательно, хм=ива+нвз. Обозначим через ) отношение хаз к ха„положив ива=)аква'.
тогда наз=(1+)а) на,. Лальше мы покажем, что величина Л, зависящая от масс точек, является решением алгебраического уравнения пятой степени. Частное Решение заДачи тРех тел, в котоРом точки ат„.звв и аа„двигаясь по коническим сечениям, всегда располагаются иа одной прямой, было найдено Эйлером. 1ТО ГЛ. П1. СИСТЕМЫ СВОБОДНЫХ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК Положим 0,=0а=О, О,=п; тогда трансверсальные составляющие ускорения точек ака и ага обратятся в нуль.
Если мы потребуем, чтобы отношение радиальных ускорений этих точек было равно отношению радиальных проекций сил, то получим нужное уравнение для Л. Уравнения движения точек ава и ыка относи. тельно системы координат $, т) можно записать в следующем виде: 1 1~ 1(1+ Л)' Ла1 (,+ )+.а~ —,— —,1 иаа (Р— Рф ) — — 1 еаа+еа 11 (1+Л) + ~'+Л/ Иаа (1+ Л) (Р— Рф') - — 1 Здесь приведенные массы ра и Ра заменены их выражениями через т1. Приравнивая отношения левых и правых частей этих уравнений и сокращая на общие, заведомо отличные от нуля, множители, мы после простых выкладок придем к алгебраическому уравнению относительно Л: (т, + т,) Л'+ (Зт, + 2т,) Ла+ (Зт, + т,) Л'— — (та+Зт,) Ла — (2т,+Зт,) Л вЂ” (т,+т,) =О.
Исследуя перемены знаков левой части, можно показать, что это уравнение имеет только один положительный корень. Возвращаясь к барицентрической системе координат, мы обнаружим, что и в случае треугольного решения Лагранжа, и в решении Эйлера все три точки будут описывать конические сечения с общим фокусом в центре масс. Расстояния между точками при некоторых условиях могут оставаться неизменными, т. е.
точки могут покоиться относительно некоторой равномерно вращающейся системы координат. Относительное равновесие точек мы рассмотрим с несколько иной точки зрения в последнем параграфе седьмой главы. Если масса одной из точек весьма мала по сравнению с массой других точек, то можно пренебречь ее воздействием на точки с ббльшей массой и рассматривать движение этой точки в поле тяготения двух подвижных силовых центров. Движение точек с ббльшими массами находится из решения задачи двух тел и дальше считается известным. Задача трех тел в такой приближенной постановке называется ограниченной задачей трех тел.
Первоначально она возникла при исследовании движения малой планеты в поле тяготения двух гигантов †Солн и Юпитера. Впоследствии, в эпоху развития космонавтики, решение ограниченной задачи трех тел было применено, например, при исследовании движения искусственного спутника, запущенного в сторону Луны, в поле тяготения Земли и Луны. Подробное изложение классической задачи трех тел (ограниченной и неограниченной) можно найти в 1111. ГЛАВА ГУ МЕХАНИКА ЛАГРАНЖА. СИСТЕМЫ СО СВЯЗЯМИ. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ Мы переходим к изучению так называемой аналитической механики, основы которой были заложены Лагранжем в его трактате «Аналитическая механика», опубликованном в !788 г.
в виде двух сравнительно небольших томов [17). В первом томе Лагранж, подытожив все достижения механики того времени, вывел общие уравнения аналитической механики и дал методы решения конкретных задач. Назначение своего труда сам Лагранж характеризует такими словами: «Я поставил себе целью свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи». Наиболее удобным объектом для постижения идей и методов Лагранжа являются системы со связями, к которым мы теперь и обратимся.
С другой стороны, рассматривая равновесие и движение систем со связями, мы увидим, насколько гибки, остроумны и удобны для изучения таких систем методы Лагранжа «1. В состав рассматриваемых систем войдут материальные точки и абсолютно твердые тела, ио в силу того, что механика абсолютно твердого тела будет изложена в главе Ч1, мы ограничимся здесь лишь примерами плоского движения тела.
От читателя потребуется знание простейших мер движения тела, которые должны быть ему знакомы из курса физики. Составляя уравнения движения, мы будем пока записывать их как для систем материальных точек, применяя конечные суммы. Системы материальных точек и тел условимся называть иногда для краткости просто «материальными системамиж $1. Виды связей Рассмотрим систему, состоящую из л материальных точек, или материальную систему, положение которой определяется и точками. Положение каждой материальной точки определяется тремя координатами; положение абсолютно твердого тела — тремя точками, не лежащими на одной прямой, или шестью парамет- ') Методы Лагранжа применимы, разумеется, и к системам свободных материальных точек.
!72 гл. не механика ллггхнжх, вхгихционныв пгинципы рами (см. Кинематику). Если на систему наложены связи, то координаты материальных точек и точек, определяющих положение абсолютно твердого тела, должны удовлетворять дополнительным уравнениям — уравнениям связей. Число параметров, определяющих положение абсолютно твердого тела, на которое наложены связи, уменьшается. Например, положение тела с одной неподвижной точкой определяется тремя углами; если у тела закреплены две точки, то его положение определяется одним углом и т. д.
Связи, наложенные на материальную систему, представляют собой некоторые материальные тела, состояние движения которых считается известным, заданным. Тела могут быть абсолютно твердыми, либо деформирующимися с известным законом изменения формы. Во всех случаях будем считать, что движение рассматриваемой материальной системы не вл и яет на поведение связей. Если физическая природа связей такова, что координаты точек, определяющих положение материальной системы, подчинены уравнениям вида 1,(х„д„г„..., х„, у„г„)=0 (1=1, 2, ...
р). (4.1) то такие связи мы будем называть голономными и ггпационорными (не зависящими от времени); если же в левые части уравнений явно входит время, то — голономными и неснюпионарнилп (зависящими от времени). Уравнения голономных нсстациоиарных связей имеют вид 1;(хо рн еп ..., кп, р„, гп', 1)=0 (1=1, 2,..., р). (4.2) Число уравнений связей равно р.
Если система движется, то очевидно, что р(Зл. В случаях, когда (г=Зп, система закреплена и координаты точек можно вычислить нз уравнений связей. При р ) Зи имеются избыточные закрепления; заметим, что в подобных случаях нельзя найти реакции связей методами только теоретической механики (например, балка, лежащая на трех опорах). Связи могут быть однолпоронними н двусторонними. Односторонние связи называют еще освобождающими — материальные точки могут покидать такие связи. Реакции односторонних связей направлены в сторону возможного схода материальных точек. Двусторонние связи — нсосвобождающие, их реакции могут быть направлены в любую сторону.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
