В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 8
Текст из файла (страница 8)
УСКОРЕНИЕ ТОЧЕК АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА каждого из равенств (1.68) по координатам $в мы получим для проекций еи выражения того же вида. Вычисляя частные произ- водные, находим двз двз двз в!= з вз= —, вз= —, д двз %аз дв, — — мз = — — * вз= — —. д~, * дйз' Отсюда ! /двз двз! ! Гдвз двз! ! /двз йз,! или, короче, 1 «з = — го( тв. 2 (1.76) $9. Распределение ускорений точек абсолютно твердого тела Найдем закон распределения ускорений точек произвольно движущегося абсолютно твердого тела.
С этой целью продифференцируем по времени обе части формулы Эйлера (1.51) или (1.7!): зх= — „= — „, +~ — „! г~+~ГБ — ~. (1.77) Преобразуем последний член правой части, используя формулу дг и! — = [Бзг(: [Гад!~ = ез(ег)(=в'(е (е„г)1, где е„есть единичный вектор, направленный по мгновенной оси вращения. Далее, по известной формуле, [е„,[в„гД = ев (в„г) — г =1. Мы пришли к формулам, совпадающим с формулами (1.47) с той разницей, что формулы (1.47) изображают проекции вектора Бз на неподвижные оси, тогда как формулы (1.75) дают выражения проекций 4» на подвижные оси.
Но в 2 6 было замечено, что выражение го141 в различных ортогональных координатах имеет один и тот же вид. Кроме того, в формулах (1.75) фигурируют частные производные по координатам от проекций скорости тп— скорости точки тела во вращательном движении относительно системы у„у„уз, а в формулах (1.47) — производные от проекций скорости е относительно системы х„х„хз. Скорость тз равна сумме скоростей тв и скорости подвижного начала тз', но скорость а' в каждый момент времени одинакова для всех точек тела, поэтому частные производные от е' по координатам (и по координатам хь и по координатам 5Л) равны нулю.
Гл. 1. кинвмАтикА Вектор 1 направлен от точки Р, ускорение которой мы вычисляем, к мгновенной оси под прямым углом (рис. 1.17). Так как сс' »» — = а — ускорение начала подвиж- в! ной системы координат, то а = а'+ ~ —, г ~ + г»Ч. (1.78) д' Рис.
1.!7 5 !О. Частные виды движения абсолютно твердого тела 1. Поступательное движение. Поступательным движением абсолютно твердого тела будем называть такое движение, при котором отрезок прямой, соединяющий две любые точки тела, остается параллельным неподвижной прямой. Покажем, что в поступательном движении все точки тела в каждый момент времени имеют одну и ту же скорость и одно и то же ускорение. х~ я Пусть А, и А, — две любые точки тела (рис. !.18). Обо- и„ значим ОА, через лт„ОА» через )сь! тогда д )т,+А1А»=И».
х Положим ! Рос. 1. !8. А„А, е„раь Если отрезок А,А, перемещается, оставаясь параллельным своему первоначальному направлению, то — = О. ее„ вг Значит, й~~ ~Из е!= щэ или Формула (1.78) — формула Ривальса — дает закон распределения ускорений точек произвольно движущегося твердого тела. Вектор !г — е'~ гег» 1вг часто называют вращательным ускорением, а вектор ыЧ вЂ” осестремительным.
$1К ЧАСТНЫЕ ВНДЫ ДВИЖЕННЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА ФТ Заметим, что втот же результат мы получим из формулы Эйлера-формулы (1.51), полагая ГВ=О. Дифференцируя по времени радиусы-векторы точек А, и АА еще раз, найдем ФМ, Ф%~ Д~й Д~з или п1 йе Таким образом, ясно, что при поступательном движении тела производные всех порядков по времени от радиусов-векторов точек тела равны между собой. Очевидно, и наоборот, если скорости всех точек тела равны между собой в каждый момент времени, то дело движется поступательно. Несколько труднее показать, что если равны между собой производные более высоких порядков от радиусов-векторов всех точек по времени, то тело движется поступательно. Пусть й= я' где )т, и Й, радиусы-векторы двух произвольно выбранных точек тела.
Тогда И, =)т,+С,. Здесь Ст есть вектор постоянной длины, неизменно направленный относительно неподвижной системы отсчета. А так как С„кроме того, есть вектор, соединяющий любые две точки тела, то отсюда следует, что тело движется поступательно. Пусть теперь Интегрируя по времени, найдем чк, ЧЯ, — — +С й й или е,=е,+Се Умножим скалярно обе части последнего равенства на ем единичный вектор, направленный от точки А, к точке А,: (е,е„) = (е,ем) + (С,е„). Из условия неизменяемости расстояния ~ А1АВ~ следует, что (е,е„) = (е„ем). 4з ГЛ.
Ь КИНЕМАТИКА Поэтому (Сте:а) = О. Постоянный вектор Се либо равен нулю, либо ортогонален к вм. Допустим, что С,~О. Интегрируя по времени еще раз, найдем г,=а+С,(+С, Ясно, что последнее равенство будет справедливо только при С,=О, так как С, =()ст — Яе), „и если С,чьО, то длина вектора (ггт — )ча) при 1~0 будет возрастать вместе со временем.
2. Вращение вокруг неподвижной оси. Предположим, что две точки тела, А, и А„неподвижны. Тогда, очевидно, скорости всех точек тела, лежащих на прямой А,А„равны нулю. Введем неподвижную систе- ~А му координат х„х„х„сома вмещая ось х, с прялюй А,А, (рис.
1.!9), Если в качестве трех точек, определяющих гр' гг положение тела, взять две Я неподвижные точки А, и А, Р н, кроме того, точку Р, то А, найдем, что из трех координат точки Р лишь одна будет независимой, так как имеются два уравнения свяе, эа зи. Следовательно, положе- ~а ние тела с двумя неподвижРнс. 1.19. ными точками определяется одним параметром, например, углом поворота плоскости, проходящей через точки А, и А, и неизменно связанной с телом, относительно неподвижной плоскости (х„ х,). Траектория каждой точки будет представлять собой окружность с центром на прямой А,А,. Вектор скорости точки Р, направленный по касательной к траектории, будет ортогонален ке к осн Ох, и по величине равен р —. Очевидно, что вектор мгно- о! ' венной угловой скорости тела от следует расположить на оси Ох,— оси вращения тела. Если положить от=ма„где еа есть единичный вектор, направленный вдоль оси Ох„а от — проекция вектора от на ось Ох„то знак тп будет совладать со знаком направления вращения *).
Поясним это утверждение. Введем систему осей, связанных с телом, так, чтобы ось О'$а совпадала с осью Ох, (см. рис. 1.19), а угол между осями х, и $, был бы ч) Напомннм, что и препон системе координат положительному напрап. пеняю пращення вокруг осн Оха отвечает поворот от осн Охь к осн Оха на нэнменьщнй угол (прогна вращения часоно» стрелки). $10. ЧАСТНЫЕ ВИДЫ ДВИ1КЕИИЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА 49 равен углу й. Тогда таблица (1.56) будет в этом частном случае иметь вид Поэтому оз, =Ом —— О, озз ОЫ=О«озз Ом =аз!Пза+йсоззй=э. Следовательно, ев аз= е« вЂ”. Лг' Таким образом, распределение скоростей точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, можно представить следующей формулой ез ез ов о «и хз зз е, о=)гаг) = к, где г есть радиус-вектор точки тела.
Заметим, что формулу для скорости можно записать, используя оси, жестко связанные с телом, т. е. э, в, в, лв о о «и Ь $«Ь *) Может быть, точнее сказать «нередвигаемыйз вектор, так как вектор в не сам скользит, а мы можем его передвинуть вдоль осн вращения, не наруглая закона распределения скоростей точек тела. Здесь эг — единичные векторы, направленные по осям координат, жестко связанным с телом. Последняя формула удобна тем, что координаты $1 — постоянные. Заметим, что вектор оз можно перемещать вдоль оси вращения тела, ие изменив вектора и.
Поэтому вектор аз часто называют скользящим вектором "). 3. Плоскопараллельное движение абсолютно твердого тела. Птооколараллельньгм называется такое движение абсолютно твердого тела, при котором скорости всех его ГЛ. Ь КИНЕМАТИКА точек параллельны некоторой неподвижной плоскости и (рис. 1.20). Свяжем с точкой О' поступательно движущуюся систему координат у,, у„ у„ направляя ось уэ перпендикулярно к плоскости и.
Запишем формулу Эйлера: е=е'+[вг]. По условию, (еез) = О, (е'ез) = О. Тогда (ва[вг[)=0, или в д, у, у,, =О. Отсюда в,у, — в,у, +в„О 0 (у„ уэ — координаты точки Р). В силу произвольности координат Уз точки Р найдем вт — — вт — — 0 Итак, вектор мгновенной угловой скорости расположен на оси О'у,. Обычно вместо самого тела рассматривают его плоское сечение, параллельное плоскости и, †фигу Я (рис. 1.21).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
