Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(42,13) Между скобками Пуассона, составленными из трех функций, существует соотношение (1(ай))+(а(й)))+(л()а))=О: (4,14) Тогда (а(ЧИ+(5 Уа)) =(а(йИ вЂ” (й(Я1)) = =Р,(Р,Е) — Р,(Р,(в=(Р,Р,— Р,Р,) 1. Легко видеть, однако, что такая комбинация линейных дифференциальных операторов не может содержать вторых производных от 1. В самом деле, общий вид линейных дифференциальных оно называется тождеством Якоби.
Для его доказательства заметим следующее. Согласно определению (42,5) скобки Пуассона (1я) являются билинейной однородной функцией производных первого порядка от величин 1 и р. Поэтому, например, скобка (ЙЩ) представляет собой линейную однородную функцию производйых второго порядка от 1 и д. Вся же левая сторона равенства (42,14) в целом есть линейная однородная функция вторых производных от всех трех функций 1, я, й. Соберем вместе члены, содержащие вторые производные от 1. Первая скобка таких членов не содержит — в ней есть только первые производные от ). Сумму же второй и третьей скобок перепишем в символическом виде, введя линейные дифференциальные операторы Р1 и Р, согласно Р,(р)=(яр), Р,(р)=(йр).
СКОБКИ ПУАССОНА Илн (42„16) откуда очевидно доказательство теоремы Пуассона в общем случае. Разумеется, применяя теорему Пуассона, мы не всегда будем получать новые интегралы движения, так как их число вообще ограничено (2з — 1, где з — число степеней свободы). В некоторых случаях мы можем получить тривиальный результат — скобки Пуассона сведутся к постоянной.
В других случаях вновь полученный интеграл может оказаться просто функцией исходных интегралов ) и д. Если же не имеет места ни тот, ни другой случай, то скобки Пуассона дают новый интеграл движения. Задачи !. Определить скобки Пуассона, составленные из декартовых квмнонент кмпульса р н момента импульса йй = [гр) материальной частицы. Решение. С помощью формулы (42,!2) находим: дМх д (Мару) — — (уРг гРу) = — Рг ду ду и аналогичным образом еще две формулы (МхРх) = О (МхРг) Ру.
Остальные скобки получаются отсюда циклической перестановкой индексов х, у, и 2. Определить скобки Пуассона, составленные из компонент И. Р е ш е н и е. Прямое вычисление по формуле (42,5) дает: (МхМу) = — Мг (МуМг) = — Мх (МгМх) = Му. Поскольку импульсы и координаты различных частиц являются не зависимымн друг от друга переменными, то легко видеть, что полученные в задачах ! и 2 формулы справедливы и для полных импульса и момента любой системы частиц. 3.
Показать, что (иМг) =О, где ч — любая скалярная функция координат н импульса частицы. Решение. Скалярная функция может зависеть от компонент векторов г и р только в комбинациях г', р', гр. Поэтому дф ди дф 2г+ — р дг д (гг) д (рг) н аналогично для дф)др. Искомое соотношение проверяется прямым вычислением по формуле (42,5) с учетом указанных правил дифференцирования 4. Показать, что ((Мг) [!и 1.
где ! — векторная функция координат и импульса частицы, а п — единичный вектор в направлении осн г. (гл. Уп КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ гув Решение. Произвольный вектор Цт, р) может быть написан в виде С = тфг+ рфг+ [тр)грг, тпе 1рг, фг, фг — скалярные функции. Искомое соотао1пенне проверяется прямым вычислением с помошью формул (42,9), (42,!!). (42,!2) я формулы, указанной в задаче 3.
й 43. Действие как функция координат При формулировке принципа наименьшего действия мы рассматривали интеграл 5= ~ 1'.Ж, с, (43,! ) взятый по траектории между двумя заданными положениями дн) и с)<г), которые система занимает в заданные моменты времени с, и сг. При варьировании же действия сравнивались значения этого интеграла для близких траекторий с одними и теми же значениями д((с) и с)(сг).
Лишь одна из этих траекторий отвечает действителышму движению — та, для которой интеграл 5 минимален. Рассмотрим теперь понятие действия в другом аспекте. Именно, будем рассматривать 5 как величину, характеризующую движение по истинным траекториям, и сравним значения, которые она имеет для траекторий, имеющих общее начало г)((с)= фсн, но проходящих в момент ся через различные положения. Другими словами, будем рассматривать интеграл действия для истинных траекторий как функцию значений каординат в верхнем пределе интегрирования. Изменение действии при переходе от одной траектории к близкой к ней другой траектории дается (при одной степени свободы) выражением (2,5) 1, д т)1+4(д Ш д ) Из этого соотношения следует, что частные производные от действия по координатам равны соответствующим импульсам — =Р! ° (43,3) — с.
Поскольку траектории действительного движения удовлетворяют уравнениям Лагранжа, то стоящий здесь интеграл обращается в нуль. В первом же члене полагаем иа нижнем пределе бс)((1)=0, а значение бс)((г) обозначим просто, как Ьс). Заменив также дс,/дс) на р, получим окончательно: 35 =рб1) или в общем случае любого числа степеней свободы 35= Х р,бдс.
1 действие кАк Функция кооРпинАт 179 С другой стороны, рассматривая 5 как функцию координат и времени в описанном выше смысле и используя формулу (43,3), имеем: дд дд т' дд дд — = — + ~, — <)< = — + ~„Р<4». Ш д< ~ дд д< Сравнивая оба выражения, находим: дЗ Х Ргу< нли окончательно: дд -д- — — — Н.
(43,6) Формулы (43,3) и (43,6) вместе можно записать в виде выражения и=ХР< 7,— НИ (43,6) < для полного дифференциала действия как функции координат и времени в верхнем пределе интегрирования в (43,1). Предположим теперь, что изменяются координаты (и время) не только конца, но и начала движения. Очевидно, что соответствующее изменение 5 будет даваться разностью выражений (43,6) на обоих концах, т. е, <<5 = Х Р<м <(<у<а — Н<а <г<<м — ~'„ри< <(<)о> -1- Н<п <((н<. (43 7) Это соотношение уже само по себе показывает, что, каково бы нн было внешнее воздействие на систему во время движения, ее конечное состояние не может быть произвольной функцией начального, — возможны только такие движения, прн которых выражение в правой стороне равенства (43,7) является полным дифференциалом. Таким образом, уже самый факт су<цествования принципа наименьшего действия, независимо от.
Аналогичным образом действие можно понимать как явную функцию времени, рассматривая траектории, начинающиеся в заданный момент времени << в заданном положении д«<, но заканчивающиеся в заданном положении <1<в в различные моменты времени <з —— й Понимаемую в этом смысле частную производную д5/<Н можно найти путем' соответствующего варьирования интеграла. Проще, однако, воспользоваться уже известной нам формулой (43,3), поступив следующим образом. По самому определению действия его полная производная по времени вдоль траектории равна: (43,4) 1гл. уп КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ конкретного вида функции Лагранжа, накладывает на совокупность возможных движений определенные ограничения.
В частности, оказывается возможным установить ряд общих закономерностей (не зависящих от вида имеющихся внешних полей) для пучков частиц, разлетающихся из заданных точек пространства. Изучение зтих закономерностей составляет предмет так назьсвземой геометрической оптики '). Интересно отметить, что уравнения Гамильтона могут быть выведены формальным образом из условия минимальности действия, если написать последнее, на основании (43,6), в виде интеграла и = ) (Г н сс, - и нс) А.
с (43,8) и рассматривать координаты и импульсы как независимо варьи- руемые величины. Предполагая снова для краткости, что имеет- ся всего одна координата (и один импульс), пишем вариацию действия ~( р д+~ " д д д ад др Преобразование второго члена (интегрирование по частям) дает: М = ~ Ьр (исд — д с(11+ р бд ~ — ~ Ьд (с)р+ — сс1) .
т, е. мы получаем после деления на сс1 уравнения Гамильтона. $44. Принцип Мопертюи Принципом наименьшего действия движение механической системы определяется полностью: путем решения следующих нз итого принципа уравнений движения можно найти как форму траектории, так и зависимость положения на траектории от времени. Если ограничиться более узким вопросом об определении лишь самой траектории (оставляя в стороне временную часть с1 См. «Теория поля», 7-е изд., гл. Ч11.
На границах интегрирования мы должны положить бд =О, так что проинтегрнрованный член выпадает. Остающееся же выражение может быть равным нулю при произвольных независимых бр и бд лишь при условии обращения в нуль подынтеграль. ных выражений в каждом из двух интегралов: ан дН с(д — Ж, с(р = — — сй, др ' до 5 м1 пвинцнп мопв тюи задачи), то оказывается возможным установить для этой цели упрощенную форму принципа наименьшего действия. Предположим, что функция Лагранжа, а с нею и функция Гамильтона не содержат времени явно, так что энергия системы сохраняется: Н (р, д) = Е = сова(.
(44, 1 Будем теперь сравнивать не все виртуальные движения системы, а лишь те, которые удовлетворяют закону сохранения энергии. Для таких траекторий мы можем заменить Н в (44,1) постоянной Е, что дает (44,2) М+ ЕЫ = О. Написав действие в виде (43,8) и снова заменяя Н на Е, имеем.- Е=~',» Р,Ф~,— Е(у — (о). (44,3) Первый член в этом выражении Ео = ~ ~~' Р~ ~9~ (44,4) иногда называют укороченным действием. Подставив (44,3) в (44,2), найдем: бЕ,=О.
(44,5) Таким образом, укороченное действие имеет минимум по отношению ко всем траекториям, удовлетворяющим закону сохранения энергии и проходящим через конечную точку в произвольный момент времени. Для того чтобы пользоваться таким вариациоиным принципом, необходимо предварительно выразить импульсы, а с ними и все подынтегральное выражение в (44,4) через координаты д и их дифференциалы ад. Для этого надо воспользоваться равенствами (44,6) Согласно принципу наименьшего действия, вариация действия для заданных начальных и конечных значений координат и моментов времени (скажем, Га и г) равна нулю. Если же допускать варьирование конечного момента времени г при фиксированных по-прежнему начальных и конечных координатах, то имеем (ср.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
