В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Найдем главную линейную часть приращения этой функции, предполагая существование частных производных по всем переменным: а л. ч. (Р— Р) = А,~ ( — бха+ буа+ бга+ а=! ду . ду . дР +дг бха+д —.буа+д— ,. бг„). Главную линейную часть приращения функции Р будем называть изокронной Вариацией функции Р и обозначать через 6Р. Пусть на систему и точек наложены )А голономных связей, уравнения которых имеют внд /~(х„, уа, г„; () =О. (4.2) 178 гл.
[ч. мяхАникА лАГРАнжА. ВАРиАционныа пРинципы Если мы дадим системе виртуальное перемещение, то 1! (ха+ бха> Уа+6Уа> га+беа~ Г) =О. (4.6) .Разложим левую часть (4.6) в ряд по степеням бха, буа, бра, предполагая, что 77 дифференцируема по всем переменным. Принимая во внимание (4.2) и сохраняя только линейные относительно приращений координат члены, получим (д бха+д бйа+д беа)=0 (1=1, 2, ..., р). (4.7) 7 д(! д(! д/! а ! Система (4.7) есть система линейных однородных уравнений, связывающих изохронные вариации координат, — система уравнений связей для виртуальных перемещений.
Число вариаций координат равно Зп, число уравнений — р, следовательно, Зл — р = ! вариаций координат мы можем считать независимыми, а остальные р — зависимыми. Это означает, что 7 вариаций мы можем задать (разумеется, в разумных пределах). Затем, используя (4.7), вычислить остальные. Число независимых изохронных вариаций координат — число независимых виртуальных перемещений — называется числом степеней свободы системы. Нетрудно заметить, что число независимых координат, определяющих конфигурацию голономной системы, и число степеней свободы этой системы совпадают.
Если же система неголономная, то благодаря дополнительным соотношениям между приращениями координат число степеней свободы меньше, чем число координат, определяющих конфигурацию системы. Поясним это на разобранном выше примере (рис. 4.2). Физи. ческая природа связи (плоскости, по которой катится диск) такова, что скольжение невозможно — перемещение точки диска, совпадающей с точкой касания, с точностью до малых первого порядка равно нулю. Очевидно, что связь допускает поворот вокруг осн О'ь на угол 6Ч'. Поворот диска вокруг оси О'и на угол б!р вызовет изменение координат точки О'. Элементарное перемещение точки О' в плоскости диска будет равно ( — Гбр).
Отсюда находим вариации координат точки О': 6Х! = — Г соз Ч!б!р, 6)" = — Г з!п Ч'6<р. Таким образом, рассматриваемый диск имеет две степени свободы и за независимые виртуальные перемещения можно принять вариации углов 6Ч' и бч. Полученные уравнения неголономной связи для виртуальных перемещений совпадут с уравнениями (4.5), если в последних заменить диф4!еренциалы через вариации.
Дальше мы увидим, 179 Э 3. НЕЗАВИСИМЫЕ И ЗАВИСИМЫЕ КООРДИНАТЫ что это не случайно, ибз рассматриваемая неголономная связь не зависит от времени. Перемещения точек системы за время б1 в действительном движении будем называть действительными элементарными перемещениями (короче действительными перемещениями). Найдем уравнения голономных связей для действительных перемещений. В момент времени 1+с(г будет >ту (Ха+ С(Хаю уа+ Г(йа Еа+ Жза~ (+ д1) = О. (4. В) Уравнения связей получим, вычисляя главную линейную часть разности левых частей (4.8) и (4.2).
Для этого предварительно левую часть (4.8) разложим в ряд по степеням всех дифференциалов. Уравнения связей для действительных перемещений будут иметь вид ' и а (>=1, 2, ..., р). Система уравнений (4.9), линейных относительно дифференциалов, и есть система уравнений связей для действительных перемещений. Уравнения для действительных перемещений совпадут с точностью до обозначений неизвестных с уравнениями (4.7) для виртуальных перемещений, если связи стационарные, т. е. если а(- -~=0. В этом случае мы будем говорить, что действительное д> перемещение каждой точки геометрически *) совпадает с виртуальным.
Короче: действительные перемещения принадлежат множеству виртуальных (Йгаее бг„), если связи не зависят от времени. Виртуальные перемещения удовлетворяют т о л ь к о уравнениям связей, тогда как действительные, помимо уравнений связей, должны удовлетворять уравнениям движения и начальным условиям. Кроме того, нужно подчеркнуть, что, в отличие от виртуальных, действительные перемещения — на самом деле перемещения точек системы. $ 3. Независимые и зависимые координаты. Обобщенные координаты Рассмотрим систему, состоящую из и материальных точек (или систему, положение которой определяется и точками). Пусть на точки наложены р голономиых связей.
Уравнения связей имеют вид (4.2) — мы предполагаем, что связи могут зависеть от ") Но ые по смыслу. 1зо гл, еч, механика лзгэлижл. вляихционныа пяинципы времени. Изменим обозначение и нумерацию декартовых коорди- нат, положив хе = х„ ре = х„ г, = хз, , х„ = хзз-ь уз = хз -м г„ хз . Система уравнений примет вид /;(х,, хз, х„..., хз„', 1)=0 (/=1, 2, ..., р), (4,!0) Все декартовы координаты разделим иа две части: 1=Зп — и координат будем считать независимыми, а оставшиеся р — зависимыми. Это значит, что 1 координат мы можем задать (разумеется, в разумных пределах), а )е=Зп — 1 найти из уравнений связей. Допустим, что координаты х„х„..., х, мы можем принять за независимые (в противном случае изменим нумерацию координат).
Допустим, кроме того, что выполняется условие разрешимости системы (4.10) относительно координат хмм хмз, ..., х,„, т. е. определитель Якоби не равен нулю: ' д/, д/, д/, дхеее' дхаз' "' ' дхзз д (/,, ..., /„) чь О. (4. 11) д(хае, ..., хз ) д/, д/„ дхе+,' дхмз' "' ' дхзз Хотя условие разрешимости уравнений связей относительно хз и х, очевидно, мы все же выпишем его в общем виде: д/, д/, дхз дх, д/, д/з дх дхе 40, или ~ ~~ ~2(хе — хз) ~0 Следовательно, должно быть соз а ~ 0 (а чь и/2), хе чь хз.
Тогда гз (!ИО) мы найдем х,=ер;(х„...', хб 1) (е'=1+1, 1+2, ..., Зп). (4Д2) Выделение зависимых и независимых декартовых координат поясним на примере системы, изображенной на рис. 4.1. Запишем уравнения связей, изменив обозначение координат: /з(х„хз; 1) =х,ейп(а(1)1 — х,соз(а(1)1=0, /з (хе хзь хз~ хе) — = (хз хе)'+ (х, — х,)' — Р = О.
Примем за независимые координаты х, и х,. Разумные пределы задания независимых координат в этом случае будут, очевидно, выражены неравенством ~ хз — хе ! ~ 1. !81 $ 3. НЕЗАВИСИМЫЕ И ЗАВИСИМЫЕ КООРДИНАТЫ Тогда хз=хэ~)г) (хз х!) ° х, = х, 1д а, Несравненно удобнее, однако, вводить новые переменные, переходя от декартовых координат к другим — обойм(енным (криволинейным) координатам, с помощью которых проще и выразительнее можно описать движение рассматриваемой системы. Новые координаты называются обобщенными, так как они представляют собой некоторые функции декартовых координат; размерность. обобщенных координат может отличаться от размерности декартовых.
Формулы преобразования должны быть конечными (не дифференциальными), а само преобразование должно быть взаимно однозначным (может быть, в некоторых пределах) "). Если же окажется, что по какой-либо причине формулы преобразования будут дифференциальными, то они должны быть интегрируемы — новые координаты должны быть голономными.
Числ!в новых координат равно числу независимых декартовых координат, а для систем свободных точен — числу всех декартовых координат. Обычное обозначение обобшенной координаты — буква 4)„ где з — номер координаты **). В аналитической механике часто пользуются очень удобнызз геометрическим языком: вводится понятие конфигурационного пространства — многомерного метрического пространства, в котором положение точки определяется координатами !),. Размерность этого пространства равна числу независимых координат, Движению механической системы (или иного объекта) отвечает движение изображающей точки в пространстве конфигураций.
Иногда применяется расширенное конфигурационное пространство, в котором время рассматривается как дополнительная координата.. Размерность такого пространства равна 1+ 1. В трехмерном евклидовом пространстве, в котором движетсгг система материальных точек и тел (в пространстве, являю.цемся моделью реального физического пространства), линии, вдоль каждой из которых меняется лишь одна обобщенная координата, бывают обычно кривыми.
Поэтому обобщенные координаты называют еще криволинейными. Иногда в качестве обобщенной координаты может быть выбрана декартова. Запишем формулы преобразования координат: х„ = Чгг(д„ ..., 4),; 1) (ч = 1, 2, 3, ..., !), (4.13) ') Такого рода преобразования называют точечнымн. "") Обобщенные коордннаты — контраварнантные велнчнны.
Поэтому строго говоря, нужно писать дг !нндекс вверху), но в нашем курсе это несущественно н мы будем пользоваться привычной эапнсью. 182 гл. ИА мехАникА лАГРАнжА. ВАРЯАционные пРинципы Где х, — независимые декартовы координаты. Очевидно, что определитель Якоби этого преобразования не должен быть равен нулю: о(«ь «» " «г) ~ (! д (чг ом °" ч!) Обращаясь к формуле (4.12), найдем *) х =гр [Чгг(д, г), ° ° ° Чгг(д, г) «1. Вместо (4.13) н (4.!5) мы можем записать (4.15) хе=у»(дг, де, ", дб !) (1=1, 2, ", За), (4.16) или ') Условвмся для краткости вместо Чгт(оь о„..., дб !1 иногда писать «)гт (д, Г). та=та(ди ° ° ° е дб !).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
