Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Наконец, подставив эти выражения в (1), получим уравнения движения, содержащие уже только заданные внешние силу и момент: Компоненты ()„И„угловой скорости выражаются через У, н У„с помощью уравнения 2 г(Ях связи (38,3), а для йх имеем уравнение — раз — = Кх (х-компонеита 5 ЕГ уравнения (2)).
2. Ьднородный стержень ВВ весом Р и длиной 1 опирается на стену, как показано на рис. 52; его нижнкй ковец В удерживается нетью АВ, Определить реакцию опор и натяжение нити. Рис. 53 Решение. Вес стержня представляется приложенной к его середине силой Р, направленной вертикально вниз, Силы реакции Вз и Вс направлены соответственно вертикально вверя н перпендикулярно н стержню; натяжение % зв) движения в няиняпцилльнои систгмя отсчятл' (нй ннтв Т направлена от В к А.
Решение ураввеннй равновесия дает; = — з1п 2а, )Т Р вЂ” )Т Мп а, Т )со соз а Р( с 4й ' В с Рнс. 54 и = — Р, 3 А 4 Р и 4ыпа' Т вЂ” Р с(на, ! 4 где а — угол САВ. 9 39. Движение в неинерциальной системе отсчета До сих пор, рассматривая движение лкзбой механической системы, мы всегда относили его к инерциальной системе отсчета. Только в инерциальных системах отсчета функция Лагранжа, например, одной частицы во внешнем поле имеет вид 2 ш"о 1~ = — х — — (л, (39,1) и соответственно уравнение движения атз И/ Ъ (мы будем в этом параграфе отличать индексом О величины„ относящиеся к инерциальной системе отсчета)..
3. Стержень АВ весом Р опнрается своими концами на горнзонтальную н вертнкальную нлоскостн (рнс, 53) н удерживается в этом положении двумя горнзонтальнымн нитями АВ н ВС; нить ВС находятся в одной (вертнкальной) плоскостн со стержнем АВ, Определять реакции опор н натяжения нитей. ),Ра Р еще вне. Натяжения нитей Тл н Тл направлены от А к 0 н от В к С. Реакции Вл н Ил перпендикулярны к соответствующим плоскостям. Решение уравнений равновесия дает: Р й Р, Т вЂ”,с(яа, )( =Т з!ой, в в 2 л в Т =7 4.
л(ва стержня длиной ( соединены сверху шарниром, а снизу скреплены нитью АВ (рнс. 54) . К середине одного нз стержней прилажена сила Р (весом стержней пренебрегаем). Определить силы реакции. Р е ш е н н е. Натяжение нити Т действует в точке А от А к В, а в точке  — от В кА. Реакции Вл в )гз в точках А н В перпенднкулярны к плоскости опоры. Посредством Ис обозначим силу реакцнн в шарнире, действующую на стержень АС; тогда на стержень ВС действует реакция — кс. Условие равенства нулю суммы моментов снл Ив, Т н — Ис, действующих на стержень ВС, прнводнт к результату, что вектор Ис направлен вдоль ВС. Остальные условия равновесия (для каждого нз двух стержней) приводят к зваченням ~гл эт движкниз твзгдого твлх Займемся теперь вопросом о том, как выглядят уравнения движения частицы в неинерциальной системе отсчета.
Отправным пунктом при решении этого вопроса снова является принцип наименьшего действия, применимость которого не ограничена никаким выбором системы отсчета; вместе с ним остаются в силе и уравнения Лагранжа л де дь (39,2) Ж дг дг Однако функция Лагранжа уже не имеет вида (39,!), и для ее нахождения необходимо произвести соответствующее преобразование функции Ер. Это преобразование мы произведем в два приема. Рассмотрим сначала систему отсчета К', которая движется относительно инерциальной системы К„ поступательно со скоростью Ч(1). Скорости ч, н ч' частицы относительно систем К0 и К' связаны друг с другом соотношением го=к + У(Г).
(39,3) Подставив это выражение в (39,1), получим функцию Лагранжа в системе К' 1.' = — + игч'У + — Уз — У. 2 Но Ч'(г) есть заданная функция времени; она может быть представлена как полная производная по г от некоторой другой функции, и потому третий член в написанном выражении может быть опущен. Далее, ч'= пг'/И, где г' — радиус-вектор частицы в системе координат К', поэтому тУ (г) ч'=тЧ вЂ”, — (тЧг ) — шг —. аг' Л,, ЛЧ лг лг лг ' Подставив это в функцию Лагранжа и снова опустив полную производную по времени, получим окончательно: ь'= —,' — в(г) ' — и, где 1У = дУ/Ж вЂ” ускорение поступательного движения системы отсчета К'. Составляя с помощью (39,4) уравнение Лагранжа, получим: т — „= — —, — лЛ~ (г).
ич' дгг лг (39,5) Мы видим, что в смысле своего влияния на уравнения движения частицы ускоренное поступательное движение системы отсчета эквивалентно появлению однородного силового поля, причем действующая в этом поле сила равна произведению Ф ВЯ ДВижение В неинеРциАльнои системе отсчетА 166 массы частицы на ускорение % и направлена в противоположную этому ускорению сторону. Введем теперь еще одну систему отсчета, г(, которая имеет общее с системой г(' начало, но вращается относительно нее с угловой скоростью Аг(г); по отношению же к инерциальной системе Кэ система К совершает как поступательное, так и вращательное движение. Скорость ч' частицы относительно системы К' складывается из ее скорости ч относительно системы К и скорости [Агг] ее вращения вместе с системой К: ч'=ч+ [Йг] (радиус-векторы г и г' частицы в системах К и К' совпадают).
Подставив это выражение в функцию Лагранжа (39,4), получим: + тч [»«г] + е [»«г] — т%г — О. (39,6) Это есть общий вид функции Лагранжа частицы в произвольной неинерциальной системе отсчета. Отметим, что вращение системы отсчета приводит к появлению в функции Лагранжа члена особого вида — линейного по скорости частицы. Для вычисления производных, входящих в уравнение Лагранжа, пишем полный дифференциал й Е = тч йч+ т йч [»«г] + + тч [Я йг] + т [4)г] [4) йг] — т% йг — — йг = д0 = тч йч + т йч [4«г] + т йг [чЫ] + т [ [йг] Щ йг — т% йг — 3 — аг.
дУ Собирая члены, содержащие йч и йг, найдем: — = тч + т [Яг], дь дч — = т [чЩ + т [фг] Й] — т% — —. дЬ дУ дг дг ' Подставив эти выражения в (39,2), получим искомое уравнение движения т Ш дГ т%+ т [ГО]+.2т [Чг«]+ т[ХЗ[ГЩ]. (39 7) Мы видим, что «силы инерции», обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей. Сила т[гьг] связана с неравномерностью вращения, а две другие присутствуют и при равномерном вращении, Сила 2т[чЩ называется силой Кориолиса; в отличие от всех ранее рассматривавшихся (не диссипативных) сил она зависит от скорости частицы. Сила ~гл щ лвижвнин тввтдого твлх и уравнение движения лт — » = — ~+ 2т [»Щ + тл [22 [гИ]]. (39,9) Вычислим также энергию частицы в этом случае. Подставив р = — = т» + т [()г] (39, 10) в Е = р» — Е, получим: Е = —" — — [юг]'+ У.
2 2 (39,11) Обратим внимание на то, что в энергии линейный по скорости член отсутствует. Влияние вращения системы отсчета сводится к добавлению в энергию члена, зависящего только от координат частицы и пропорционального квадрату угловой скорости.
Эта дополнительная потенциальная энергия — — [12г]' назы- 2 вается центробежной. Скорость» частицы относительно равномерно вращающейся системы отсчета связана с ее же скоростью», относительно инерциальной системы Ке посредством »е = »+ [гтг]. (39,!2) Поэтому импульс р (39,10) частицы в системе К совпадает с ее же импульсом ре = т»е в системе Ко.
Вместе с ними совпадают также моменты импульсов Мо = [тра] и М = [гр]. Энергии же частицы в системах К и Ке различны. Подставив» нз (39,12) в (39,11), получим: /иго мео Е = — — т»~ [11г] + У = — + У вЂ” гл [г»~] 22. Первые два члена представляют собой энергию Е, в системе Км Вводя в последний член момент импульса, получим: Е = Еа (39, 13) т [те [г1е]] называется центробежной. Она направлена в плоскости, проходящей через г и й перпендикулярно к оси вращения (т. е.
направлению й), в сторону от оси; по величине центробежная сила равна тр(е', где р — расстояние частицы от оси вращения. Рассмотрим особо случай равномерно вращающейся системы координат, не имеющей поступательного ускорения. Положив в (39,6) и (39,7) хе=сопя(, %=0, получим функцию Лагранжа Е = — '+ тл» Яг]+ — Яг]' — 0 (39,8) $1 ДВИЖЕНИЕ П НЕИНЕРПИАЛЬНОИ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА 167 Этой формулой определяется закон преобразования энергии при переходе к равномерно вращающейся системе координат. Хотя мы вывели его для одной частицы, но очевидно, что вывод может быть непосредственно обобщен на случай любой системы'частиц и приведет к той же формуле (39,!3).
Задачи 1. Найти отклонение свободно падающего тела от вертикали, обусловлен. ное вращеннем Земли. (Угловую скорость вращения считать малой.) Р е ш е н н е. В поле твжестя 1! = — тйг, где й — вектор ускорення снлы тяжести; пренебрегая в уранненнн (39,9) центробежной силой, содержащей квадрат Я, получнум уравнение движения в виде я=2 [ТЩ+ Н. Решаем 'это уравненне последовательными прнблнженнямн. для этого полагаем: т = ч1+ тп где т, — решение уравнення тг = я, т. е, ч, = я!+ тч (т, — начальная скорость).
Подставляя т = т~ + тз в (1) н оставляя справа только то получнм уравненне для тз: т, = 2 [т Щ = 2! [ЕЩ + 2 [тзЩ. Интегрируя, получим: Е!з Гз г в+ то(+ — + — [яи) + !~ [ТОП), 2 3 (2) где А — широта (которую для определепностн предполагаем северной). положнв в (2) че = О, найдем: 13 х О, у= — — ЕИсоз)с. 3 Подставив сюда время паленая ! яя З/2Ь/д, найдем окончательно: 1 Г 2й Чз!т х=о, р — — [ — ) яйсозй 3[,д) '(отркцательные значения у соответствуют отклоневню на восток). 2. Определить отклоненне от плоскости для тела, брошенного с поверхности Земли с начальной скоростью ть Рею е н не. Выбнраем плоскость хх так, чтобы плоскость тч лежала в ней.
Начальная высота Ь = О. Для бокового отклонения получим нз (2) (задача 1): у ЕПх+ ! (Вхпая — ахваз). !3 3 3 нлн, подставив время полета ! яв 2пг,гя: 4оез г'1 ~ — пеа(з — пэ Йя цз " х,г' где и — вектор начального положения частицы. Выберем ось г по вертикали вверх, а ось х — по меридиану к полюсу; тогда Пх=ня О, да= — йп ()х=()СОЗЯ, ()я — — О; ()а=() МПД, [гл чг движение твердого телА 3. Определить влияние, оказываемое вращением Земли на малые колебания маятника (так называемый маятник Фуко). Решение.
Пренебрегая вертикальным смешением маятника как малой величиной второго порядка, можно считать движение тела происходящим в горизонтальной плоскости ху. Опуская члены, содержащие ьээ, напишем уравнения движения в виде х+ е'х ййэу, у + е'у — 2Оэх, для комплексной величины $ = х+ Гу. Прн (г, К е решение этого уравненна имеет вид В е * (А,ег"'+Ага ды) -го г х+ Гу = е э (хе+ Гуо), нли где функции хэ(Г), уо(() дают траекторию маятника без учета вращения Зем- ли Влияние этого вращения сводится, следовательно, к повороту траегуорнн вокруг вертикали с угловой скоростью Ом где е — частота колебаний маятника без учета вращения Земли. Умножив второе уравнение иа Г и сложив с первым, получнм одно уравнение К+ 2ГИЛ+ еэв 0 ГЛАВА тгИ КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ й 40.
Уравнения Гамильтона Это выражение можно написать в виде Н = Х р~г(4~+ Хр~дд~ (40,1) поскольку производные дЬ/дд~ являются, по определению, обобщенными импульсами, а д(,/дд~=Р~ в силу уравнений Лагранжа. Переписав теперь второй член в (40,1) в виде ~ р,да,=п'Д РД,) — ~„д,дро перенеся полный дифференциал д(~ рф,) в левую сторону равенства и изменив все знаки, получим из (40,1): «(ХРЯ~ — 1) = — Е Рь <~4~+ Х Адро Величина, стоящая под знаком дифференциала' представляет собой энергию системы (см. $6); выраженная через Формулирование законов механики с помощью функции Лагранжа (и выводимых из нее уравнений Лагранжа) предполагает описание механического состояния системы путем задания ее обобщенных координат и скоростей.
Такое описание, однако, не является единственно возможным. Ряд преимуществ, в особенности при исследовании различных общих вопросов механики, представляет описание с помощью обобщенных координат и импульсов системы. В связи с этим возникает вопрос о нахождении уравнений движения, отвечающих' такой формулировке механики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
