Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Угловая скорость вращения волчка вокруг своей оси есть просто проекция ззз вектора зз на эту осзи з)з = — = — соз 6. М, М (33,4) зз зз Для определения же скорости прецессии зг„з надо разложить вектор зз по правилу параллелограмма на составляющие вдоль хз и вдоль М. Из них первая не приводит нн к какому перемещению самой оси волчка, а потому вторая и дает искомую угловую скорость прецессии, Из построения на рис, 46 ясно, движвнив тввгдого твлх [гл.
чг что И.рз(п 0 = Йь а поскольку Ц = М~)!1 = М з(п О/(ь то получаем: й„р = М/1ь (33,5) В 34. Уравнения движения твердого тела Поскольку твердое тело обладает в общем случае шестью степенями свободы, то общая система уравнений движения должна содержать шесть независимых уравнений. Их можно представить в виде, определяющем производные по времени от двух векторов: импульса и момента тела. Первое из этих уравнений получается просто путем суммирования уравнений р =! для каждой из составляющих тело частиц, где р — импульс частицы, а ! — действующая на нее сила.
Вводя полный импульс тела Р= ~ р=мУ и полную действующую на него силу ~' $ Р, получим1 — Р. (34,!) Хотя мы определили Р как сумму всех сил 4, действующих на каждую из частиц, в том числе со стороны других частиц тела, фактически в Р входят лишь силы, действующие со стороны внешних источников. Все силы взаимодействия между частицами самого тела взаимно сокращаются; действительно, при отсутствии внешних сил импульс тела, как и всякой замкнутой системы, должен сохраняться, т.
е. должно быть Р= О. Если У вЂ” потенциальная энергия твердого тела во внешнем поле, то сила Р может быть определена путем дифференцирования ее по координатам центра инерции тела. ри Р= — —. дК ' (34,2) Отметим в этой связи, что уравнение (34,!) может быть получено и как уравнение Лагранжа по отношению к координатам центра инерции 4 дв дС И~ дЧ дк Действительно, при поступательном перемещении тела на б(х настолько же меняются и радиус-векторы т каждой точки тела, - а потому изменение потенциальной энергии бы=~'фб -Ы,')'ф= — б)4" (= — Рбк. ггхвнвния движения твзгдого талл с функцией Лагранжа (32,4), для которой дЬ дЬ дУ вЂ” =рЧ=Р, — = — — =В. дч ' дц дй Перейдем к выводу второго уравнения движения, определяющего производную по времени от момента импульса М.
Для упрощения вывода удобно выбрать «неподвижную» (инерциальную) систему отсчета таким образом, чтобы в данный момент времени центр инерции тела покоился относителыю нее, Имеем: М = д ~ [гр] = ~ [гр]+ ~ [гр]. В силу сделанного нами выбора системы отсчета (в которой 7 = 0) значение г в данный момент времени совпадает со скоростью г = и. Поскольку же векторы ч и р = глг имеют одинаковое направление, то [гр]=0. Заменив также р на силу $, получим окончательно: (34,3) где К= ~ [гЦ.
(34,4) К = ~ [гг] = ~ [г'Ц+ ~ [аЦ К= К'+ [аг]. илн (34,5) Поскольку момент М определен относительно центра инерции (см. начало $ 33), он не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Это видно из формулы (9,5) с К = О. Отсюда следует, что уравнение движения (34,3), полученное здесь при определенном выборе системы отсчета, тем самым, в силу галилеевското принципа относительности, справедливо в любой ннерциальной системе.
Вектор [г(] называется моментом силы $, так что К есть сумма моментов всех сил, действующих на тело. Как и в полной силе г, в сумме (34,4) фактически должны учитываться лишь внешние силы; в соответствии с законом сохранения момента импульса сумма моментов всех сил, действующих внутри замкнутой системы, должна обращаться в нуль.
Момент силы, как и момент импульса, зависит, вообще говоря, от выбора начала координат, относительно которого он определен. В (34,3), (34,4) моменты определяются относительно центра инерции тела. При переносе начала координат на расстояние а новые радиус-векторы г' точек тела связаны со старыми г посредством г = г'+ а. Поэтому двнжвниа твв дого тилх ~гл, ш Отсюда видно, в частности, что величина момента снл не зависит от выбора начала координат, если полная сила Р О (в таком случае говорят, что к телу приложена пара сил). Уравнение '(34,3) можно рассматривать как уравнение Ла. гранжа зь зь лс ди адлер по отношению к «вращательным координатам».
Действительно, дифференцируя функцию Лагранжа (32,4) по компонентам век. тора й, получим: дЬ = Усть = 34с а, Изменение же потенциальной энергии У прн повороте тела на бесконечно малый угол Ьр равно: бУ вЂ” ',)" гбг=- ~" у[бф г)= — бр ); [гН= — Кбф откуда (34,б) так что дЬ дУ вЂ” = — — =К зч ае Предположим, что векторы Г н К взаимно перпендикулярны. В этом случае всегда можно найти такой вектор а, чтобы в формуле (34,5) К' обратнлось в нуль, так что будет; К = [аГ[. Прн этом выбор а неоднозначен: прибавление к нему любого вектора; параллельного Р, не изменит равенства '(34,7), так что условие К'=О даст не определенную точку в подвижной системе координат, а лишь определенную прямую линию. Таким образом, прн К") Г действие всех приложенных к нему сил может быть сведено к одной силе Г, действующей вдоль определенной прямой линии. Таков, в частности, случай однородного силового поля, в котором действующая на материальную точку сила имеет знд т=иЕ, где Š— постоянный вектор, характернзующнй поле, а величина и характеризует свойства частицы по отношению к данному полю ').
В этом случае имеем: Р =Е Яи, К=Ц, 'ег ° Е~. О так, в однородном влектрпческом поле е есть напряженность поля, а е-аврал частицы. В однородном поле тяжести Е есть ускорение силы тя. жести а, а е масса частицы иь вилеговы уГлы 143 Предполагая, что л е~О, введем радиус-вектор гс, определен- ный согласно гс = ~ ег~ Я, е. (34,8) Тогда мы получим следующее простое выражение для полного момента сил: К=(г.р). (34,9) Таким образом, при движении твердого тела в однородном поле влияние поля сводится к действию одной силы Г, «приложенной» в точке с радиус-вектором (34,8).
Положение этой точки всецело определяется свойствами. самого тела; в поле тяжести, например, она совпадает с центром инерции тела, $33. Эйлеровы углы Как уже указывалось, для описания движения твердого тела можно пользоваться тремя координатами его центра инерции и какими-либо тремя углами, определяющими ориентацию осей хь хь хг движущейся системы координат относительно неподвижной системы Х, У, Я. В качестве этих углов часто 7 оказываются удобными так на- (ь зываемые айлеровы углы. Так как нас сейчас интересуют только углы между ося- оз ми координат, мы выберем на- ' „ а чала обеих систем в одной точl ке (рис. 47).
Подвижная пло* скость х1хз пересекает неподвижную ХУ по некоторой пря- х ('у мой (ОУ на рис. 47), которую называ1от линией узлов. Эта У линия, очевидно, перпендикулярна как к оси Я, так и к оси хг, ее положительное направ- Рнс. 47 ление выберем так, чтобы оно соответствовало направлению векторного произведения (ккг) (где а, кг — орты в направлении осей 2 и х~). В качестве величин, определяющих положение осей хь хм хз откосительно осей Х, У, Е, примем следу|ощие углы: угол 8 между осями Я и хм угол щ между осями Х и )У, угол 1ь между осями Л и хь Углы ~р и ~р отсчитываются в направлениях, опре. делаемых правилом винта, соответственно вокруг осей Я и хз.
144 дВижение тВердого твлА [гл. уг Угол 8 пробегает значения от нуля до а, а углы ~р и ф — от нуля до 2л '), Выразим теперь компоненты вектора угловой скорости й по подвижным осям хь хз, х, через эйлеровы углы и их производные. Для этого надо спроектировать на эти оси угловые скорости О, ф, ф. Угловая скорость 0 направлена по линии узлов ОЛг и ее составляющие по осям хь хз, хз равны: 0,=8соз'ф, Оз= — Оюпф, Оз — — О.
Угловая скорость ф направлена вдоль оси Я; ее проекция на ось хз равна фз = ф соз О, а проекция на плоскость х,хз равна ф з!п 8, Разлагая последнюю иа составляющие по осям х~ и хю получим: ф,=фз!НОЕ!пф, фз=фз!НОсозф. Наконец, угловая скорость ф направлена по оси хз Собирая все зти составляющие по каждой нз осей, получим окончательно: а,=фз!НОВ!пф+Осозф, а,=фз!пй..ф — Оз!пф, а =ф 8+Ф Если оси хь хз, х, выбраны по главным осям инерции твердого тела, то вращательную кинетическую энергию, выраженную через эйлеровы углы, мы получим подстановкой (35,1) в (32,8) . Для симметрического волчка, у которого т'1 = Iз Ф!з, найдем после простого приведения: Т,Р = — '(фз з!и'О+ 0) + — '(ф созО+ ф)з. (352) Заметим, что это выражение можно получить и проще, воспользовавшись произвольностью выбора направлений главных осей инерции хг, хз у симметрического волчка.
Считая, что ось х~ совпадает с осью узлов ОМ, т. е, что ф = О, будем иметь для составляющих угловой скорости более простые выражения й~ = О, азз = ф з!и О, ззз — — ф соз О+ тр. (35,3) В качестве простого примера применения эйлеровых углов определим с их помощью известное уже нам свободное движение симметрического волчка. '! Углы 0 н ю — л/2 пренставляют собой соотзетственпо полярный угол н азимут направленая хз по отношению н осям Х, У, 2. В то же время 6 н гц2 — ф являются соответственно полнраым углом н азимутом ааправлення Я по отношению я осям хь хв хв эилнровы углы 148 Задачи 1. Привести к квадратурам задачу о движении тяжелого симметрического волчка с неподвижной нижней точкой (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
