Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 25
Текст из файла (страница 25)
48). Р е ш е н и е. Совместное начало подвижной н неподвижной систем координат выбираем в неподвижной точке волчка О, а ось Я направляем но вертикали (рис. 48). Функция Лагранжа волчка в поле тяжести /, +р)з 1. =, (О'+ ф' з1птв) + 2 + — (ф+ ф с О)з — ря( В 1з 2 (р — масса волчка, 1 — расстояние от ниж. ней точки до центра инерции). Координаты ф и е — циклические. Позтому жевия: Рис. 48 имеем два интеграла дви д1.
Р—. !. (ф+ ф сов В) =сопя(=..Д(з, В бф дб Р—. (1, з)п О+ 1зсоз В) ф+ 1зф сов В сопят=в Д(ю (2) аф где введено обозначение 1~ — — 1 + р1 (велнчнны р и р представляют собой 2 1 е е составляющие вращательного момента, определенного относительно точки О, соответственно по оснм хз и Я). Кроме того, сохраняется энергия Š— (О + ф 3!и О) + — (ф+ ф сов в)" +ил(созв. (3) Выберем ось Я неподвижной системы координат в направлении постоянного момента волчка М. Ось хз подвижной системы направлена по оси волчка, а ось хг пусть совпадает в данный момент времени с осью узлов. Тогда для компонент вектора М находим с помощью формул (35,3): М, = 1(), = 1В, М, = 1зйз = 1зф юп В, Мз — 1зРз — 1з (ф соэ В+ ф).
С другой стороны, поскольку ось х, (линия узлов) периендикуляриа к оси У, имеем: М,=О, М,=Мв(пВ, М =М О. Приравнивая друг другу эти выражения, получим следующие уравнения: В = О, 1гф= М, 1з(ф сов О+ф) = Мсоэй. (35,4) Первое из этих уравнений дает В =сопя(, т. е. постоянство угла наклона оси волчка к направлению М. Второе определяет (в согласии с (33,5)) угловую скорость прецессии ф = М/1ь Наконец, третье определяет угловую скорость вращения волчка вокруг собственной оси ь)з = - М а11з. 146 движпнии тннпдого тилл !гл. ут Из уравнений (1) и (2) находим! Мз — Мз соз 0 1 з!п'В Мз Мз — Мз соз 0 ф= — — со50 1', з!п'6 (4) Исключив с помощью этих равенств ф и азиз энергии (3), получим: 1', Е'= 2 Вз+ Уэфй (О), где введены обозначения Мэ Е' Š— — — рл1, з 21 (М вЂ” М сов О) (1, (6) =, з — )зи( (! — соз 6).
(6) 21~ 5!п 6 Определяя отсюда 0 и разделяя переменные, получим: и, (Š— (1,66 (0)) 1 (интеграл — эллиптический). После этого углы ф и Ф выражаются как функ. ции от 0 в виде квадратур с помощью уравнений (4), (5). Область изменения угла 0 при движении определяется условием Е'> ~ 11.еэ(0). Функция (1 зэ(В) (при Мз*М,) стремится к +со при значениях 0 = 0 и 0 = и, з в промежутке между ними проходит через миниыум. Поэтому уравнеаяе Е' = У,ее(0) -имеет два корня, определяющих предельные углы Вз и Вз наклона оси волчка к вертикали. При изменении угла 6 от Вз до Вз знак производной ф остается неизменным илн меняется, смотря по тому, остается лн неизменным или меняется Рис. ч9 в этом интервале знак разности М,— Мз соей.
В первом случае ось волчка прецессирует вокруг вертикали монотонно, одновременно совершая колебания (так называемую яугацию) вверх и вниз (рис. 49,а; линия изображает след, который ось волчка чертила бы на поверхности сферы с центром в неподвижной точке волчка). Во втором случае направление прецессии противо. положио на двух граничных окружностях, так что ось волчка перемещаетея ВГ4ЛЕРОВЫ УГЛЫ 147 вокруг вертикали, описывая петлн (рис. 49, 6).
Наконец, если одно из значе. ннй Оь Оз совпадает с нулем, разноств М, - Мзсоз О. на соответстзуюшей предельной окружности ф и О одяовременно обращаются в нуль, так что ось волчка описывает траекторню изображенного иа рва 49,з тияа. 2. Найти условие, при котором врашенне волчка вокруг вертикальной осв булет устойчивым. Решение. При О * О оси х«н 2 совпадают, так что Мз 'Мь Е' О. Врашение вокруг втой осн будет устойчивым, если значение О О отвечает минимуму фуыкции (!,ее(О], Прв малых О имеем! откуда находим условие Мз > 4!!Рй! или 3. Опрелелить движение волчка в случае, когда кинетическая звертив его собственного вращения еелииа па сравнению с энергией в поле тяжести (так назыяаемый «быстрый» волчок). Рею ение.
В первом приближении, если пренебречь полем тяжести, про исходит свободная прецессия осн волчка вокруг направления момента М (отвечающая в даывом случае иутации волчка); оыа происходит согласно (33,3) о угловой скоростью М 4!««ут !', ' (1) В следуюшем приближении появляется медленная прецессия момента М вокруг направления вертикали (рис.
50). )(ля определевин скорости втой прецессиы усредыим точ. нос уравыеыие движения (34Д) «тм — К «4! «уг Оио означает, что вектор М прецессирует вокруг направления й (вертикали) со средней угловой скоростью М! соз а 4звз и й М (2) (малой по сравнеивю с 4)«~ !. по периоду нутации. Момент сил тяжести, действу!оших на волчок, равен К р!(п«21 где п« вЂ” единичный вектор в направлении осн волчка.
Из соображений симметрии очевидно, что результат усреднения К по «конусу ну«анин» сводится к замене веытара п» его проекцией сова М)М яа направление М (сз — угол мехгду М и осью волчка). Таким образом, получим уравыение «!М м! — = — соз а — (КМ). «4! М ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ыв (гл щ В рассматриваемом приближении входящие в формулы (() и (2) величины М и сова постоянны (хотя н не являются, строго говоря, интегралами движения). Они связаны, с той же точностью, со строго сохраняющимися величинами Е и Мз соотношениями М' гсоззгз з(п'а ч Мз Мсоза, омг — ~ + т 13 1! $36. Уравнения Эйлера Написанные в $34 уравнения движения относятся к неподвижной системе координат: производные г(Р/г(1 и г(М/с(1 в уравнениях (34,!) и (34,3) представляют собой изменения векторов Р и М по отношению к этой системе.
Между тем, наи. более простая связь между компонентами вращательного момента М твердого тела и компонентами угловой скорости имеет место в подвижной системе координат с осями, направленными по главным осям инерции. Для того чтобы воспользоваться этой связью, необходимо предварительно преобразовать уравнения движения к подвижным координатам кь хз, хз. Пусть г(А/г(1 — скорость изменения какого-либо вектора А по отношению к неподвижной системе координат. Если по от. ношению к вращающейся системе вектор А не изменяется, то его изменение относительно неподвижной системы обусловлено только вращением, и тогда — = (ззА) (36,1) С помощью этой общей формулы мы можем сразу переписать уравнения (34,1) и (34,3) в виде — + (ЯР) = Р, — „+ (0М) = К.
(36,2) Поскольку дифференцирование по времени производится здесь в подвижной системе координат, то мы можем непосредственно спроецировать уравнения на оси этой системы, написав (см. 5 9, где было указано, что такие формулы, как (9,1), (9,2), справедлевы для любого вектора). В общем случае к правой части этого равенства надо добавить скорость изменения вектора А по отношению к подвижной системе; обозначив эту скорость, как с('А/г(1, получим: о — — — „+ (ьзА).
УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА !49. ГДе инДексы 1, 2, 3 означают компоненты по осЯм х!, хз, хз. Прн этом в первом уравнении заменяем Р на 137 и получаем: Р ( — ! + Йзуз — Йз~'2) = р» Р( Е! +33ЗУ! Азз)З) =Гзз 13 ( и! + ~!з 2 ~2з !) ~3' (36,3) Предполагая осн хз, х,, х, выбранными по главным осям инер- ции, пишем во втором иэ уравнений (36,2) М! = 1ззз! и т. д.
и получаем: 1! и! + (13 12) ~2 3 1(!» ЕО, сиз 12 —,! + (1! — 13)()Ф! =Кз ззаз 1з е! + (12 1!) гзФ2 Кз. (36,4) Уравнения (36,4) называют уравнениями Эйлера. Прн свободном вращении К = О, так что уравнения Эйлера принимают вид: (36,5) В качестве примера применим эти уравнения к уже рассматривавшемуся нами свободному вращению симметрического волчка. Положив 1! = 12, имеем иэ третьего уравнения ззз =О, т.
е. 333 сопз(. После этого первые два уравнения напишем в виде зз! = — Взззз, ззз = езз)з, где введена постоянная величина 1з — 1 ВЗ = 333 1, (36,6) Умножив второе уравнение на 1 и сложив с первым, получим: е! (ззз+ !332) = !аз(Аз!+ !332), д Ы! + 3332 = Ае'"", откуда — + ззп1 Ж дпз — + и! епз — + зз! 1,— 1, 1)Фз=О 1 1, — 1, ззззз! Оз 12 ' 33,33 =О. 1з 1ЗО ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО Т'ЕЛА [ГЛ. УТ где А — постоянная; последнюю можно считать вещественной (это сводится к надлежащему выбору начала отсчета времени), и тогда йз=Асозер1, (2,=Аззпер1.
(36,7) Этот результат показывает, что проекция угловой скорости на плоскость, перпендикулярную к оси волчка, вращается в этой плоскости с угловой скоростью 01, оставаясь постоянной по (уз*,з-з*,=з). 0 р р * ка тоже постоянна, то мы заключаем, что и весь вектор Й рав. номерно вращается с угловой скоростью ьз вокруг оси волчка, оставаясь неизменным по величине, Ввиду связи Мр =1рйз, Мз=1Фз, Мз=1зйз между компонентами векторов й и М такое же движение (по отношению к оси волчка) совершает„ очевидно, и вектор момента М. Полученная картина представляет собой, разумеется, лишь другой аспект того же движения волчка, которое уже было рассмотрено в Я 33 и 35 по отношению к неподвижной системе координат. В частности, угловая скорость вращения вектора йз (ось Е на рис.
48) вокруг направления хз совпадает, в терминах эйлеровых углов, с угловой скоростью — зр. С помощью уравнений (35„4) имеем: М 00зз /1 1х зр= — — фсозО=МсозО ~ — — — ) 1з г,) или 1з — Хр — зр =-(язв в согласии с '(36,6). и 37. Асимметрический волчок Применим уравнения Эйлера к более сложной задаче о свободном вращении асимметрического волчка, у которого все три момента инерции различны. Для определенности будем считать, что (37,1) 10) 1э ~ 11 ° Два интеграла уравнений Эйлера известны заранее. Они даются законами сохранения энергии и момента и выражаются равенствами 1 Из + 1 (3зз + 1 Яз = 2Е, 1'ззз + 1зьг+ РЯ' = М' где энергия Е н абсолютная величина момента М вЂ” заданные постоянные.
Эти же два равенства, выраженные через ХСИММЕТРНЧЕСКИИ ВОЛЧОК $ 371 компоненты вектора 34, имеют вид м' и' — + — + — =2Е 1 2 3 Г1 1з 1з М'; + Мз+ Мз — — М'. (37,3) (37,4) Рис. 51 таких линий пересечения эллипсоида со сферами различных радиусов). Самое наличие пересечения обеспечивается очевидными неравенствами 2Е! < Мз < 2Е7М (37 3) геометрически означающими, что радиус сферы (37,4) лежит между наименьшей и наибольшей из полуосей эллипсоида ,(37,3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
