В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Теорема об изменении кинетического момента. Если среди виртуальных перемещений есть поворот системы как целого вокруг неподвижной оси, то производная по времени от проекции кинетического момента на вту ось равна проекции на вту же ось суммы моментов всех внешних сил. Здесь бк, мы выразим через малый угол поворота бу по формуле Эйлера: бка=(ебук,1, где е — единичный вектор, направленный вдоль оси, бт не зависит от номера точки. Выражение бк, подставим в (4.40): и ~~~„((Еа та а. ) [е буга)) =О.
а ! Переставив сомножители в смешанном произведении, используя независимость е от времени и сокращая на бу, получим искомое уравнение для проекции кинетического момента на направление е: (4.49) Полезно непосредственно рассмотреть случай, когда осью виртуального поворота является координатная ось, например, ось Ог. Введем временно для точки Ма сферические координаты: ха = га сов %а соз 0а уа га соз %а з1п Оа га = га з1п 7а.
По условию бга О, бц, = О, 60а = бт. Вариации координат точки М, будут раины бхай=ха соз фа з1п 0абу — уабу, буа = га соз фа соз 0абу= хабу, бг =О. Подставив значения вариаций координат в (4.41) и сокращая на бу, получим: а 'Е Нрав таха) ( Уа) + (Еаг таРа) ха) = О а Э е. основныв творимы динамики систам со связями 199 или »»» л»а (хаУа У«ха) ~ (Хасаи» нага»). (4.50) а=! а=! Равенство нулю проекпии на ось Ог суммы моментов внешних сил приводит к интегралу кинетического момента: а „Я~ в«а (хауа у«ха) = сопз(, а 1 Если «жесткий»' ) виртуальный поворот системы можно совер- шить вокруг любой оси, проходящей через начало координат,— направление вектора е произвольно, — то мы получим векторное уравнение кинетического момента.
Используя произвольность и независимость вектора е от времени, из (4.49) найдем а и —,"»' ')гат,т!,1 =',! [г„г"„!'!]. (4.51] а=! а=! В таком виде, как мы знаем, уравнение кинетического момента получается для системы свободных материальных точек. Вектор- ное уравнение кинетического момента описывает также движение абсолютно твердого тела с одной неподвижной точкой; при этом конечные суммы переходят в интегралы (гл. Н). П1.
Теорема об изменении кинетической энергии. Если идеальные связи, наложенные на систему, не зависят от вре- мени, то дифференциал кинетической энергии системы равен сумме влементарных работ на действии!ельных леремеи(ениях всех внеш- них и внутренних сил. В этом случае действительные перемещения геометрически совпадают с одним нз виртуальных. Поэтому в уравнении (4 40), где бг, есть символ любого виртуального перемещения, допу- скаемого связями, мы можем бга заменить через дг,=пад(! и ((Ра - та — „9) дг' ! = О. а После простого преобразования получим ~ (Ра дга). (4 52) а=! а и Если все активные силы консервативны, то ~ч,' (л дга) — дУи а '] «Аасолкнио жесткие», кли, короче, «жесткие» иеремыиеиии ие икмеиикн расстоиаиа между «очками системы, ЯОО гл.
!у. мвхлникл лагранжа, влрилционныв принципы мы приходим к интегралу энергии п 2 1 шова — + (т = опз(=Ею а=! где (т' — потенциальная энергия системы. Условия, позволяющие исключить реакции идеальных связей, являются, очевидно, достаточными. Способ, который мы, следуя Лагранжу, изложили выше, доставляет во многих случаях нужное число уравнений движения. Возможность вывести то или иное уравнение зависит, как мы видели, от характера связей. Полезно поэтому рассмотреть вывод уравнений движения с несколько иной точки зрения. Отойдем на время от принятого нами способа изохронного варьирования и рассмотрим полную вариацию, сравнивая различные близкие положения точки в различные, но тоже близкие моменты времени.
С этой целью введем не зависящий от времени параметр а и будем считать координаты точек функциями времени и параметра а, полагая г,=г,(а, т') Обозначая полную вариацию через б, запишем (4.54) (4.55) а П ((г — т!! дт )цг ) = — ! ~Ю„дч) бт. (4.56) а=! а=! Если связи стационарные, то векторы ! — ) 6! геометрически /дга'! '! д! )а /дга! ") Частную производную ~ †) не следует смешивать с частной произ'! дт )а водной от га но времеви, явно входящему в формулы нреобразованья каординат, т. е. в фоРмУлы га гс,(дз, ..., 4!, !). где — ба есть изохрониая вариация, равная бㄠ— изменение дга параметра а переводит точку с одной траектории на другую, близкую к исходной.
Частная производная — вычисляется при дга д! фиксированном значении параметра а, т. е. вдоль действительной траектории *). Следовательно, вычисляя (Лга)за о =габ!, мы сравниваем два близких положения точки М„на траектории в моменты г и с+6!, где 6! есть произвольно выбранное малое приращение времени. Обе части уравнения (4.38) скалярно умиожим на бг„ затем просуммируем по а и, принимая во внимание условие идеальности связей, получим З а. основнын творимы динамики систем со связями 201 совпадают с некотоРыми из множества бхе ь) и тогда ~ (Я„ф 6(=О. а=1 Левые части уравнений стационарных связей не содержат времени, следовательно, эти уравнения не изменят своего вида, если положить У =1+61, ба=О (см.
(4.1)). Частные производные ~ —,~ 'уаг„Ы и здесь можно заменить через и«. Независимость связей от времени позволяет считать 61~0. Из (4.56) следует ~~~~ ((Р. пт„"' ) и.) О, Умножая обе части на Й, получим Пусть левые части уравнений голономных связей (4.2) не содержат координат х„хм ..., х„, либо зависят, кроме у„г и 1, только от разностей вида (х„— ха). Очевидно, этн уран- у и, пения не изменятся, если положить Х;=хам+63, бу; = 1 =-. 6га — — О, 61 =0. Такой системе вариаций координат Ру(х „ ,(ха„уа) отвечает поступательное «жесткое» виртуальное переме- Ср(хоЬ е»9 щение вдоль оси х. Из ди- х намического принципа виртуальных перемещений мы Рнс.
4.3. получаем уравнение (4.47). Приведем простой пример (рис. 4.8). Вдоль горизонтальной оси может скользить брусок массы ит. С бруском связана стойка, на которой подвешен точечный маятник (масса пта). Высота точки подвеса О, равна й, длина нерастяжимой н невесомой нити равна 1, координаты центра масс бруска равны хы Ь. Уравнения связей для этой системы имеют вид (х, — хт)а+(уа — )т)а — 1» О, у,-Ь ') То есть перемещение вдоль траектории принадлежит множеству вир. туальных перемежений (см. действительные перемептеннн прн стаянонарнын сна»их — гл.
1Ч, $ 2). НП гл. цк мвххника лагганжх. вагиационныв пеинципы Положение всей системы можно определить двумя обобщенными координатами, х, и ф. Уравнения связей сохраняют свой вид, если положить 6х, бх,=Я, бу, бу, О. Предполагая, что система движется в однородном поле тяжести без трения, запишем проекцию уравнения движения центра масс системы на ось Ох: д — (т»х, + т,х») = О.
й Отсюда т,х» + т»г» = см пли (т»+т») х»+т,) соз фф= с,. Записав уравнение кинетической энергии (связи не зависят от времени), получим второе дифференциальное уравнение движения: ( — + 2 ('+4- —.~ "у" из которого следует интеграл энергии +2В1ф сох ф)-т»у! соз ф Е,. Допустим теперь, что в левые части уравнений связей (4.1) или Рис 4.9. (4.2) координаты х„и уе входят только в виде (х„'+у ). Уравнения связей не изменяются (с точностью до малых первого порядка), если положить бха=* — у,бу, бу„=х„бу, 6г„=О, 6~=0, что соответствует акесткому» виртуальному повороту вокруг оси Ог на угол бу.
Пример (рис. 4.9): система состоит из трех точек, М„М„ М„с массами т»=т„т», расположенных в вершинах ромба ОМ,М,М, и соединенных жесткими невесомыми стержнями длины (. В вершинах ромба идеальные шарниры. Точка О неподвижна, точка М, может скользить вдоль оси Ог. Запишем уравнения связей: х,'+у',+г,'-Р=О, х,'+у',+(г»-г»)'-Р=*О, х',+у,'+㻠— Р=О, х,=О, к»+у,"+(га- г»)'- Р = О, у.=О. $6, ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ 203 Кроме записанных шести уравнений нужно еще записать условне того, что точки лежат в одной плоскости: хпу» — х»у, = 0 илн 0, = 9». Положение системы определяется двумя независимыми координатами, следовательно, для описания движения нужно составить два уравнения без <лишних неизвестных».
Симметрия уравнений связей относительно координат хь у~ указывает на то, что мы можем записать уравнение для проекции кннетического момента на ось Ог. Если система движется без трения в однородном поле тяжести, то моменты сил тяжести относительно осн Ог будут равны нулю и мы получим интеграл кинетического момента. В уравнении (4.50) выразим декартовы координаты через углы р и 0 (см. рис. 4.9) и запишем уравнение кинетического момента в следующем виде: — „(2т,(» яп' ~р — ) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
