Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Последнее обстоятельство приводит к тому, что при своем движении волчок никогда не возвращается, строго говоря, в свое первоначальное положение. (57 лсиммнтничискип волчок 4зи Более наглядное представление о характере движения волчиа получается, если проследить непосредственно за изменением направления его трех осей ннерпии (единичные векторы вдоль этих осей обозна»нм посредством пь пз, пз).
Векторы п1 н пз равномерно вращаются в плоскости Ху с частотой ()1, одновременно испытывая малые колебания с частотой ы в поперечном направлении; зги колебания определяются Х-компонентами указанных векторов, для ноторых имеем: М, /1 и =а "т/ (соз(з1, М М1, Мз /11 и сз — а ч/ — — ! Ып ы1.
зх- М Для вектора пз имеем с той же точностью: пзх 0 31п ф пза 0 соз ф пзз ! (полярный угол и азимут направления пз по отношению к осям Х, у, Х рави. иы 8 и ф — —;см. примечание на стр. !44). Далее пишем (используя при 2 ' этом формулы (37,(3)): лж = 8 яп (011 — 1Р) = 0 Ып йь1 соз ф — 0 соз Яз( з(п 1) = м М, = — яп Я 1 — — соз И11 М 0 М а чч/ — — 1 з!и Йз( з!и ю1 — а ч/ — — ! созйз1 сов м1, 11 'Ч 1, '7 1 или онончательио: Аналогичным образом пза- — —, ~~>~/ — — ! + ~' — - ! ) з1п (!)з+ ю) 1+ а/ 11 11 + — ~ — — ! —.3,/ — — !) Мп(аз-и) 1.
2(, Отсюда видно, что движение вектора п, представляет собой наложение двух вращений вокруг оси Х с частотами (йз ~ ю). 2. Определить свободное вращение волчка при М' = 2Е!ь Решение. Этот случай отвечает в построении на рис. 5! перемещению копна вектора М по кривой, проходящей через полюс на осн кз. Уравнение (37„7) принимает вид '(1з — 1 ) (11 — 11) (21 т 1 ()ъ а= ю 1,1, Из' аз — = ! — а', дъ пзз — — — — ! + г~ 1 — — ! ) соз (ьзз + и) 1 + 2» 'ч/ 11 '1/ 1з а / 1, 1з — — — 1 — — — ! ) соз (Яз — ы) 1. 2~ 12 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛК [ГЛ.
ЧГ 138 где введено обоэначение (7» М11г*=2Е!М. Интегрируя вто уравнение, и ватем восполыовавшись формулами (37,6), получим» . /1г(1» — 1») 1 'г/ 1 (1 — 1 ) сй т ° а а 1 1»(1» — 1») 1 (йг 1)а 1г (1 — 1 ) с Для описания абсолютного движения волчка вводим эйлеровы углы, опре. делив 3 как угол между осью Я (направлением М) и осью инерции волчка хг ,'(а не хг, кан в тексте). В формулах (37,14), (37,16), свявываюшнх компоненты вектора (7 с эйлеровыми углами, надо прн атом сделать циклическую перестановку индексов 123-ч-312.
Подставив затем в вти формулы выраже. ння (1), получнмг »р = П»1+ сопа1, 13 ф 1» (12 1») 1, (1.- 1,) соа 8 1(г т Иа полученных формул видно, что вектор гг асимптотически (при 1-» осу приближается к осн лг, которая одновременно аснмптотнчески приближается к неподвижной оси 3. В 38. Соприкосновение твердых тел Условия равновесия твердого тела, как зто видно из уравнений движения (34,1) и (34,3), можно сформулировать в виде равенства нулю действующих на него полной силы и полного момента сил: Г=Я 4=0, К= ~, [гг) =О.
(38,! ) Суммирование производится здесь по всем приложенным к телу внешним силам, а г — радиус-векторы «точек приложения» сил; при этом точка (начало координат), относительно которой определяются моменты, может быть выбрана произвольным обра. зом; при Г=О значение К не зависит от итого выбора (см, (34,5) ).
Если мы имеем дело с системой соприкасающихся друг с другом твердых тел, то в равновесии условия (38,1) должны выполняться для каждого из тел в отдельности. При зтом в число сил должны быть включены также и силы, действующие на данное тело со стороны остальных соприкасающихся с ним тел. Эти силы приложены в точках соприкосновения тел и называются силами реакции. Очевидно, что для каждых двух тел их взаимные силы реакции равны по величине и противоположны по направлению. В общем случае как величины, так и направления реакций определяются в результате совместного решения системы ураз- СОПРИКОСНОВЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ пений равновесия '(38,1) для всех тел. В некоторых случаях„ однако, направления снл реакции задаются уже условиями за.
дачи. Так, если два тела могут свободно скользить по поверхности друг друга, то силы реакции между ними направлены по нормали к поверхности. Если соприкасающиеся тела движутся друг относительно друга, то, кроме сил реакции, появляются также силы дисси. пативного характера — силы трения. Возможны два типа движения соприкасающихся тел— скольткение и качение. При скольжении реакции перпендикулярны к соприкасающимся поверхностям, а силы трения направлены по касательным к ннм.
Чистое качение характеризуется тем, что в точках соприкосновения нет относительного движения тел; другими словами, катящееся тело. в каждый момент времени как бы закреплено в точке соприкосновения. Прн этом направление силы рсакцин произвольно, т. е. не обязательно нормально к соприкасаюшимся поверхностям. Трение же при качении проявляется в виде дополнительного момента снл, препятствующего качению. Если при скольжении трение настолько мало, что им можно вовсе пренебречь, то поверхности тел называются абсолютно гладкими.
Напротив, если свойства поверхности допускают лишь чистое качение тел без скольжения, а трением при качении можно пренебречь, то поверхности называют абсолютно шероховатыми. В обоих случаях силы трения не фигурируют явным образом в задаче о движении тел, н потому задача является чисто механической. Если же конкретные свойства трения существенны для движения, то последнее не является уже чисто механическим процессом (ср.
$25). Соприкосновение тел уменьшает число их степеней свободы по сравнению с тем, которым они обладали бы при свободном движении. До сих пор при рассмотрении такого рода задач мы учитывали это обстоятельство путем введения координат, непосредственно соответствующих реальному числу степеней свободы. При качении тел, однако, такой выбор координат может оказаться невозможным. Условие, накладываемое на движение тел при качении, за.
ключается в равенстве скоростей соприкасающихся точек (так, при качении тела по неподвижной поверхности скорость точки соприкосновения должна быть равна нулю). В общем случае такое условие выражается уравнениями связей вида с Р),=0, (38,2) с где с ~ — функции только координат (индекс а нумерует уран. нения связей). Если левые стороны равенств не являются ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА )ГЛ ЧГ Оио не может быть проинтегрирована: хотя скорость Ч представляет собой полную производную по времени от радиус- вектора центра шара, но зато угловая скорость не является в общем случае полной производной каких-либо координат. Таким образом, связь (38,3) неголономна'). Поскольку уравнения неголономных связей нельзя использовать для уменьшения числа координат, то при наличии таких связей неизбежно приходится пользоваться координатами, которые не все независимы.
Для составления соответствующих уравнений Лагранжа снова вернемся к принципу наименьшего действия. Наличие связей вида (38,2) налагает определенные ограничения на возможные значения вариаций координат. Именно, умножив зти уравнения на бг, мы найдем, что вариации баз не независимы, а связаны соотношениями Е согбен,=О. 3 (38,4) Это обстоятельство должно быть учтено при варьировании действия, Согласно общему методу Лагранжа для нахождения ') Заметим, что такая же связь для качения цилиндра была бы голо. помпой. В этом случае осъ вращения сохраняет прн качении постоянное на. правление в пространстве, и потому Й = ат/Щ ивляется полной производной от угла поворота.
~р цилиндра вокруг своей оси. Соотношение (38,3) прн этом интегрируется и дает связь между координатой центра инерции и уг. лом ~р. полными производными по времени каких-либо функций координат, то зги уравнения не могут быть проинтегрированы. Другиии словами, они не сведутся к соотношениям между одними только координатами, которыми можно было бы воспользоваться для того, чтобы выразить положение тел через меньшее число координат в соответствии с реальным числом степеней свободы. Такие связи называют неголономными (в противоположность голаномным, связывающим лишь координаты си.
стемы). Рассмотрим, например, качение шара по плоской поверхности. Как обычно, обозначим посредством Ч скорость поступательного движения (скорость центра шара), а посредством ьл — угловую скорость вращения его. Скорость точки касания шара с плоскостью получится, если положить г = — ап в общей формуле и= Ч+[ьзг] (а — радиус шапа, и — единичный вектор нормали к плоскости качения в точке соприкосновения). Искомая связь представляет собой условие отсутствия скольжения в точке касания, т. е.
дается уравнением Ч вЂ” а [злп] = О. (38,3) (6( соприкосноввииа твердых твл условных экстремумов, надо к подынтегральному выражению вариации действия 83= ( Я Ьц, Я вЂ” — ", —," ~й[( прибавить умноженные на неопределенные множители (функции координат) Л уравнения (38,4), после чего потребовать обращения интеграла в нуль. При этом можно уже считать все вариации баг независимыми, и мы получим уравнения — — — =р Лсо д дй дЬ ч~ дт д» дд ,Рл а ао (38,5) Вместе с уравнениями связей (38,2) они составляют полную систему уравнений для исизвсстных величин а, и Ла. В изложенном методе силы реакции вообще не фигурируют; соприкосновение тел целиком учитывается уравнениями связей. Существует, однако, и другой метод составления уравнений движения соприкасающихся тел, в котором силы реакции вводятся явным образом.
Сущность этого метода (составляющего содержание так называемого принципа д'Аламбера) состоит в том, что для каждого из соприкасающихся тел пишутся уравнения причем в число действующих на тело сил 1 включаются также и силы реакции; эти силы заранее неизвестны и сами определяются вместе с движением тела в результате решения уравнений. Этот метод в равной степени применим как при голономных, так и при неголономных связях. Задачи ц Пользуясь принципом д'Аламбера, найти уравнения движении однородного шара, катвщсгосв по плоскости под действием приложенных к нему внешней сили Г н момента сил К. Решение. Уравнение связи (38,3) написано уже в тексте. Вводя силу реакции (обозначим ее, как Н), приложенную в точке касания шара с плоскостью, напишем уравнении (38,6): Р— В+К, и"т Ж (1) 1 — К вЂ” а [пй] Ы(3 аг (3) (здесь учтено, что Р = рт' и что длн шарового волчка М = Ы).
Дифферен- цирун уравнение свизи (38,3) по времени, получим: (г а [ян[. ПНИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 162 (гл, чг' Подставив в уравнение (1) и исключая Й с помощью (2), найдем уравнение — (Р+ )1) = (Кп) — па+ (пК), ар свнзывающее силу реанции с Г н К. Расписав это уравнение в компоиентак и подставив 1= — ра (см, задачу 2, б, 3 32), 2 5 будем иметь: 5 2 Вх = — Ку Рх 7а 7 5 2 Ву = 7(х ~у )гх = Та 7 (плоскость х, у выбрана в плоскости качения).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
