В.В. Петкевич - Теоретическая механика (1119857), страница 5
Текст из файла (страница 5)
п., т. е. изучаются векторные и скалярные поля. В этой главе мы будем говорить только о кинематических величинах и прежде всего о скорости. Итак, будем в точке пространства — «наблюдательном пункте— с координатами х„ х„ х, рассматривать скорости разных частиц среды, проходящих через эту точку *). Очевидно, что скорости будут функциями координат наблюдательного пункта и времени, поскольку разные частицы в одну и ту же точку пространства могут приходить с разными скоростями. Следовательно, О=«З(1, Х„, Х„Хз) (1.36) Очевидно, что если система отсчета неподвижна, то )хз =сопз1. Координаты хз и время 1 называются переменными Эйлера.
Выведем выражение субстанциальной производной в переменных Эйлера от какой-либо функции, например, от скорости. С этой целью, выбрав произвольно две точки пространства, Р, и Р„рассмотрим в этих точках векторы скорости частиц среды в различные моменты времени, з, и уз. Обозначая скорости через егз> и тйз), найдем их разность ЬО = Енз> — Еи»З. Если точки Р, и Р„и моменты времени 1, и 1, достаточно близки друг к другу, то мы можем записать приближенное равенство 3 .2з дх з+ дГ чз до до 1=! ") Здесь, как и в других местах, выражение «частица среды проходит через точку пространства» означает, что некоторая средиии точка вдемента объема проходит через точку пространства, гл. с.
кинемлтикк где Лх,= )' —;", Л(=(,— (, (хс" — координаты точки Р„хс" — координаты точки Р,). Очевидно, что величины сзхс произвольны и н е зависят от Ы. Теперь предположим, что точки Р, и Р, выбраны на траектории некоторой частицы среды, а сз и сз — моменты времени, в которые частица проходит через эти точки. Тогда очевидно, что с)схс оссз(, где ос есть проекция скорости частицы на ось хс. Разделив обе части выражения для Ло на И и переходя к пределу при Ы-»О, мы получим выражение субстаициальной производной по времени от вектора скорости: з СЗе 0е у де де 3 аС 0С Лн дх; дз Иш — = — = У ос — + —. 3 Сумма г ос — характеризует изменение скорости, вызванное де дхс переменой места, т. е.
течением среды, и поэтому называется конвективной производной (конвекция — перенос). Конвективную производную часто записывают сокращенно в следующем виде: 3 с з — = ~ ~~з, о; — „ ~ = (о йг й) о. де д1 с=с де Частная производная по времени — характеризует изменение дС скорости в точке пространства и называется локальной (местной) де производной.
Если о=о(х„х„хз), т. е. — =О, то движение среды называется установившимся, или стационарным. В этих .случаях разные частицы среды приходят в одну и ту же точку пространства с одинаковой скоростью. Найдем еще субстанциальную производную по времени от з дг радиуса-вектора частицы среды. Так как г= Я в;хс и — =О,то с ! 3 3 0г \3 дг — г, ос--- = Ч)„осе =о.
03 «~~С дХС с=с с-с Часто говорят о существовании «точек зрения» Эйлера и Ла. граижа. Это можно пояснить, вернувшись к формуле хс=~с((, $» $3 53). (1.30) На формулу, связывасощую хс, 1~ 3»с, мОжнО смог)зеть с двух точек зрения: $ В. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОИ ДЕФОВМИЕКЕМОП СЕЕДЫ ят 1) если считать переменными х; и фиксировать $ь т. е. фиксировать частицу среды, то мы будем смотреть с точки зрения Лагранжа', 2) зафиксировав хь мы должны считать переменными $т и, следовательно, рассматривать разные частицы, проходящие через избранный наблюдательный пункт. Тем самым, мы станем на точку зрения Эйлера (см. 1261, т.
?). Возможность рассматривать одно и то же выражение с двух разных точек зрения позволяет переходить от одних переменных к другим. Будем исходить из формулы (1.36). Очевидно, что ов = Р~((, «м «м «в), или — =Р,((, хо хв, «в). пх~ 0Т = (1.37) Если считать хс функциями времени, т. е. посмотреть на формулы (1.37) с точки зрения Лагранжа, то мы придем к системе обыкно- венных дифференциальных уравнений, интегрируя которую, най- дем х~ = ~р, (Т, ам с„ о,). Если теперь с~ мы выразим через какие-либо параметры, позво- ляющие выделить частицу (ими могут быть начальные значения координат, или некоторые функции этих начальных значений), то мы придем к представлению Лагранжа % и ((в «10> «во «во)» или хг=1в(( вьм взв~ $в) где $г можно найти из уравнений 6((о 5т Фве 1з)-хво Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера основан на той же смене точек зрения.
Пусть «~=Ь(1 $в $в $в). (1.30) Ив соотношения (1.30) найдем $Т Уг((, хм х„«з) Берем производную по времени от левой и правой частей (1.30) фиксируя $т. ( — ),„„,, дхв'1 Ох~ дТ )з„зо, ь ЕМ (1.38) ГЛ. Ь КИНЕМАТИКА н подставим этн выражения в правые части (1.38). Очевидно, что, исключая $т, мы придем к формулам (1.37) 0х~ — = У~ (1 хт х» ха)~ От о=о(1, х„х„х,). Здесь уже на х, мы будем смотреть с точки зрения Эйлера, как на координаты «наблюдательного пункта».
$ 4. Вывод формулы Коши — Гельмгольца Найдем закон распределения скоростей точек элемента объема среды, используя переменные Эйлера. Рис. 1.12. Рассмотрим две любые точки элемента объема, О' и Р (рис. 1.12). С точкой От свяжем начало декартовой системы координат у„оси которой всегда параллельны неподвижным осям ху. Малый вектор О'Р обозначим через бт'е), Координаты точки Р относительно системы уу равны разностям координат точек Р и О' относительно системы хм Поэтому вектор а бг мы можем представить либо в виде У', вт бу» либо в более удоб/=1 » ном для последующих выкладок виде Я етбхт (очевидно, что т ! бх~ — — 8ут).
') Здесь и далее обоаначении бг, бхл бв и т. д. применены с целью подчеркнуть, что точки О', Р н др. рассматриваютсв в один н «от втв момент времени, 3 !. ФОРМУЛА КОШИ вЂ” ГЕЛЬМГОЛЬЦА Из полученного равенства находим разность скоростей точек среды т! — т!' = бтз = -- (бг). РУ Запишем бг в виде е,бг, где е,— единичный вектор. Тогда бо мы сможем разложить на радиальную и трансверсальную составляющие: бо = —, (бг) = бг —,' + е —,.
0 Ое, 0 (бг) 01 01 (1.40) Из иих лишь радиальная составляющая изменяет длину вектора бз, так как Ре, —.) е. р! х. Формулу (1.40), выражающую разность скоростей точек О' и Р в один и тот же момент времени, удобно записать в переменных Эйлера, рассматривая разложение бт! по степеням бхх при 61=!) и удерживая только линейную часть: з бе!= 7 — бх. чз де з~з дх! 1=! Проекция бт! на ось у! будет равна з %~ де! бо1= р д— !бкР х~з дх! /=! Покажем, что правую часть полученной формулы можно представить в виде суммы членов разной природы с симметричными и антисимметричными коэффициентами.
Для этого сделаем тождественное преобразование (1.42) Х' дз! Сз ~ди! 1 дз| 1 дз!) — ! бх, ии х ! — 1+ — — — — — ! бх! Фзз дх! У х~з (дх! 2 дхз 2 дх;! 1 / 1 з 3 ,1 1 (1.43) Сравним скорости точек среды О' и Р. Для этого, обозначая ОО' через зт' а ОР через )с, запишем з з=х'!-! (! -Г.,ь,) (1.39) 1=1 Возьмем от левой и правой частей субстанциальную производную Рй РЯ' 0 — = —, + —, (бг).
О1 Р! 01 гл. !. кинвмзтикз ! ! /=! з= ! /=! Но ,У,',У, 'О;, бх! бх/ = О, з з Х бх! — (бх)= — — - ~ (бх)'= — — (бг)'. 11 10ъЗ!/! Ж ' 2Ыз'з ' 2Р/ з=! з=! Следовательно, з з — и/ (бг) = ~„~~~ е!/ бх; бх/! (1.46) з=!з=! и мы видим, что совокупность членов с антисимметричными коэффициентами Оз/ не влияет на изменение длины бг (на деформацию), тогда как квадратичная функция переменных бх; с симметричными коэффициентами, равная половине производной от квадрата длины бг, непосредственно связана с деформацией среды. 1 Введем вектор оз = — го1 т/ — так называемый вектор вихря.
2 Запишем выражение оз в декартовых координатах: 1е, 1 д оз =— 2 дх, о, ез ез д д дхз дхз оз оз Очевидно, что /доз доз 1 езз — 1 — — — ! = Ояи 2 1дхз дхз7 озз = — ( — — — ) = О (1.47) Введем обозначения 1 /до! до!1 1 /до! до/1 — ! — + — ~ = е!/ е/з, — ! — — — /1-Ои -О, (1.44) 2 1дх/ дх! / 2 !дх/ дхз) (Ои 0). Тогда для бо! получим выражение з з бе!=~ е/бх/+ ~, 'Онбх/. (1.45) / ! з=! Чтобы выяснить природу двух сумм в правой части (1.45), умножнм обе части на бхз, просуммируем по ! и воспользуемся тем, что бо! — (бх!): 0 3 з з з з ~~~ бх! — (бх!) = ~) ~~1 епбхзбх/+ ~~1 ~ Одбхзбх/. з1 з е ьогмхлк коши — гельмгольца Полагая в формуле (1.45) последовательно ! = 1, 2, 3 и используя выражения для проекций вектора вихря, запишем бо, ~Ч ', е,/ бх/+ вз бхз — вз бхм /=! бо = ~ ез) бх/+взбх,— в, бхз.
/=! без,/ ~ ез/ бх/+ в! бхз — вз бхо ! ! (1.48) Суммы вида з Я еибх, через 2Ф(бх„бхз, бхз), то очевидно, что би! мы сможем записать в следующем виде: дФ би!= ~ енбх) = д 6 ( х!) ' з Введем вектор би ~ч, 'е!би!, или з дФ би = е, — = дгабь„Ф. ~м д (дхй ! ! Вектор би, порождаемый квадратичной функцией 2Ф, называется скоростью де/рормации (часто говорят: скорость чистой деформации). Обратимся к вектору бо. Умножая обе части каждой изформул (1.48) на соответствующий орт и геометрически складывая полученные векторы, мы сможем записать ~ Е, Е, Ез бе=~в! зь в +би=[вЬ)+би.
дх, дх, дхз~ Вспоминая, что бе/ т/ — о', окончательно найдем е/ тз'+ [в бх1+ ба. (1.49) условимся обозначать через биь Если, кроме того, обозначить двойную сумму ~ У е!)бх!бх/ !=! / ! Гл. ь кннемлтикл формула (1.49) и есть формула Коши — Гельмгольца, прочитав которую, мы сформулируем теорему Коши — Гельмгольца: скорость любой точки Р элемента объема геометрически складывается из скорости другой точки О', в которой помещено начало осей координат у~, движуи(ихся без врашения (поступательно), скорости «вращательного» движения, равной [гэбр), и скорости чистой деформации би. Приведем дополнительно нестрогое качественное истолкование коэффициентов егр Обратимся сперва к коэффициентам с одинаковыми индексами.
Рассмотрим, например, точку Р, с координатами бх„О, О. Пусть для определенности бх,) О. Из формулы (1.46) получим ~ 0 (бхл) = ем (бхл)', 1 В е откуда в ем =6 —,, ~, (бх,). Следовательно, коэффициент ем равен скорости удлинения отрезка, параллельного оси у„отнесенной к длине отрезка. Обратимся теперь к коэффициентам со смешанными индексами. Рассмотрим, кроме точки Р„еще точку Р, с координатами О, бх„О, предположив, что бх,)О.
В точке Р, возьмем проекцию скорости чистой деформации на ось у,: бие = еч1 !р, бхь а в точке Р,— проекцию скорости чистой деформации на ось у,: би, = е„(р, бх,. В силу малости элемента объема и непрерывности поля скоростей ем ~р, мало отличается от елэ~р,, поэтому мы можем написать приближенное равенство Проекцию скорости чистой деформации би, можно рассматривать как траисверсальную скорость конца отрезка Ог',. Следовательно, отношение — есть угловая скорость вращения етого отрезка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
