Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Найти кинетическую энергию цилиндра (радиуса )!), катящегося по плоскости. Масса цилиндра распределена по его объему таким образом, что одна из главных осей инерции параллельна оси цилиндра и проходит на расстоянии а от нее;момент инерции относительно этой главной осн есть 1. Р е ш е и и е. Вводим угол ф между вертикалью и перпендикуляром, опущенным нз центра а тяжести иа ось цилиндра (рнс.
40). Движение цилиндра в каждый момент времени можно рас- Ф сматрнвать как чистое вращение вохруг мгновенной оси, совпадающей с линией его соприкосновения с неподвижной плоскостью; угловая скорость этого вращения есть ф (угловая скорость вращения вокруг всех параллельных осей одина- Рнс.
40 коза). Пентр инерции находится на расстоянии ~ГРФт'-тм. 3 ° -. м У = ф Ч/аз+ )1з — 2аВ сов ф. Полная кинетическая энергия Т = — (а' + )1з — 2аЯ соз ф) фа+ — фз. 2 2 Отсюда для частоты колебаний имеем: щз Рй! Р!з + 11 созз о. + 1т соз р + 1з соз 4. Найти кинетическую энергию системы, изображенной на рис. 39; ОА и А — тонкие однородные стержни длиной 1, шарниро скрепленные в точке А. Стержень ОА вращается (в плоскости рисуя.
ка) вокруг точки О, а конец В стержня АВ У скользит вдоль осн Ох. Р е ш е н и е. Скорость центра инерции стержня ОА (находящегося на его середине) есть 1ф!2, где ф — угол АОВ. Поэтому кинетическая энергия стерзкня ОА Р! ° 1 "з т = — ф'+ — ф' 8 2 движйиив твдрдого талл (38 (гл чт 8 Найти кинетическую энергию однородного цилиндра радиуса а, натн. щегося по внутренней стороне цилиндрической поверхности радиуса Й (рнс. 41). Решение. Вводим угол ~р между линией, соединяющей центры обоих цилиндров, и вертикалью. Центр инерции катящегося цилиндра находится на оси в его скорость У =Ф (Я вЂ” н).
Угловую скорость вычисляем, как скорость Рис. 42 Рис. 41 чистого вращения вокруг мгновенной оси, совпадающей с линией соприкосновения цилиндров; она равна У )7 — а И = — ф —. а а Если 1з — момент инерции относительно оси цилиндра, то Т = — ()с — н)' ф'+— Р 1з (Д вЂ” н)з . 3 з 2 2 аз Ф -т Р()7-а) Ф 4 (1з — из задачи 2, в)).
7. Найти нннетическую энергию однородного конуса, натящегося по пло. скости. Рею си не. Обозначим посредством О угол между линией ОА соприкосмнвення конуса с плоскостью и наким-либо неподвижным направлением в этой плоскости (рнс. 42). Центр инерцин находится иа оси пануса н его снорость У а сова 8, где 2а — угол раствора конуса, а а — расстояние центра инерции от вершины. Угловую скорость вращении вычисляем, как скорость чистого вращении вокруг мгновенной оси ОА: У и —. = 8 стй а. аз!па Одна из главных осей инерции (ось к,) совпадает с осью конуса, а другую (ось хт) выбираем перпендинулнрно к оси конуса и линии ОА.
Тогда проекции вектора 4) (направленного параллельно ОА) на главные оси инерции будут (уз(па, б, й сов я. В результате находим дли искомой кинетической энергии: У- — ' ' 8+ — '- 8+ — .' 8 = — 'Ет((+б ~а) ра', 1, ° 1, соз'а Зийз 2 2 2 з!па а 40 (й — высота конуса, 1с 1,, а — из задачи 2, д)). 8. Найти кинетическую энергию однородного конуса, основание которого катится по плоскости, а вершина постоянно находитси в точке над плоскостью на высоте, равной радиусу основания (так что ось конуса параллельна пло.
скости). Решение. Вводим угол 6 между заданным направлением в плоскости и проекцией на нее оси пануса (рис. 43). Тогда скорость центра инерции ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ 137 У = лй (обозначения те же, что в задаче 7). Мгновенной осью вращения является образующая конуса ОА, проведенная в точку его сопрнкосновниия с плоскостью. 11еитр инерции находится на расстоянии и ып а от этой оси н потому 0 й=— пыла зща Проенцин вентора й на главные оси инерции (ось хз выбиваем перпендику. !2! Рнс. 44 Рнс. 43 лярной к осн конуса н линии ОА): йзйпа д, О,йсоза =де!да.
Поэтому кинетическая энергия 7 !' 0'+ — 'дз+ — здзстйза = Рй дз( — +5). (причем ось х,совпадает с АВ). Поснольку центр инерции, совпадающий с центром зллнпсоида, неполвижен, то кинетическая энергия Т вЂ” (П созе а + уз зш !Р) О' + — 1за~.
2 2 Рис. 45 10. То же, если ось АВ наклонена, а эллипсоид симметричен относительно втой оси (рис. 45), Р е ш си не. Проекции й на ось АВ и на перпендикулярные к ней две другие главные оси инерции (которые можно выбрать произвольно): д соз а соз ф, О соз а и!п ф, ф + О ып а. 9. Найти кинетическую энергию однородного трехосного эллипсоида, вра. щэющегося вокруг одной нз своих осей (АВ, рис. 44), причем последняя сама вращается вокруг направления Сй,перпендикулярного к ней н проходящего Ф через центр эллипсоида. В Р е ш е н н е. Угол поворота вокруг оси СО обозначим посредством О, а угол поворота вокруг оси АВ (угол между СВ и осью инерции хь перпендикулярной к АВ) — через йь Тогда проекции й на оси инерции будут: дсоз!р, Оз1па, ф А згл зт ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Кнветнчеееея энергия Т = — соз'а ° йз+ — (ф+ 9 Ме е)з.
У! 2 й 33. Момент импульса твердого тела Величина момента импульса системы зависит, как мы знаем, от выбора точки, относительно которой он определен. В механике твердого тела наиболее рационален выбор в качестве этой точки начала подвижной системы координат, т. е. центра инерции тела. Ниже мы будем понимать под М момент, определенный именно таким образом. Согласно формуле (9,6) при выборе начала координат в центре инерции тела его момент М совпадает с «собственным моментом», связанным лишь с движением точек тела относительно центра инерции, Другими словами, в определении М= Х т (гт] надо заменить ч на Яг]: М = Х гл (г(йг]] = Я т (гззз — г(г2)), или в тензориых обозначениях: М,= 2 т(хай,— хзхзззз) = Йз 2 т(хзбьз — х,хз).
Наконец, учитывая определение (32,2) тензора инерции, полу. чаем окончательно: М, = 1ззззз. (33,1) Если оси хь хз, хз направлены вдоль главных осей инерции тела, то эта формула дает: М~ =14~ Мз=1Фз. Мз= 1Фз. (33,2) В частности, для шарового волчка, когда все три главных момента инерции совпадают, имеем просто: М=Ш, (33,3) т. е. вектор момента пропорционален вектору угловой скорости и имеет одинаковое с ннм направление. В общем же случае произвольного тела вектор М, вообще говоря, не совпадает по своему направлению с вектором зз, и лишь при вращении тела вокруг какой-либо нз его главных осей инерции М и зз имеют одинаковое направление. Рассмотрим.свободное движение твердого тела, ие подверженного действию каких-либо внешних снл. Не представляющее интереса равномерное поступательное движение будем предполагать исключенным, так что речь идет о свободном вращении тела.
момент импульсА тВВРдОГО телА гзе Как и у всякой замкнутой системы, момент импульса свободно вращающегося тела постоянен. Для шарового волчка условие М = сопз( приводит просто к зг = сопзй Это значит, что общим случаем свободного вращения шарового волчка является просто равномерное вращение вокруг постоянной оси. Столь же прост случай ротатора. Здесь тоже М = ззз, причем вектор зг перпендикулярен к оси ротатора. Поэтому свободное вращение ротатора есть равномерное вращение в одной плоскости вокруг направления, перпендикулярного к этой Я плоскости.
! Закон сохранения момента l достаточен и для определения более сложного свободного вращения симметрического волчка. Воспользовавшись произволь. постыл выбора направлений главных осей инерции хь х, (перпендикулярных к оси симметрии волчка хз), выберем ось хз перпендикулярной к плоскости, определяемой постоянным вектором М н мгновенным положением осн l хз. Тогда Мз = О„а из формул (33,2) видно, что и ззз О.
Это значит, что направления М, Й и оси волчка в каждый момент времени лежат в одной плоскости (рис. 46)', Но отсюда в свою очередь следует, что скорости у: (ззг] всех точек на оси волчка в каждый момент времени перпендикулярны к указанной плоскости; другими словами, ось волчка равномерно (см. ниже) вращается вокруг направления М, описывая круговой конус (так называемая регулярная прецессия волчка). Одновременно с прецессией сам волчок равномерно вращается вокруг собственной оси. Угловые скорости обоих этих вращений легко выразить через заданную величину момента М н угол наклона 6 оси волчка к направлению М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
