Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Подставив же сюда угловые переменные как функции времени, найдем, что временная зависи. ность Р определяется суммой вида « Р= ~~ ° ° °,1' Асрз ... с,акр~11(1! ду + ° ° ° + 1~ А7 ) ~ г -с« г;— (52,9) Каждый из членов этой суммы есть периодическая функция времени с частотой 1~ю + ... +1М„ (52,10) представляющей собой сумму целых кратных от основных частот озз до д1г ' (52,11) Но поскольку все частоты (52,10) не являются, вообще говоря, целыми кратными (или рациональными частями) какой-либо одной нз ннх, то вся сумма в целом не является строго периодической функцией. Это относится, в частности, и к самим ко. ординатам о и импульсам р системы.
Таким образом, движение системы нц является в общем случае строго периодическим ни в целом, ни по какой-либо из координат. Это значит, что если система прошла через какое- либо состояние, то она не пройдет через него повторно ни через какое конечное время. Можно, однако, утверждать, что по истечении достаточно большого промежутка времени она пройдет сколь угодно близко от этого состояния.
Это свойство имеют в виду, называя такое движение условно-периодическим. В различных частных случаях две (или более) из основных частот оз~ могут оказаться соизмеримыми (при произвольных значениях величин 1;). В таких случаях говорят о наличии вырождения, а если все з частот соизмеримы, то движение ') «Вразцателъные координаты» — углы м (см. примечание на стр. 200)— неоднозначно связаны с состояяием системы, так как значения м, отличаюнзнеся на целое кратное от 2и, отвечают одному и тому же положению си. стемы.
Поэтому, если среда координат д имеются такие углы, то онн могут входить в функцию Р(н, р) лнюь в виде таких выражений, как соя ~р илй з!и м, связь которых с состоянием системы однозначна, исловно.пвриодичпсков движения системы называют полностью варожденним. В последнем случае, очевидно, движение строго периодично и тем самым траектории всех частиц в замкнуты.
Наличие вырождения приводит, прежде всего, к уменьшению числа независимых величин (1;), от которых зависит энергия системы. Пусть две частоты оп и ав связаны соотношением оо оЕ и,— =пв —, дР~ д1в ' (52,12) где п~ н пв — целые числа. Отсюда следует, что величины 7~ и 1в входят в энергию лишь в виде суммы лв7~ + пь(в. Весьма важной особенностью вырожденных движений яв. ляется увеличение числа однозначных интегралов движения по сравнению с их числом в общем случае иевырождениой системы (с тем же числом степеней свободы). В последнем случае из полного числа (2з — 1) всех интегралов движения однозначными являются всего з функций состояния системы; вх полный набор составляют, например, з величин 1ь Остальные з — 1 интегралов можно представить в виде разностей оо дЕ 1 о1в в а11' (52,13) Постоянство этих величин непосредственно следует из форму.
лы (52,7), но ввиду неоднозначности угловых переменных онн не являются однозначными функциями состояния системы. Прн наличии же вырождения положение меняется. Так, ввиду связи (52,12) интеграл (52„14) ш1лв швп! ~) Мы отвлекаемся прв втоы от таких трививлввых ивыевевва коордиввт, / в в л квх преобрввовввив вида д~ д~ (д,), ов Ов (д~), хотя и является неоднозначным, но его неоднозначность сводятся к прибавлению любого целого кратного 2п.
Поэтому достаточно взять тригонометрическую функцию этой величины,для того чтобы получить новый однозначный интеграл движения. Примером вырожденного движения является движение в поле 11= — а/г (см. задачу к этому параграфу). Именно это обстоятельство приводит к появлению нового, специфического однозначного интеграла движения (15,17), помимо двух (рассматриваем движение сразу как плоское) обычных однозначных интегралов, — момента М н энергии Е, — свойственных движению в любом центральном поле.
Отметим также, что появление дополнительных однозначных интегралов приводит в свою очередь еще к одному свойству вырожденных движений — они допускают полное разделение переменных при различных, а не при одном определенном ь) ~гл. уп КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИИ 212 выборе координат. Действительно, величины 1~ в координатах, осуществляющих разделение переменных, являются однозначными интегралами движения. Но при наличии вырождения число однозначных интегралов превышает з, и потому становится неоднозначным выбор тех из них, которые мы хотим получить в качестве величии 1Р В качестве примера снова упомянем кеплерово движение, допускающее разделение переменных как в сферических, так и в параболических координатах.
В предыдущем параграфе было показано, что при одномерном финитном движении переменная действия является адиабатическим инвариантом. Это утверждение остается в силе и для систем со многими степенями свободы. Оно доказывается в общем случае прямым обобщением способа, изложенного в начале 2 5!. Для многомерной системы с переменным параметром Л(1) уравнения движения в канонических переменных дают для скорости изменения каждой из переменных действия 1~ выражение, аналогичное (50,10): (52,15) где по-прежнему Л = (д5А/дА) ь Усреднение этого равенства надо производить по промежутку времени, большому по сравнению с основными периодами системы, но малому по сравнению со временем изменения параметра Х(1).
При этом Х снова выносится из-под знака усреднения, а усреднение производных дЛ/дш; производится так, как если бы движение происходило при постоянном Х и потому было условно периодическим. Тогда Л будет однозначной периодической функцией угловых переменных ш~ и средние значения ее производных дЛ/днч обращаются в нуль. В заключение сделаем некоторые замечания по поводу свойств финитного движения замкнутых систем со многими (з) степенями свободы в наиболее общем случае, не предполагающем разделимости переменных в соответству|ощем уравнении Гамильтона — Якоби. Основным свойством систем с разделяющимися переменными является однозначность интегралов движения 1ь число которых равно числу степеней свободы.
В общем же случае систем с неразделяющимися переменными набор однозначных интегралов движения ограничивается теми, постоянство которых есть выражение свойств однородности и изотропии пространства и времени, т. е. законами сохранения энергии, импульса и момента, УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИН $ м! 2(З Фазовая траектория системы проходит по тем областям фазового пространства, которые определяются заданными постоянными значениями однозначных интегралов движения. Для системы с разделяющимися переменными с ее з однозначными интегралами этими условиями определяется з-мерное многообразие в фазовом пространстве.
В течение достаточно долгого времени траектория системы покроет это многообразие сколь угодно плотно. з1 системы же с неразделяющимися переменными, с ее меньшим (прн том же з) числом однозначных интегралов фазовая траектория может заполнять собой в фазовом пространстве области (многообразия) большего числа измерений, Наконец, укажем, что если гамильтонова функция системы отличается от функции, допускающей разделение переменных, лишь малыми членами, то и свойства движения близки к свойствам условно-периодических движений, причем степень этой близости гораздо выше, чем степень малости дополнительных членов в функции Гамильтона. Задача Вычислить переменные действия для эллиптического движения в поле (1 = — а(г.
Решение. В полярных координатах г, ю в плоскости движения имеем: 1 2н о ~мах 2 лг г(г= — И+ а ттг —. т( 2(Е(' гю!э Отсюда энергия, выраженная через переменные действия". шо 2(1г+1,)з' Она зависит лишь от суммы 1,+ 1е, что означает вырождение двяжеиия— обе основные частоты (по гг и по г) совпадают. Параметры орбиты р и е (см. (15,4)) выражаются через 1г, 1 согласно 12 г В силу адиабатической инвариантности величин 1„ 1ч, при медленном изменении коэффициента а или массы т зксцентриситет орбиты остается неизмея. ным, а ее размеры меняются обратно пропорционально т я а.
ПЫДИИтНЫИ УКАЗАТКЛЬ !) Абсолютно гладкая поверхность !59 — шероховатая яоверхиость 159 Аддитиваость интегралов движения 24 — массы 29 Амплитуда 79 Апернодическое затухание 101 Комбинационные частоты 114 Консервативная система 25 Линия узлов 143 Биения 84, 93 Нормальные колебания 91 Нутацкя 146 Действие 1Π— укороченное 181 Декремент затухания 100 Диссипативная функция 102 Задача двух тел 44 Закон инерции !4 — равенства действия и противодей.
стеня 27 Законы Кеплера 36, 46 Закинутая система 17 Замкнутые траектории 48 Изотрапня пространства 14, '30 Инерциальная система отсчета 14 Интеграл движеяия 24 — площадей 46 ') Этот указатель дополняет оглавление кинга, не повторяя его. В ука ватель включены термины и йоцятия, непосредственно не отраженные в ог лавлении. Вариация 11 Вириальиая теорема 36 Внутренняя энергия 29 Волчок асимметрический 131, 150 — быстрый 147 симметрический 131, !39, 145 — шаровой 131 Вырождение 92, 210 Канонические уравнения Г70 Канонически сопряженные величины 187 Качение 159 Кинетическая энергия 18 Масса частицы 16 Маятник двойной 21, 93 — с колеблющимся подвесом 22, 125 — сферический 49 — физический 134 — Фуко 168 Мгновенная ось вращения 128 Момент силы 141 Обобщенная коордяната 9 — сила 28 Обобщенный импульс 28 Общий интеграл 190 Однородное поле 20 Однородность времени 25 — пространства 26 Осциллятор 79 — пространственный 94 Падение частяцы на центр 48, 70 Пара сил 142 Параболические координаты 195 Переменная действия 202 Перигелия смешение 56 Полный интеграл 190 Полодия 15! Поступательное движение 127 Потенциальная энергия 18 — яма 40 Преобразование Галилея 15 Лежандра 169 Прецессии регулярная 139 Принцип д'Аламбера 161 Прокзводшцал функция 185 предметнып указатель 215 Резонанс 83 Ротатор 132, !39 Связи 20 — голономные 160 — неголономные 160 Секториальная скорость 46 Сила 19 — Кориолиса 165 — реакции 158 трения !00, !59 — центробежная 166 Скольжение !59 Собственная частота 89 Степени свободы 9, 94, 127 Теорема Пуассона 176 Тождество Якоби 175 Точечное преобразование 184, 186 Точка остановки 40 Угловая переменная 202 Уравнения Ньютона 19 Условия равновесия твердого тела !58 Фаза 79 Фазовая траектория 188 Фазовое пространство 188 Финитное и инфииитное движение 40 Циклическая координата 46, 173, 194 — частота 79 Эксцеитрисытет 52 Эллиптические координаты !96 Эффективное сечение 62 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
