В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 37
Текст из файла (страница 37)
о=! а=! а=! Первые суммы в фигурных скобках представляют собой обобщенные силы л Х,(.Ф)= ' (4.28) С другой стороны, дифференцируя (4.58) частным образом по оу„ найдем (4.62) о=! частные производные — и — непредога дога дд! дд! ддо д! Предположим, что рывны; тогда (4.63) Лля того чтобы преобразовать суммы (!па )» обратимся к формуле (4.58), из которой следует, что вектор скорости каждой точки будет зависеть от д„!), и, может быть, от времени 1, т.
е. от переменных, определяющих состояние движения рассматриваемой системы: т!а=с!а(лло~ ° ° ° о 9о~ !)ь ° ° °, Цо~ 1) (4.59) (не обязательно все переменные д„!)„1 войдут в формулу (4.59)). Условимся при частном дифференцировании каких-либо функций по любой из (21+1)-й переменной д„!), и 1, остальные считать постоянными. Из (4.58) получим дй, дд! ' (4.60) дга Рассмотрим теперь частную производную —.
Очевидно, что дд зта частная производная может зависеть лишь от обобщенных координат и времени. Тогда, дифференцируя по времени, получим ! (4.61) !=! з!в гл. пл мех»ника лхгглнжл. вхгихционныв пгинципы виртуальных перемещений в следующем виде: (4.66) Уравнения Лагранжа 2-го рода — уравнения движения системы материальных точек и тел с идеальными, голономными связями— мы получим нз (4.66), опираясь на независимость изохронных вариаций обобщенных координат.
Приравнивая нулю коэффициенты при б!Т„придем к системе дифференциальных уравнений: — — — — (з=), 2, ..., (). дТ дТ д! дй, дд, (4.67) Число уравнений в системе (4.67) равно числу степеней свободы системы. Как мы видели, эго тесно связано с независимостью вариаций б!7„ т.
е., в конце концов, с голономностью системы. Система уравнений Лагранжа 2-го рода представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второ~о порядка, в которой неизвестными функциями времени явлйются обобщенные координаты !7,. Число неизвестных функций — в силу голономности системы — равно числу уравнений. Отличительная особенность вывода уравнений Лагранжа заключалась в том, что были исключены <неработающие» силы,— силы, сумма виртуальных работ которых равна нулю. Такими силами, в частности, являются реакции идеальных связей.
Покажем, что если связи идеальные, то обращается в нуль каждая обобщенная реакция. Запишем условие идеальности связей (4.22) в обобщенных координатах: ! л По определению обобщенных сил коэффициенты при б!7, представляют собой обобщенные реакции идеальных связей. В силу независимости бд, » Переход от декартовых координат к обобщенным связан с введением многих обобщенных понятий. Мы уже встретились с обобщенной скоростью +, с обобщенной силой а У (Є— ) или Я, = — '. Частная производная — назыдг< ! (ЛЬ)! дТ " дд, ) сч~ д4» а ! % 8. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 2-ГО РОДА 213 вается обобщенным импульсом. В последующем встретятся и некоторые другие обобщенные понятия. Далеко не всегда эти обобщенные понятия можно истолковать на языке элементарной физики.
Таким образом, движение голономной материальной системы можно описать, составляя систему уравнений Лагранжа 2-го рода в виде (4.67). Специфическая (очень удобная!) форма этих уравнений при первом знакомстве с ними как бы скрывает их структуру, и мы не видим, как в уравнения входят производные по времени от обобщенных координат, к какому виду дифференциальных уравнений могут быть отнесены уравнения Лагранжа в каждом еи конкретном случае. /и~ Чтобы ответить на эти вопросы, дальше, в 4 )!, мы рассмотрим так называемый явный вид уравнений Лагранжа в общем б ее случае. Здесь же заметим, хе что для понимания сушества и особенностей мето- Рис, 4.11.
да Лагранжа недостаточно изучения'одной теории: необходимо рассматривать много примеров и задач. Изучение уравнений Лагранжа должно быть предметным. В нашем курсе мы приведем некоторые примеры на составление и применение уравнений Лагранжа 2-го рода, но число их в силу ограниченности объема невелико и, конечно, недостаточно для освоения одной из самых важных глав механики. Проиллюстрируем составление уравнений Лагранжа 2-го рода на следующем простом примере (рис.
4.11). Система состоит из повозки массы ш„которая может перемещаться на двух одинаковых катках, по горизонтальной плоскости. Массы катков равны ш „ радиусы — геи моменты инерции относительно оси вращения — ', (мы уже указйвали на то, что понадобится знание простейших характеристик и мер движения абсолютно твердого тела). К повозке прикреплен точечный маятник массы ш„подвешенный на нерастяжимой и невесомой нити длины й Предположим, что катки не могут скользить по плоскости и что трение в точке подвеса маятника и в осях катков отсутствует.
Система находится в однородном поле тяжести. При подсчете числа степеней свободы предположим, что маятник колеблется в вертикальной плоскости (хОу), а повозка движется в пой же плоскости вдоль прямой Ох, не отрываясь йы Гл, ил мехАникА лАГРАнжА. ВАРиАционныа принципы от нее*). Число степеней свободы системы, как нетрудно подсчитать, будет равно двум. Система голономная (точнее, «полуголономная»), поэтому и число координат, определяющих ее конфигурацию, также равно двум.
В качестве обобщенных координат выберем «г, = фы «гз =ха (координата центра масс повозки). Обозначая угол поворота катка через 8, и используя условие отсутствия скольжения, найдем: га (величины, знак которых заранее неизвестен, удобно записывать как положительные — их часто называют «алгебраическими»). Составим выражение кинетической энергии.
Кинетическая энергия маятника — г (х»+ )зфЧ + 2У»6р, соз ф»); кинетическая энергия повозки и катков й х3+2(2"~ + а «) — (тз+2тз+ — ')х8. Следовательно, кинетическая энергия всей системы будет равна Т = — (т, + т, + 2та + — «) х8+ — ' ((»Ф1 + 2(фгхз соз ф,). Задавая виртуальные перемещения Ьфг)0, бх,=О, найдем обобщенную силу ганг: ()г = — т,йу и гп «р,. Если дать виртуальное перемещение бф,=О, бх,) О, то очевидно, получим Для составления уравнений Лагранжа 2-го рода вычислим обобщенные илгпульсы: дТ вЂ” = т, ()зфг+ (хз соз «рг), дфг дТ ! з«»Л вЂ” = (ГЛЬ+тз+2П»з+ —,.') Ха+ тт(ф, СОЗ ф,.
Отметим попутно, что первый обобщенный импульс имеет размерность (и смысл) момента импульса маятника относительно оси подвеса. Что касается второго обобщенного импульса, то, хотя ') Если маятник достаточно массивен по сравнению с повозкой, и если ему сообщена достаточно большая угловая скорость, то вся система может двигаться «подпрыгивая», т. е. отрываясь от плоскости.
Это будет, когда при ,ф«-ь и вертиквльные реакпии плоскости изменят знак. э к ВыРАженив кннетическои энеРГии 2!6 он имеет размерность обычного импульса (количества движения), 21в смысл его, благодаря члену —,У„иной: он частично порожден вращательным движением катков. Частные производные от кинетической энергии по ф, и хэ будут равны соответственно дТ дТ вЂ” — т,(ф,х, з1п ф„— = О. д% дх Составим уравнения Лагранжа: тз (1 ф1 + 1хз соз фг)= тя1 з(п фз, ( ть+тэ+2т "(- — ) Ух+ — (т~1ф) сов ф ) О, в Первое уравнение, разрешив его относительно ф„можно рас- сматривать как уравнение движения маятника относительно неинер- цнальной системы отсчета, связанной с повозкой. Скорость дви- жения этой системы, равная х„н е з а д а н а.
Проекция силы инер- ции на касательную к траектории маятника равна — т„1У,сох ф,. Второе уравнение представляет собой проекцию уравнения движения центра масс системы на ось Ох и допускает интеграл: ( 21~ ~ т, + т, + 2т, + —,,' ) х, + т,йК соз ф, = см дТ Мы видим, что сохраняется обобщенный импульс —.. Интегрируя дхц ' еще раз, найдем закон движения центра масс системы вдоль оси Ох: ( 2Гв ~ т, + т, + 2тз+ —,' ~ х, + т,1 з! и ф, = с,1 + с„ где ст и с,— постоянные интегрирования.
Дальше, в 3 12, мы подробно рассмотрим интегралы уравнений Лагранжа, а здесь только заметим, что, кроме интеграла обобщенного импульса, система допускает еще интеграл энергии. Комбинируя два интеграла, мы сможем применить метод качественного. исследования движения системы (гл. П, 2 3). й 9. Зависимость кинетической энергии от обобщенных скоростей. Теорема Эйлера об однородных функциях Мы уже убедились в том значении, которое имеет кинетическая энергия системы при составлении уравнений Лагранжа 2-го рода.
В каждой задаче, решаемой с помощью уравнений Лагранжа, после подсчета числа степеней свободы системы и выбора обобщенных координат, нужно составлять выражение кинетической. энергии. Поэтому очень важно знать характер зависимости кине- 'эсв гл. сч. мвхлннкх лагясснжх. влгихционныв пяннцнпы тической энергии от обобщенных координат и, главным образом, от обобщенных скоростей. Обратимся к выводу формулы для кинетической энергии. Возведем в квадрат правую часть (4.68): Используя (4.68) и (4.69) и меняя порядок суммирования, получим С з 'Т= — ) ~~с ~ (т„—" — ")с)сс)с+ с=! с -! а=! з з + ~, з т~~ дс д )сс~+ э ~ т„сс дс ! ° (4.71) з са ! сс =1 Введем обозначения п а=! (4.72) (4.73) а=! Формула (4.71) примет вид с с а ~1 Ассе!ос+ ~1 Вз4з+ —',) т„( дс) ° (4.74) с-! с=! з ! сс ! А;с и В, могут зависеть от с)м д„ ..., с)с и 1.
с с ! ж! функцию обобщенных скоростей — ~~ ~~~~ ~А;Щ7~ Т=— Коэффициенты .Квадратичную сс ! с з с м-(~ с" з.-! з1 -~~ з" з) с з( з л з' з) ! ( з1 (4.68) Очевидно, что з с с ,'з д 4 ,'з з ( д д ) с)сс)с' (4.69) з=! / с=! С-! Квадрат скорости тс„, выраженный через )„подставим в формулу кинетической энергии: з з г 3 сс=! сс 1 з=! $9. ЕыРажение кинетическОЙ энеРГии 21Т ! ОбОЗНаЧИМ ЧЕРЕЗ Т„фуНКЕИЮ ПЕрВОй СТЕПЕНИ 'Я ВзДз — ЧЕРЕЗ Тэ з=! л и, наконеЦ, сУммУ вЂ” Р та1 — "1, в котоРУю Уз не вхоДЯт, а=! через Тз. Таким образом, кинетическая энергия системы с конечным числом степеней свободы может быть представлена в виде суммы трех функций: (4.77) дх, дх, дх, дЧ! дзз дЧ! дхз дхз дх, дЧ! дсз "' дс! (4.79У зхз дхзл дхзл дд, дзз '" дз! т=т,+Т,+Т,.
(4.75). Заметим, что если — =О, то Т! =Т,=О. дга Докажем, что квадратичная форма Т, — знакоопределенная положительная (определенно положительная), т. е. что Т, обращается в нуль тогда и только тогда, когда все 4, равны нулю. Если же хоть одна из обобщенных скоростей отлична от нуля, то Т, положительна. Для доказательства запишем Т, в виде л Г ! з (4.76) а=! з=! Допустим, что Т,=О, но что среди з), есть отличные от нуля. Тогда должны быть равны нулю суммы з=! Мы приходим к системе линейных однородных уравнений относительно д„ имеющей ненулевое решение (число уравнений может быть больше числа неизвестных). Перенумеруем декартовы координаты так, как это было сделано в $ 3, и воспользуемся формулой х! =хз(д„д„..., дз; 1), (4.16). где ! =1, 2, 3, ..., Зл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
