Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(21,7) Это выражение может быть написано также и в виде х=а соз(юг+ а). (21,8) Поскольку соз(аг'+ ск) = соз аг соз ск — з)п аг' э!и сс, то сравнение с (21,7) показывает, что произвольные постоянные а н ск связаны с постоянными сг и са соотношениями а= ~/сг+ сэ, 1яа= — сэ/сг.
(21,9) Таким образом, вблизи положения устойчивого равновесия система совершает гармоническое колебательное движение. Коэффициент а при периодическом множителе в (21,8) называется амплитудой колебаний, а аргумент косинуса — их фазой; сс есть начальное значение фазы, зависящее, очевидно, от выбора начала отсчета времени, Величина а называется циклической ча» стотой колебаний; в теоретической физике, впрочем, ее называют обычно просто частотой, что мы и будем делать в дальнейшем, Чйстота является основной характеристикой колебаний, ие зависящей от начальных условий движения.
Согласно формуле (21,6) она всецело определяется свойствами механической системы как таковой. Подчеркнем, однако, что это свойство частбты связано с предполагаемой малостью колебаний и исчезает при переходе к более высоким приближениям. С математической точки зрения оио связано с квадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты '). ') Такую систему часто называют одномерным осцилллторон. з) Оно ие имеет поэтому места, если у функции У(х) при х = О мини. мум более высокого парадна, т.е. Усох", п ~ 2 (см. задачу 2а, $1!), (гл.
ч МАЛЫН КОЛНБАНИЯ Энергия системы, совершающей малые колебания, есть юх' йх' гп Е = — + — — (х' -(- ю'х') 2 2 2 или, подставив сюда (21,8): Е = 1/злтютах. Она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Зависимость координаты колеблющейся системы от времени часто оказывается удобным представлять в виде вещественной части комплексного выражения х = г(е (Ае'") (21,11) где А — комплексная постоянная; написав ее в виде А=пего (21,12) мы вернемся к выражению (21,8). Постоянную А называют комплексной амплитудой; ее модуль совпадает с обычной амплитудой, а аргумент — с начальной фазой. Оперирование с экспоненциальными множителями в математическом отношении проще, чем с тригонометрическими, так как дифференцирование не меняет нх вида. При этом, пока мы производим лишь линейные операции (сложение, умножение на постоянные коэффициенты, дифференцирование, интегрирование), можно вообще опускать знак взятия вещественной части, переходя к последней лишь в окончательном результате вычислений.
Задачи 1. Выразить амплитуду н начальную фазу колебаний через начальные зна. чення кэ н эз хоордннаты н скоростя. Ответ; ее ез а "з+ — и, 1йа И мхз 2. Найти отношение частот м н м' колебаний двух двухатомных молекул, состоящих нз атомов различных изотопов; массы атомов равны соответ.
г г огненно гпп паз н яго гп . Р е ш е н н е. Поскольку атомы изотопов взаимодействуют одинаковым образом, то й = й'. Роль же коэффициентов яг в кинетических энергнях но. лекул играют нх нрнведенные массы. Согласно (21,61 находим поэтому: 3. Найти частоту колебаний точки с массой т, способной двигаться по прямой н прякрепленной к пружине, другой конец которой закреплен в точ. ке А (рнс.
22) нкййасстояннн 1 от прямой, Пружина, имея длину 1, натянута с силой Р. $ З1) СВОБОДНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ КОЛЕБАНИЕ 31 Решение. Потенциальная энергия пружины (с точностью до малых величин высшего порядка) равна произведению силы Р на удлинение 61 пру. жины. При х» 1 имеем: 61 )У)з+ хУ вЂ” 1 м хз/21, так что У = Рхз)21, Поскольку кинетическая энергия есть шхз12, то ю у'г)о!1. 4. То же, если точка ю движется по окружности радиуса г (рис. 23), Рис. 22 Рнс.
23 Решение. В этом случае удлинение пружины (при ф ~ Ц 61 = т/ге + (1 -)- г)' — 2г (1 .(- г) соз ф — 1 яг фз. г(1 + г) 21 Кинетическая энергия Т '1,зггзфз. Отсюда частота Р(г+1) г!т 5. Найти частоту колебаний изображенного иа рис. 2 маятника, точка подаеса которого (с массой ш, в ней) способна совершать движение в горизонтальном направлении. Решение. При ф ~ 1 из полученной в задаче 3 $14 формулы находим: Т гл~глз! ф и — ф. ягзй! 2(т~ + тз) 2 Отсюда е (ю, + тП т,! 6.
Определить форму кривой, при качании вдоль которой (в поле тяжести) частота колебаний не зависит от амплитуды. Р е ш е н и е. Поставленному условию будет удовлетворять такая нривая, прн движении вдоль которой потенциальная энергия частицы будет У=йзз(2, где з — длина дуги, отсчитываемая от положения равновесия; при этом МАЛЫЕ КОЛЕБАННЯ [ГЛ. Ч яннетнческая энергия Т лззз/2 (яз†масса частицы) н частота колебаний будет м .т///т вне завяснмостн от начального значения з. Но в поле тяжести [/ = л[уу, где у — вертикальная коорднната. Поэтому имеем: Аз'/2 = шуу нлн Ф у 3 2у С другой стороны, бзз = охз+ дуз, откуда Интегрирование удобно произвести, сделав подстановку у (1 соз З), у 4юз Тогда получим: х — ($+ зго 2).
у Этн два равенства определяют в параметрическом виде уравненне искомой кривой; она представлнет собой цнклонду. 2 22. Вынужденные колебания Первый член является функцией только от времени и потому может быть опущен в лагранжевой функции (как полная производная по / от некоторой другой функции времени). Во втором члене — д(/,/дх есть внешняя «сила», действующая на систему в положении равновесия и являющаяся заданной функцией времени; обозначим ее как Р(/). Таким образом, в потенциальной энергии появляется член — хр(/), так что функция Лагранжа системы будет: лгхз ахз = — — — + хр'(/).
2 (22,1) Перейдем к рассмотрению колебаний в системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле; такие колебания называют но[нужденноши в отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе так называемых свободных колебаний. Поскольку колебания предполагаются по-прежнему малыми, то тем самым подразумевается, что внешнее поле достаточно слабое, в противном случае оно могло бы вызвать слишком большое смещение х. В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией '/зйхз система обладает еще потенциальной энергией (/,(х,/), связанной с действием внешнего поля.
Разлагая этот дополнительный член в ряд по степеням малой величины х, получим: [/е(Х, /) я [/з(0, /)+ х лх ~ Вынужденные кОлеБАниЯ Соответствующее уравнение движения есть тй+ йх=Р(1), или х+ мах = — г (1), 1 (22,2) Таким образом, в случае резонанса амплитуда колебаний растет линейно со временем (до тех пор, пока колебания не где мы снова ввели частоту а свободных колебаний. Как известно, общее решение неоднородного линейного диф. ференциальнаго уравнения с постоянными коэффициентами по. лучается в виде суммы двух выражений: х = ха+ хь где хз— общее решение однородного уравнения, а х~ — частный интеграл неоднородного уравнения.
В данном случае хз представляет собой рассмотренные в предыдущем параграфе свободные колебания. Рассмотрим представляющий особый интерес случай, когда вынуждающая сила тоже является простой периодической функцией времени с некоторой частотой у: Р (1) =1 сов(у1+ [3). (22,3) Частный интеграл уравнения (22,2) ищем в виде х~ = = Ь сов(т1+ р) с тем же периодическим множителем. Подстановка в уравнение дает: Ь = 11гп'(вз — уз); прибавляя решение однородного уравнения, получим общий интеграл в виде х=асоз(а1+а)+,, соз(у1+[)). (22,4) Произвольные постоянные а и а определяются из начальных условий.
Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы система совершает движение, представляющее собой со. вокупность двух колебаний — с собственной частотой системы г» и с частотой вынуждающей силы у. Решение (22,4) неприменимо в случае так называемого резонанса, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой системы. Для нахождения общего решения уравнения движения в этом случае перепин1ем выражение „(22,4) с соответствующим переобозначением постоянных в виде х = а соз (а1 + а) + („,, [соз (у1+ р) — соз (в1 + р)[.
При т-+ гз второй член дает неопределенность вида 01'О. Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получим; х=асоз(а1+а)+ 2 1з1п(в1+р) (226) МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ, У перестанут быть малыми и вся излагаемая теория перестанет быть применимой). Выясним еще, как выглядят малые колебания нблизи резонанса, когда у =ы+ е, где е — малая величина. Представим общее решение в комплексном виде, как Азьа+ Век 1о+е>с (А+ Весы) е'а". (22,6) Так как величина А+ Ве'ет мало меняется в течение периода 2л/то множителя е'"', то движение вблизи резонанса можно рассматривать как малые колебания, но с переменной амплитудой '). Обозначив последнюю через С, имеем: С=~ А+ Веьи ~.
Представив А и В соответственно в виде азоя н Ье'Б, получим: СЯ = ат + Ьт + 2аЬ соз (е1 + )3 — а). (22,7) Таким образом, амплитуда колеблется периодически с частотой е, меняясь между двумя пределами !а — Ы» С~(а+Ь. Это явление носит название биений. Уравнение движения (22,2) может быть проннтегрировано и в общем виде при произвольной вынуждающей силе Р(1).
Это легко сделать, переписав его предварительно в виде — (х + т'отх) — ге (х + тозх) = — Р (4 И..... 1 щ лт или — — ю~» — — Р (1), ий (22,8) где введена комплексная величина 5 =х+ йах. (22,9) Уравнение (22,8) уже не второго, а первого порядка. Без пра. вой части его решением было бы $ = Аз'"' с постоянной А. Следуя общему правилу, ищем решение неоднородного уравнения в виде в =А(1)е'"' н для функции А(1) получаем уравнение А(т') = — Р(1) е "".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
