Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 9
Текст из файла (страница 9)
е. период движения Т, удобно определить с помощью закона сохранения момента в форме «интеграла площадей» (14,3). Интегрируя это равенство по времени от нуля до Т, получим: 2лг/ = ТЬ1, Где / — площадь орбиты. Для эллипса /= паЬ, и с помощью формул (15,6) находим: Т = 2паз" ~/л1/а = па 1/и/2 ~ Е 1з .
(15,8) Тот факт, что квадрат периода должен быть пропорционален кубу линейных размеров орбиты, был указан уже в 3 10. Отметим также, что период зависит только от энергии частицы. При Е ) О движение инфинитно. Если Е ) О, то эксцентриситет е ) 1, т. е. траектория является гиперболой, огибающей центр поля (фокус), как показано на рис. 12. Расстояние перигелия от центра г,п = + — — а (е — 1), (15,9) гпп — е+1— где р а и= — =— е' — 1 2Е Рис.
12 — «полуось» гиперболы. В случае же Е = О эксцентриситет е = 1, т. е. частица движется по параболе, с расстоянием перигелия г ы = р/2. Этот случай осуществляется, если частица начинает свое движение нз состояния покоя на бесконечности.
Зависимость координат частицы от времени при движении по орбите может быть найдена с помощью общей формулы "(14,6). Она может быть представлена в удобном параметриче. ском виде следующим образом. Рассмотрим сначала эллиптические орбиты. Вводя а и е согласно (15,4), (15,6), напишем интеграл (14,61, определяющий интеггигованне уехвнанин движения [гл. из время, в виде 1 1 гла ( гМг ° 14~(- р гег С помощью естественной подстановки г — а= — аесозз монотонно убывает от +со до нуля при изменении г от нуля до аэ. Энергия частицы может быть только положительной н этот интеграл приводится к виду /и~а' Г ! ~~3 ! = т г — „~ (1 — е соз $) с$ ='~ — „($ — е зш $) + сопз!. Выбирая начало отсчета времени так, чтобы обратить сопз$ в нуль, получим окончательно следующее параметрическое представление зависимости г от 1: г=а(1 — есозз), т= ~/ — Я вЂ” ез!п $) (15,10) (в момент ! = 0 частица находится в перигелии).
Через тот же параметр 5 можно выразить и декартовы координаты частицы х = гсов ~э, у = ге!и ~р (оси х и у направлены соответственно по большой и малой полуосям эллипса). Из (15.5) и (15.10) имеем: ех= р — г=а(1 — ез) — а(1 — есоз3)=ае(соз$ — е), а у найдем, как ~/г' — х'.
Окончательно: х=а(соз$-е), у =а ЬЛ вЂ” ез з!п$. (15,11) Полному обороту по эллипсу соответствует изменение парамет- ра 5 от нули до 2п. Совершенно аналогичные вычисления для гиперболических траекторий приводят к результату г =а (е сй в — 1), ! = ~~~ (е зй $ — з), х=а(е — спз), у=а~/ез — 1 з'пз, где параметр $ пробегает значения от — со до +оо. Обратимся к движению в поле отталкивания, в котором 17 = о.(г (!5,13) (сз>0)'. В этом случае эффективная потенциальная энергия а М' !газ —,+ ~-,г квплвРОВА задача движение всегда инфинитно. Все вычисления для этого случая в точности аналогичны произведенным выше.
Траектория является гиперболой Р = — 1+есоз ~р (15,!4) г '(р и е определяются прежними формулами (15,4)). Она проходит мимо центра поля, как показано на рис. 13. Расстояние пери- гелия г м ! =а(е+ 1). (!5,1$) Зависимость от времени дается параметрическими уравнениями г=а(ей|+ !), г=')/ —, ('з" 5+в) (15,15) я=а(сЬ$+е), Раа 13 у а ь/ег:! з)тй. В заключение параграфа укажем, что при движении в поле 0 = сг/г (с любым знаком а) имеется интеграл движения, специфический именно для этого поля. Легко проверить непосредственным вычислением, что величина (ИЦ+ аг/г = сопя!.
(15,17) Действительно, ее полная производная по времени равна (чМ1+ — —— ач аг (чч) или, подставив М = т (гч(: тг (чч) — тч (гч) +— ач аг (чг) положив здесь согласно уравнениям движения тч = аг/гз, мы найдем, что зто выражение обращается в нуль. Сохраняющийся вектор (15,17) направлен вдоль большой оси от фокуса к перигелию„а по величине равен ие, В этом проще всего можно убедиться, рассмотрев его значение в пери- гелии. Подчеркнем, что интеграл движения (15,17), как и инте. гралы М и Е, является однозначной функцией состояния '(положения и скорости) частицы. Мы увидим в $ 50, что появление такого дополнительного однозначного интеграла связано с так называемым вырождением движения.
т интвгрировднив прдвнвнии движения 1гд. тгй Задачи 1. Найти зависимость координат частицы оу времени при движении в поле У = — сс/г с энергией Е = 0 (по параболе). Р е ш е н н е. В интеграле 2а М' аелаем подстановку = — «+»') — — '«+»') 2еа 2 "1/ а 2 ('+ З)' г=* — '«+»*) 2 х= — « — »'), р=р».
2 Параметр» пробегает значения от — ео до +ос. 2. Проинтегрировать уравнения движения материальной точки в пентрзль. иом поле У вЂ” а/г', а > О. Решение. По формулам «4,6), (14,7) с соответствующим выбором на. чала отсчета ф и / находим: Мз а) при Е>0, — >а 2е Мз б) при Е>0, — <а 2е Мз в) при Е<0, — <а 2е Во всех трех случаях 1 щ / Мз — — ь г Егз — — +а. Е 1/ 2 и' 2щ В случаях б) и в) частипа «падаетз на пеятр по траектории, приближаю- щейся к началу координат при ф-ь «о. Падение с заданного расстояния г происходит за конечное время, равное — «/ — (ч/ — †.~. « '— 3. Прн добавлении к потеипяальной энергии У вЂ” а/г малой добавки 6У(г) траектории финнтиого движения перестают быть замкнутыми и при каждом обороте перигелий орбиты смещается на малую угловую величину бф.
Определить бф для случаев а) бУ, 6/гз, б) 6У = у/гз, Решение. При нзмеиении г от гмь до г,„и снова до г,„угол бф меняется на величину, даваемую формулой (14,10), которую представим в виде 'еаз д Г / Мз /гф — 2 — ~ ~/ 2е (Š— У) — — дг дМ д 'Ч гз гляв и з р зультате получаем слелующее параметрнчесное представление искомой зависимости: КЕПЛЕРОВА ЗАДАЧА (с целью набежать ниже фиктивно расходвщяхся интегралов). Положим У вЂ” а/г-г бУ в разложнм подвнтегральное значение по степеням ЬУ; нулевой члеь разложения дает 2я, а члеа первого порядка-искомое смеше ние Ьйн ем ах я Ьр- —, д Г 2 Ьи.дг — 1 гаЬУйр, (1) д 2шГ а а Ма дМ М где от интегрированна по дг мы перешлв н интегрированию по Ие вдоль траектории «невозмущенного» двнження. В случае а) интегрирование в (1) трнвналььо и дает: 2нбла 2яб Ьр Ма ар 1р — параметр невозмушепного влляпса нз (15,4)).
В случае б) г'бУ = у(г, н, взяв 1/г из (15,б), получим: бяауша бят Ьв М» ар' ' ГЛАВА 1Ч СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ й 16. Распад частиц Уже сами по себе законы сохранения импульса и энергии позволяют сделать во многих случаях ряд важных заключений о свойствах различных механических процессов. При этом особенно существенна то обстоятельство, чта эти свойства совершенно не зависят от конкретного рода взаимодействия между участвующими в процессе частицами. Начнем с процесса, представляющего собой «самопроизвольный» (т.
е. без воздействия внешних снл) распад частицы на две «составные части», т. е. на две другие частицы, движущиеся после распада независимо друг от друга. Наиболее просто этот процесс выглядит при рассмотрении его в системе отсчета, в которой частица (до распада) покоилась.
В силу закона сохранения импульса сумма импульсов обеих образовавшихся в результате распада частиц тоже равна нулю, т. е. частицы разлетаются с равными и противоположно направленными импульсами. Их общее абсолютное значение (обозначим его ро) определяется законом сохранения энергии 2 Ро Ро где ш» и л»» — массы частиц, Е»~«и Ем» вЂ” их внутренние энергии, а Е»» — внутренняя энергия первоначальной (распадающейся) частицы, Обозначим посредством е «энергию распада», т. е. разность (16,1) а = Евн Е»»» Еов» (очевидно, что эта величина должна быть положительной для того, чтобы распад был вообще возможен). Тогда имеем: (!6,2) чем и определяется ро (л» вЂ” приведенная масса обеих частиц); скорости же частиц ою = ро/шь о»о = Ро/»пг Перейдем теперь к системе отсчета, в которой первичная частица движется до распада со скоростью У. Эту систему отсчета обычно называют лабораторной (или л-системой) в про- РАспАд чАстиц тнвоположность «системе центра инерции» 1илн ц-системе), в которой полный импульс равен нулю.
Рассмотрим одну из распадных частиц и пусть ч и ио — ес скорости соответственно в ли ц-системе, 14в очевидного равенства ч = Ч + чо, или ч — Ч = =та, имеем: от+ Уа — 2орсозО от ' (16,3) где Π— угол вылета частицы по отношению к направлению скорости Ч. Этим уравнением определяется зависимость скорости распадной частицы от направлении ее вылета в л-системе. Оиа может быть представлена графически с помощью диаграммы, а Рсоа изображенной на рис. 14. Скорость ч дается вектором, проведенным в какую-либо точку окружности радиуса оо ') из точки А, отстоящей на расстояние У от центра окружности. Случаям Р ( оо и У ) оо отвечают соответственно Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
