В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 3
Текст из файла (страница 3)
жение тени н т. п. В кинематике важны лишь геометрические свойства объекта, его форма и положение относительно избран. ной системы отсчета. ') Такое пространство называется евклидовыл. 12 введении Часть механики, в которой рассматривается влияние сил на состояние движения систем материальных объектов, включает учение о равновесии совокупности тел относительно некоторой системы отсчета, так называемую статику, и учение о движении систем тел под действием сил — динамику»).
В основе этой части механики лежит система аксиом — положений, принимаемых без доказательств (без выводов). Аксиомы механики (и любой другой точной науки) — это выраженные в сжатой форме основные законы, устанавливающие причинные связи. Система аксиом добыта на основе опыта; здесь «опыт» понимается не как отдельный эксперимент, а как результат многочисленных наблюдений над явлениями природы и над чело. веческой практикой. Аксиомы механики мы рассмотрим в главе, посвященной динамике материальной точки. После установления основных моделей и системы аксиом вступает в силу закон внутренней логики — проявляется так называемая «относительная независимость» теории, Теория начинает развиваться по законам собственной внутренней логики. Разумеется, делается это под безжалостным контролем практики.
Результаты, полученные теоретическим путем, проверяются и прямыми экспериментами, и при помощи наблюдений над различными явлениями природы, наблюдениями над движениями небесных тел, спутников, управляемых станций и т. п. Всякий курс, в котором излагаются основы точной науки, должен отражать эту внутреннюю логику развития науки, в противном случае он превратится в сборник рецептов, не связанных между собой общей идеей. Насколько это было в наших силах, мы старались, соблюдая разумную меру, следовать этому принципу и строить курс, советуясь в первую очередь с самой механикой.
') Иногда зтя разделы объединяют под общим назвавяеы «кваетяка». ГЛАВА 1 КИНЕМАТИКА й 1. Кинематика точки. Декартовы и полярные координаты С неподвижной системой отсчета свяжем декартову ортогональную систему координат (выбираем правую систему). Положение точки М определяем тремя координатами х, у, г. Если точка движется относительно системы отсчета, то ее координаты будут функциями времени: х=1,(г), у=1,(1), г=1,(1). (1.1) Введем радиус-вектор точки М: ОМ г = ух+,уу+ йг, где 1, у, й — единичные векторы (орты), направленные вдоль осей координат (рис. 1.1). Функции ~,(1) непрерывны и дважды дифференцируемы по времени.
Будем г предполагать, что вторые производные функции ),(1) по времени И тоже непрерывны. Точка М движется относительно системы х, у, г. Это значит, что она по очереди совпадает с различными точками «среды» или д У пространства, определяемого си- »х' стемой отсчета. Непрерывная по- Рис. Б1.
следовательность таких точек среды называется траекторией точки М. Формулы (1.1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории. Исключая параметр время, мы можем записать уравнения траектории в виде у=г',(х), г=г'»(х). (1.2) Уравнения (1.2) определяют траекторию как линию пересечения двух цилиндрических поверхностей. Если уравнения траектории в виде (1.2) записать нельзя (нельзя записать уравнения, разрешенные относительно у и г), то представляют траекторию в виде линии пересечения двух поверхностей более общего вида: Ф,(х, у, г) =О, Ф,(х, у, г) =О, (1.3) Гл.
ь кннвмАтикА 14 0 Рис. 1.2 (1.5) Кроме того, ~ о ~ = 1 ха+ уз+ йз. (1.6) Итак, скорость точки М в момент времени Г равна производной по времени от радиуса-вектора точки и направлена по касательной к траектории. Подобным же образом найдем ускорение точки М в момент времени 1 (рнс. 1.3). Рассмотрим скорости точки М в моменты времени 1 н 1+бг.
Совмещая начало векторов о(г) и о(1+Ж) в точке М, найдем приращение скорости за время Ы. Разделив это приращение на Лг, получим среднее ускорение за время Я зе а„- —,, направленное в сторону вогнутости траектории. Переходя к пределу при Ш, стремящемся к нулю, найдем ускорение точки в момент времени Г: а (1) = 11 пт — = о = — и.
Ы е1 и' *1 В курсе, после того как букет накоплен некоторый багаж, мы выясним условия, при которых направленный отрезок может называться вектором н, кроме того, рассмотрим главные твпы векторов (см. гл. 1, $13), Рассматривая радиус-вектор точки М как векторную функцию времени, введем понятия скорости и ускорения точки в некоторый момент времени (рис, 1.2). Пусть М и М' — положения точки в моменты времени 1 и 1+И, где Ж есть приращение времени (конечное).
В момент времени 1 положение точки М определяется радиусом-вектором в момент 1+б( — радиусом-вектором г+Лг. Очевидно, что Ьг' =ММ'. Средняя за время а( скорость точки М равна е,р —— АГ' = —. Направлена зта средняя скорость по секущей ММ'. Ско- рость точки в момент времени 1 най- М дем, переходя к пределу при б(, стремящемся к нулю: М' Ьг ог Г тз (1) = 1пп — = —. ис „, АГ ЕГ' Вектор тз направлен по касательной к траектории точки е). Очевидно, что Ег . Ех .оу вз ги Щ Е1 Й' — = о = г — +,у — + )г —. (1гй) Следовательно, проекции о на осн координат будут равны у о„= — „=л, он =и =У, о,=„— =2. Э Ь ДРКАРТОВЫ И ПОЛЯРНЫВ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ Очевидно, что а(1) = дГ» ~ »»у+уу+уй (1 .8) | а | = )г'(у)»+ (у)»+ (й)» Следовательно, ускорение точки в некоторый момент времени равно производной по времени от вектора скорости, или второй производной по времени от радиусп-вектора точки в этот момент времени.
Ускорение точки можно представить вектором, направ- ленным в сторону вогнутости траектории. В некоторых задачах представляют интерес производные более высоких порядков, но здесь мы не будем вычислять эти произ- водные. В механике применяются не только декартовы координаты— часто применяют так называемые обоба(енные (криволинейные) координаты. Обобщенные координаты представляют со- гг(П бой однозначные (иногда при некоторых условиях) функйи «г е+лт) ции декартовых координат, позволяющие определить конфигурацию рассматриваемой системы. Такие координаты часто называют позиционными.
Криволинейными оии называются потому, что линии, вдоль которых меняется только одна координата, обычно бывают кри- выми. Криволинейные позиционные координаты и декартовы коор- динаты в основной («неподвижной») системе отсчета связаны между собой формулами точечного преобразования, т. е. формулы преоб- разования содержат лишь сами координаты («старые» и «новые»). Если в формулы преобразования, кроме того, явно входит время (например, в коэффициенты линейного преобразования), то это означает, что мы переходим к подвижной системе Отсчета (подви- жному базису). Применение криволинейных координат общего вида мы рас- смотрим в части курса, посвященной аналитической механике: в аналитической статике н в главах, содержащих уравнения Лагранжа 2-го рода и уравнения Гамильтона.
В этой главе рассмотрим лишь полярные координаты точки на плоскости, координаты весьма удобные для решения многих задач динамики точки, например, задач о движении точки в центральных силовых полях. Будем определять положение точки на плоскости (х, у) по- лярными координатами г, ~р, отсчитывая полярный угол у от Рис. 1.3 ГЛ, !. КИНЕМАТИКА оси Ох *) (рис.
1.4). Формулы преобразования иметот вид л=гсоз«р, у=гз)пф. (1.9) Здесь г)0; 0(ф(2п. Возможны, конечно, случаи, когда полярный угол неограниченно возрастает. В этих случаях последнее ограничение надо снять, при этом, если (г~=сопз1, точка «И будет многократно проходить через одно и то же положение на плоскости. Координатными линиями г=сопз1 здесь будут концентрические окружности с центром в точке О, а линиями ф=сопз1 — прямолинейные лучи, выходящие из начала координат. Эта система координат, очевидно, ортогональна.
Рис. 1.4. Рнс. 1.о. Введем два орта: е,-радиального направления и ве — трансверсального направления, е,) е. Найдем производные орта е, по углу «р (рис. 1.5). Очевидно, что е,=а сов ф+,р'з)п «р. пе, I пт Таким образом, „— '= — рз(пф+усозф=е,1ф+ — ~, т. е. Э,««р пе, — =е. «1«р е' (1.10) Лалее, «Ре, «те йре'= йр = — ' = — = — д соз ф-,р'в1п «р = е («р+ и). l Следовательно, «г«е, — — е,.
«1фе (1.11) ') Напомним, что положительное направление врацения в правой системе ноордннат — против движения часовой стрелнн. $ Ь ДЕКАРТОВЫ И ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ 1Т Перейдем к выводу формул для проекций скорости и ускорения точки М на направления касательных к координатным линиям в полярных координатах. Положим г=е,г. Отсюда ег е= — =е — + — 'г гкг,г г но ЕЕ, ЕР, МР ЕР Я = Еф ЕГ = Р Ег ' Следовательно, Фг Фф е=е — +е г —,. 'Й Ш' (1.12) ег ыф ог=„—, ° пф — — г,р.
Далее, ЕР гИГ а= — =е,„— „+ Ее, Ег Ег Аф с%Р ЕЕ, Еф — — +е — — +е,рг — + — г— ЖЕГ Рй га ЕР ЕГ йг ЕЕ ЕР Еф ЕР— — — = — е — ° ,а еа гп' Позтому а е,(г — гфз)+е (гф+21ф). (1.14) Проекции ускорения на радиальное и трансверсальное направления будут иметь вид а, =*г — гф', ач = гф+ 2гф. Трансверсальное ускорение можно представить в ином виде: ~ е г.,аф) (1 15) В формуле (1.15) под знаком производной находится удвоенная секторная скорость— производная по времени от удвоенной секторной площади (рнс. 1.5). Секторной площадью называется площадь криволинейного Рис.
И6. треугольника ОМ,М; обозначим ее через и. Найдем связь между дифференциалом секторной площади и дифференциалами координат точки М. С этой целью рассмотрим положение точки в момент Г+Й. Дифференциал секторной площади будет равен главной линейной части приращения площади криволинейного треугольника Вычислим Ыа по формуле аналитической геометрии как площадь треугольника, используя Проекции скорости на радиальное н трансверсальное направления будут равны 19 9 к вствствинныи коогдиньты точки как известно, единичный вектор касательной к траектории— вектор т — равен производной от г по дуге: т = — =1 — „+.у — + Ф вЂ”, вх (1.20) где Через в обозначена длина дуги М,М, отсчитываемая вдоль траектории в определенном направлении, не связанном с направлением движения точки. В механике свободной точки, когда траектория заранее неизвестна, мы можем связать между собой лишь дифференциалы в и декартовых координат: (йв)' = (йх)'+ (йу)'+ (йе)'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
