Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Переход от одного набора независимых переменных к другому можно совершить путем преобразования,'известного в математике под названием преобразования Лежандра. В данном случае оно сводится к следующему. Полный дифференциал функции Лагранжа как функции координат и скоростей равен Ж= ~ — йУ~ + ~' — гЦР ! 4 1гл. чп кхноническив уРАВнения 170 координаты и импульсы, она называется еамильтоновой функцией системы О(р, ц, 7)= ЕМ вЂ” ~- (40,2) Из дифференциального равенства йо = — Х р» йц~ + Е 4~ йр, (40,3) следуют уравнения дн Ч~ дН А= — —.
де, (40,4) (40,5) В частности, если функция Гамильтона не зависит от времени явно, то йН/е(1 = О, т. е. мы снова приходим к закону сохране- ния энергии, Наряду с динамическими переменными а, д или а, р функ ции Лагранжа и Гамильтона содержат различные параметры— величины, характеризующие свойства самой механической си- стемы или действующего на нее внешнего поля. Пусть Х— такой параметр. Рассматривая его как переменную величину, будем иметь вместо (40,1): дт. Н.=~ р,йц,+ ) р,йе,+ — йХ, после чего вместо (40,3) получим: ""=-Х "«~Х "'-т"' дЕ Отсюда находим соотношение 140,6) Это — искомые уравнения движения в переменных р и д, так называемые уравнения Гамильтона.
Оии составляют систе- му 2е дифференциальных уравнений первого порядка для 2е неизвестных функций р(() и д((), заменяющих собой з уравне- ний второго порядка лагранжевого метода. Ввиду их формаль- ной простоты и симметрии эти уравнения называют также ка- ноническими. Полная производная от функции Гамильтона по времени дН дН к~дН .
ч~дН +~ А+~ Р~. д7 д7 Лг дд, ' Е~ дР, При подстановке сюда ф и р; из уравнений (40,4) последние два члена взаимно сокращаются, так что дН дН И д7' й Яе) уилвиеиия ГАмильтонАч 1т! связывающее частные производные по параметру и от функций Лагранжа и Гамильтона; индексы у производных указывают, что дифференцирование должно производиться в одном случае при постоянных р и д, а в другом — при постоянных д и д.
Этот результат может быть представлен и в другом аспекте. Пусть функция Лагранжа имеет вид Ь = Ьо+ К где Е' представляет собой малую добавку к основной функции Ее. Тогда соответствующая добавка в функции Гамильтона Н = Но+ Н' связана с Ь' посредством )я,е ( )Ф.е' (40,7) Заметим, что в преобразовании от (40,1) к (40,3) мы не писали члена с Ж, учитывающего возможную явную зависимость функции Лагранжа от времени, поскольку последнее играло бы в данном аспекте лишь роль параметра, не имевшего отноцгеиия к производимому преобразованию.
Лналогично формуле (40,6) частные производные по времени от ~ и от Н связаны соотношением (40,8) Задачи 1. Найти функци1о Гамильтона для одной материальной точки в лекарто. вых, цилиндрических а сферических координатах. Ответ. В декартовых координатах я, у, я: Н вЂ” (рт + рт + рз) + У (х, Го и). Б цилиндрических координатах г, ф, я: 2 и- 2 ~рг+-,и-+р,)+и(г, ф,и). В сферических координатах г, 0, ф: Н=2 ~р'+ — +-,Из1пза)+Н('0 ф).
2 Найти функцию Гамильтона частипы в равномерно вращающейся системе отсчета. Р е ш е н и е, Из (39,11) и (39,10) получим; рз Н вЂ” — !) [гр) + У. 2т 3. Найти функцию Гамильтона системы из одной частицы с массой М и и частиц с массами т, с исключенным движением центра инерции (см, задачу к 5 13). Р еш е н ц е Энергия Е получается яз найденной в задаче к $13 функции Лагранжа изменением знака перед У. Обобщенные импульсы: дй щг тч ра = — = Шта ~ та.
дта р х'. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1гл чы Отсюда нмеем ~ р = »а ~~» т„— — ~' те — ~~~» те, те -е + — ~ р,„ р р ' »м М Палстааляя а Е, найдем: »»- —,' ~»',».,' ~~~.)»-и. а 1 а откуда получаем дь дЕ «(~ — рф) = р 4 — фбр+ — (~+ —.)й, дй д$ Введем функцию (так называемую функцию Раусп) )1 (4, р, 5, 1) =, ф — ~-, (4 1,1) в которой скорость с) выражена через импульс р прн помощи равенства р = дЕ/д»). Дифференциал (Н= — р (4+4 (р — — 1~ — —.,ц. дЕ дЕ (41,2) д$ д$ Отсюда следует, что дй д»с 4=в др д дд ' дй д»» дЕ д»» да да д$ д$ Подставляя последние равенства в уравнение координаты $, получим: (41,3) (41,4) Лагранжа для д»с дй Щ д$ д$ (41,5) $4!.
Функция Рауса В некоторых случаях может оказаться целесообразным при переходе к новым переменным заменить на импульсы не все обобщенные скорости, а только некоторые из них. Соответствующее преобразование вполне аналогично произведенному в предыдущем параграфе.
Для упрощения записи формул предположим сначала, что имеются всего две координаты, которые мы обозначим, как») и й, и произведем преобразование от переменных д, $, д, $ к переменным д, й, р, с, где р — обобщенный импульс, соответствующий координате д. Дифференциал функции Лагранжа Л(»1, $, »), $) равен: с)(, = — с(д+ — сЦ+ — с(й+ —.
с(А— дЬ дЕ . дЬ дЬ де дд дй д$ рг)д+ рсЦ вЂ” Д+ —.сф, дЬ дЕ да да $41] Функция Ркуси Таким образом, функция Рауса является гамильтоновой по отношению к координате д (уравиення (41,3)) и лагранжевой по отношению к координате $ (уравнение (41,5)). Согласно общему определению энергия системы дз. дй д). е=4 —. + $ — -1-- рф+ ~ —. дф дй дй Ее выражение через функцию Рауса получается путем подстановки сюда (41,1) и (41,4) Е = )с — я —. д» (41,6) д$ Обобщение полученных формул на случай, когда имеется по нескольку координат д и й, очевидно.
Применение функции Рауса может быть целесообразным, в частности, при наличии циклических координат. Если координаты д — циклические, то они не входят явным образом в функцию Лагранжа, а потому и в функцию Рауса, так что последняя будет функцией только от р, й, й. Но импульсы р, соответствующие циклическим координатам, постоянны (это следует и из второго из уравнений (41,3), которое в этом смысле не дает ничего нового). После замены импульсов р их заданными постоянными значениями уравнения (41,5) д дн(р,й,й) дййшй,и Ш д$ дй превратятся в уравнения, содержащие только координаты так что циклические координаты тем самым исключаются полностью.
Если эти уравнения решены и функции $(1) найдены, то, подставив нх в правую часть уравнений д)1 (р, й, $) др мы найдем прямым интегрированием функции д(1). Задача Найти функцию Рвусз симметрического волчка во внешнем поле У(ф, 0), исключив циклическую коордиизту ф (ф, ~, 8 — зйлеровы углы). Р е ш е н и е Функция Лагранжа Х. — — '(й*+ ф* з1п' 8) + — ' (ф+ ф соз В)з — ГГ (Е, 0) (ср. задачу 1 4 Зб).
Функция Рзусв 2 Ря р-реФ вЂ” ь- — — р ф. в — — (йз+ф мпзв)+и(р,в); 2)з Е 2 первый член в ятом вырзжении предстзвляет собой постоянную, которая может быть опущена. 1гл, уп КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 174 2 42. Скобки Пуассона Пусть 1(р, д, 1) — некоторая функция координат, импульсов и времени. Составим ее полную производную по времени где введено обозначение (42,2) Выражение (42,2) называют скобками Пуассона для величин Н и 1. Такие функции от динамических переменных, которые остаются постоянными при движении системы, называются, как мы знаем, интегралами движения.
Мы видим из (42,1), что условие того, чтобы величина 1 была интегралом движения (и)/Ж = 0), можно написать в виде + ( Н ~ ) О Если же интеграл движения не зависит от времени явно, то (Н1) =О, (42,4) т, е. его скобки Пуассона с функцией Гамильтона должны обращаться в нуль. Для любой пары величин 1 и л скобки Пуассона определяются аналогично (42,2): (42,5) Скобки Пуассона обладают следующими свойствами, легко выводимыми нз определения. Если переставить функции, то скобки переменят знак; если одна из функций — постоянная (с), то скобка равна нулю: (12) = — (ай, (42,6) ()с) = О.
(42,7) Далее, (42,8) (42,9) У!+ (2 к) У|и) + ()2Я) (1112, Ы) =Й1 (122) + 12(Ю. Подставив сюда вместо дл и рл их выражения из уравнений Гамильтона (40,4), получим: т =Ж+ (Н1) д) д) (42,1) !та СКОБКИ ПУАССОНА % сп Взяв частную производную от (42,5) по времени, получим: (42,!О) Если одна из функций 1 или д совпадает с одним из импульсов или координат, то скобки Пуассона сводятся просто к частной производной: дрА ' д1 0РА) = — —. д) (42, 12) дЧА ' (42, 11) Формулу (42,11), например, получим, положив в (42,5) я = = дА, вся сумма сведется при этом к одному члену, так как — = бы, а — =О. Положив в (42,11) и (42,12) функцию 1 дала деА дел ' дрг Равной йп и Рь полУчим, в частности, (пса) = О, (рьоА) = О, (раца) = 6;».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
