Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(43,7)): КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ [Гл. уп представляющими собой определение импульсов, и уравнением закона сохранения энергии Е(д, Я=Е. (44,7) При этом импульсы дЬ т Р1= — = ~а1А(4)ЧА, О41 а энергия Е= —,) а1А(Ч)цд+и(4). 1 А Ф Из последнего равенства имеем Ж= и, подставляя это выражение в Х ~'~е р, с1а, = т а,А — „й~„ найдем укороченное действие в виде со = ~ ля~2(Š— (7) Е а1А г(д1 й7А. (44,9) ' В частности, для одной материальной точки кинетическая энергия т= —,Я) (где т — масса частицы, а И вЂ” элемент длины траектории) и варнационный принцип для определения формы траектории 6 ~ 1'2т(Š— (7) А=0, (44,! О) Выразив из последнего уравнения дифференциал аг через координаты д и их дифференциалы Фд и подставив в формулы (44,6), мы выразим импульсы через д и Щ причем энергия Е будет играть роль параметра.
Получающийся таким образом вариационный принцип определяет траекторию системы; этот принцип называют обычно прииципом Мопертюи (хотя его точная формулировка была дана Эйлером и Лагранжем). Произведем указанные действия в явном виде для обычной формы функции Лагранжа (5,5) как разности кинетической и потенциальной энергий: 1 Ь = Е ~~' ата (Ч) уг7~ — (1(д). Ь А принцип мопннтюи где интеграл берется между двумя заданными точками пространства.
В таком виде он был представлен Якоби. Прн свободном движении частицы ь/ = О, и (44,10) дает тривиальный результат 0$а=О, т. е. частица движется по кратчайшему пути — по прямой. Вернемся снова к выражению для действия (44,3) и произведем на этот раз его варьирование также и по параметру Е; бЕ= з бЕ (( /о) ЬЕ Еб/- дЕ Подставив это в (44,2), находим: доз — =/ — /. дЕ (44, 11) Для укороченного действия в форме (44,9) это равенство при- водит к соотношению = / — /о (44,12) Задача Из варнацнонного прннцвпа (44,10) получать дифференциальное ураввенне траектории. Р ев е н ве Проязводя варьнрованве, нмеем: б ~ ч/Š— 0 Ж вЂ” ~ ~ — И вЂ .т/Š— У вЂ” Н бг ~. ГдУ бг дг ( дг 2ч/Š— У Ж Во втором члене учтено, что г(Р = лгз н потому Н Ж = Ф пбг; пронзведв в этом члене интегрирование по частям в прнраввяв затем нулю козффвцнент прв бг в подынтегральном выраженнн, получим днфферевцнальное уравненне траектории — И I з/г з дУ 2ч/е — (/ — (чФ У вЂ” ) - — —.
д/ ~ й/ ) дг ' Раскрыв производную в левой стороне равенства в вводя снлу Г = = — дУ/дг,можно представить это уравнение в анде а г à — (ГВ( Жз 2(Š— У) ' где 1 = лг/г// — елннвчный вектор касательной к траекторнн. Разность à — (Г1)! есть нормальная к траектории компонента силы Г,. Провзводная жг Пзг/с//г = Й/Л, как известно нз днфференцнальной геометрия, раааа и/Е, где /с — радяус кривизны траектории, а и — елвннчный вектор главной которое представляет собой не что иное, как интеграл урав- нения (44,8). Вместе с уравнением траектории оно полностью определяет движение.
!Гл тгг КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ нормали к ней. Заменив также Š— У на гное(2, получим: игоз и — ра й в соответствии с известным выражением для нормального ускорения при дви- жении по искривленной траектории. й 45. Канонические преобразования Выбор обобщенных координат д не ограничен никакими условиями — ими могут быть, любые з величин, однозначно определяющие положение системы в пространстве.
Формальный вид уравнений Лагранжа (2,6) не зависит от этого выбора, и а этом смысле можно сказать, что уравнения Лагранжа инвариантны по отношению к преобразованию от координат дн дз, ... к любым другим независимым величинам Яь Яз, ... Новые координаты Я являются функциями старых координат д, причем допустим и такой их выбор, при котором эта связь содержит в явном виде также и время, т.
е. речь идет о преобразованиях вида (45,1) Яс=() (4, 1) (нх называют иногда точечными преобразованиями), Наряду с уравнениями Лагранжа при преобразовании (45,1) сохраняют, разумеется, свою форму (40,4) и уравнения Гамильтона. Последние, однако, допускают в действительности гораздо более широкий класс преобразований, Это обстоятельство естественным образом связано с тем, что в гамильтоновом методе импульсы Р играют наряду с координатами д роль равноправных независимых переменных. Поэтому понятие преобразоваз ния может быть расширено так, чтобы включить в себя преобразование всех 2Е независимых переменных р и д к новым переменным Р и Я по формулам Яг=сгс(Р. 4 г) Рс=рг(Р 4 г) (45,2) Такое расширение класса допустимых преобразований является одним из существенных преимушеств гамильтонового метода механики.
Однако отнюдь не прн произвольных преобразованиях вида (45,2) уравнения движения сохраняют свой канонический вид. Выведем теперь условия, которым должно удовлетворять преобразование, для того чтобы уравнения движения в новых переменных Р, Я имели вид дН' (45,3) с некоторой новой функцией Гамильтона О'(Р, Я). Среди таких преобразований особенно важны так называемые канонические. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ К формулам для канонических преобразований можно прий. ти следующим путем. В конце $43 было показано, что уравнения Гамильтона могут быть получены нз принципа наименьшего действия, представленного в форме (45,4) г(причем варьируются независимо все координаты и импульсы).
ААля того чтобы новые переменные Р и (,) тоже удовлетворяли уравнениям Гамильтона, для них тоже должен быть справед- лив принцип наименьшего действия 5 ) ( Я г, то, — я' л) = о. (45, 5) Но два принципа (45,4) н (45,5) заведомо эквивалентны друг другу при условии, что их подынтегральные выражения отли,чаются лишь на полный дифференциал произвольной функции Р координат, импульсов и времени; тогда разность между обоими интегралами будет несущественной при варьировании постоянной (разность значений Р на пределах интегрирования).
Таким образом, положим ч, р; дй, — Н д( = ,'Г, Р, ~, — Н' г((+ 4(Р, мы видим, что р= —, Р = — —, Н' Н+ —; (457) дг дг" т дг" дч ' т дЯ дт при этом предполагается„что производящая функция задана как функция старых и новых координат (и времени): Р= Р(д,Я,(). При заданной функции Р формулы (45,7) устанавливают связь между старыми (р, д) и новыми (Р, Я) переменными, а также дают выражение для новой гамильтоновой функции.
') Заметим, что, кроме канонических преобразований, сохраняют капо нический вид уравнений движевия и преобразования, при которых подынтегральные выражения в (45,4) и (45,5) отличаются постоянным множителем. Примером может служить преобразование вида Р~ = арь (л дь Н' = аН с произвольной постоянной а. Преобразования, удовлетворяющие такому требованию, и называют каноническими '). Всякое каноническое преобразование характеризуется своей функцией Р, которую называют производящей функцией преобразования. Переписав полученное соотношение в виде г(Р= Х Р,с(дз — 2,' Р,г(Я, +(Н' — Н) Л, (45,6) КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (гл, ч1$ Может оказаться удобным выражать производящую функ.
цию не через переменные д и О, а через старые координаты д н новые импульсы Р. Для вывода формул канонических преобразований в этом случае надо произвести в соотношения (45,6) соответствующее преобразование Лежандра. Именно, переписываем его в виде ,((Р, ~рд,.) ч,„р,.
уб,+ у,О., (Р,+(Н Н) ((. Выражение, стоящее под знаком дифференциала в левой стороне равенства, выраженное через переменные д, Р, и является новой производящей функцией. Обозначив ее посредством (р(д, Р, (), имеем '): дФ дФ т дФ р,= —, ф= —, Н'=Н+ —. (45,8) дд ' дР ' де Аналогичным образом можно перейти к формулам каиони. ческих преобразований, выраженных через производящие функции, зависящие от переменных р и Я или р и Р. Отметим, что связь между новой и старой гамильтоиовыми функциями всегда выражается одинаковым образом: разность Н' — Н дается частной производной по времени от производя. щей функции.
В частности, если последняя не зависит от вре. мени, то Н'= Н. Другими словами, в этом случае для получения новой функции Гамильтона достаточно подставить в Н величины р, д, выраженные через новые переменные Р, О. Широта канонических преобразований в значительной степени лишает в гамильтоиовом методе понятие обобщенных координат и импульсов их первоначального смысла. Поскольку преобразования (45,2) связывают каждую из величин Р, Я как с координатами д, так и с импульсами р, то переменные Я уже не имеют смысла чисто пространственных координат. Раз. личие между обеими группамн переменных становится в основ. ном вопросом номенклатурным. Это обстоятельство весьма иа. глядно проявляется, например, в преобразовании Я; = рь Рз = = — д~з), явно не меняющем канонический вид уравнений и сводящемся просто ко взаимному переименованию координат, и импульсов.
') Заметим, что, взав производящую функцию в виде -Ф=~ Н(Ф ()Рт В (где й — произвольные функции), мы получим преобразование, при котором новые координаты ()~ = Цд, (), т.е. выражаются только через старые координаты (но не импульсй). Это — точечные преобразования, которые естественным образом оказываются частным случаем канонических преобразо.
ванна. в) Ему отвечает производящая функция Р ~:, Чтмь КАНОННЧЕСКИЕ ПРЕОВРАЗОВАНИЯ 1зт Ввиду этой условности терминологии переменные р и д в гамильтоновом методе часто называют просто канонически сопряженными величинами. Условие канонической сопряженности можно выразить о помощью скобок Пуассона. Для этого докажем предварительно общую теорему об инвариантности скобок Пуассона по отношению к каноническим преобразованиям.
Пусть ()а)е ч — скобка Пуассона величин г и а, в которой дифференцирование производится по переменным р, д, а Ще,о — скобка Пуассона тех же величин, дифференцируемых по каноническим переменным Р, Ге'. Тогда Ий),,,= Ои)г,о. В справедливости этого соотношения можно убедиться прнмым вычислением с использованием формул канонического преобразования. Монако, однако, обойтись и без вычислений с помощью следующего рассуждения. Прежде всего замечаем, что в канонических преобразованиях (45,7) или (45,8) время играет роль параметра. Поэтому, если мы докажем теорему (45,9) для величин, не зависящих явно от времени, то она будет верна и в общем случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
