Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 33
Текст из файла (страница 33)
е. система консервативна. Зависимость действия от времени сводится при этом к слагаемому — ЕГ: Е = Ео(Ч) — Е! (47,5) (см. $44), и подстановкой в (47,1) мы получаем для укороченного действия Ео(д) уравнение Гамильтона — Якоби в виде Н(7ь ..., ч' д ' "" д ) Е' (47,6) $48.
Разделение переменных В ряде важных случаев нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби может быть достигнуто методом так называемого разделения переменных, сущность кото. рого состоит в следующем, решая которую, найдем координаты д как функции времени и 2з произвольных постоянных. Зависимость импульсов от вре« мени можно найти затем по уравнениям р~ — — д5/ддь Если мы имеем неполный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, зависящий от меньшего чем з числа пронзвольныв постоянных, то хотя с его помощью нельзя найти общий инте* грал уравнений движения, но можно несколько упростить задачу его нахождения. Так, если известна функция 5, содержа.
щая одну произвольную постоянную а, то соотношение дв — — сопз1 да Эм1 РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ Допустим, что какая-либо координата — обозначим ее д1— и соответствующая ей производная д5/дд1 входят в уравнение Гамильтона — Якоби только в виде некоторой комбинации р ~дн — ), не содержащей никаких других координат (или дх х дд1 !' времени) и.производных, т. е. уравнение имеет вид Ф~%, г, д, ~~, ~р(ЧЫ,~ )~=0, (48,1) дд д1 ~! где д~ обозначает совокупность всех координат за исключе нием дь Будем искать в этом случае решение в виде суммы 5=5 (ч„1) + 51(ч1). (48,2) Подставив это выражение в уравнение (48,1), получим: Ф~д,, 6 д, д,, <Р(Ч„~ ')~=0.
(48,3) Предположим, что решение (48,2) найдено. Тогда после подстановки его в уравнение (48,3) последнее должно обратиться в тождество, справедливое, в частности, при любом значении координаты дн Но при изменении д~ может меняться только функция ф; поэтому тождественность равенства (48,3) требует, чтобы и функция ~р сама по себе была постоянной. Таким образом, уравнение (48,3) распадается на два уравнения: ~Р (дн — „) =ан (48,4) бт(»' 1' д ' дФ, а,)=0, дд' дх' (48,6) 88 где а~ — произвольная постоянная. Первое из них есть обыкновенное дифференциальное уравнение, нз которого функция 51(41) может быть определена простым интегрированием. После этого остается дифференциальное уравнение в частных производных (48,6), по уже с меньшим числом независимых переменных.
Если таким способом можно последовательно отделить все з координат и время, то нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби целиком сводится к квадратурам. Для консервативной системы речь фактически идет лишь о разделении з переменных (координат) в уравнении (47,6), и при полном разделении искомый интеграл уравнения имеет вид 5= ~~'„58(48, 'ан ..„а,) — Е(ан ..„а,)1, (48,6) где каждая из функций 58 зависит лишь от одной из коорди. наг, а энергия Е как функция произвольных постоянных аь ... ..., а, получается подстановкой 58 — — ~ 58 в уравнение (47,6). КА!!ОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (гл. уи 194 Частным случаем разделения является случай циклической переменной. Циклическая координата д! вовсе не входит в яаном виде в функцию Гамильтона, а потому и в уравнение Гадх х мильтона — Якоби. Функция ф(д!, — ) сводится при этом проди, ) сто к д5/дд!, и из уравнения (48,4) имеем просто 5! =а!д!, так что 5=5'(д!, ()+аиун (48,7) Постоянная а! есть при этом не что иное, как постоянное значение импульса р! = д5/дд!, отвеча!ощего циклической координате.
Отметим, что отделение времени в виде члена — Е! для консервативной системы тоже соответствует методу разделения переменных для «циклической переменной» й Таким образом, все рассматривавшиеся ранее случаи упрощения интегрирования уравнений движения, основанные на ис. пользовании циклических переменных, охватываются методом разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, К ним добавляется еще ряд случаев, когда разделение переменных возможно, хотя координаты не являются циклическими. Все это приводит к тому, что метод Гамильтона — Якоби является наиболее могущественным методом нахождения об-' щего интеграла уравнений движения.
Для разделения церемеиных в уравнении Гамильтона— Якоби существен удачный выбор координат. Рассмотрим некоторые примеры разделения переменных в различных координатах, которые могут представить физический интерес в связи с задачами о движении материальной точки в различных внешних полях. 1. СФерические координаты. В этих координатах '(г, О, ф) функция Гамильтона и разделение переменных возможно, если (7='(г)+ —,* +-р»!а 9 а (9) с (ф) где а(г), Ь(0); с'(ф) — произвольные функции. Последний член в этом выражении вряд ли может представить физический интерес, и потому мы рассмотрим поле вида (7=а(г)+ —, Ь (Щ В этом случае уравнение Гамильтона — Якоби для функции 5з 9 ( тг ) + (')+ айаг'11<~~') +2 Ь(О))+9 2»!а'О(а~) Е РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫМ Учитывая цикличность координаты (р, ищем решение в виде Я2= р~Е+ З((г)+ 52(0) и для функций Я((г) и 52(О) получаем уравнения ( — "::~ х2 2 аВ ~ +2л2" (0)+ .
О =р Интегрируя их, получим окончательнсс ~ = — дг+ р„(р+ .«1 '~/2 — 2 Ьй — „.„ОШВ(.1 '(/~(2 — ((1 — —,, (. ((82( Произвольными постоянными здесь являются рч, 0, Е; диф. ференцируя по ним и приравнивая результат дифференцирования новым постоянным, найдем общее решение уравнений движения. 2. Параболические координаты. Переход к параболическим координатам 5, ть (р совершается от цилиндрических координат (которые в этом параграфе мы будем обозначать, как р, (р, г) по формулам е=(/ (в-ч), р= дЧ. (48,10) Координаты $ и 21 пробегают значения от нуля до со; поверхности постоянных $ и Ч представляют собой, как легко убедиться, два семейства параболондов вращения (с осью г в качестве оси симметрии).
Связь (48,10) можно представить еще и в другой форме, введя радиус г= 1/Р+рз =(/25+и). (48,1!) Тогда (48,12) Составим функцию Лагранжа материальной точки в координатах $, гь (р. Дифференцируя выражения (48,10) по времени и подставляя в /= —,(р'+р'ф'+г~ — и(р, р, е) ~~функция Лагранжа в цилиндрических координатах), получим: ", (з+„)(ф+Е+ а„ф (/(~ „„) (48,18) ~гл. уй КАНОННЧВСКНВ УРАВНВННЯ Импульсы равны р~-,~ (5+ч)$, р,- —,„6+ч)), р,= 1чф и функция Гамильтона О= — 4 "+-й-~-+У($, ч, ~р).
(48,14) Физически интересные случаи разделения переменных в этих координатах соответствуют потенциальной энергии вида и 'в+""' '2АВ2.'г='~ (4Я 12 22 Имеем уравнение Циклическая координата ~р отделяется в виде рею. Умножив затем уравнение на т(5+Ч) и перегруппировав члены, получим: г Ззо~ + тЬ (Ч) — тЕЧ+ —," =-О. 2ч Положив Ез=рчч+Е 6)+82(Ч) получим два уравнения ГЫЧ Х2 2 И~~'3+ Т вЂ” тЕ~+2 =и, 2Ч( — ! +тЬ(Ч) — тЕ21+ — = — р 2 Р', А, ач ! 2ч я, интегрируя их, найдем окончательно; Е= — Е1+ р ~р+ /гли Р 222 (Ч) Р д$+ ~ 'У вЂ” — — — — — — 'ич 7 2 2Ч 2Ч 4Ч2 (48,16) с произвольными постоянными р, 1), Е. 3.
Эллиптические координаты. Эти координаты $, Ч, ~р вводятся согласно формулам р = и '1(6 — 1) (1 — Ч ) я = ойЧ. (48,17) РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ 1йу Постоянная о является параметром преобразования. Координата й пробегает значения от единицы до о, а координата т) от — 1 до +1. Геометрически более наглядные соотношения получаются, если ввести расстояния га н га до точек Аа и Аа на оси г с коордннатамиг=о и г= — о'): г, =~/(г — о)а+р', г.
=.Йз+ о)'+ р'. Подставив сюда выражения (48,17), получим". г, = о (й — т)), г, = о (й+ т)), 2о ' т) 2о га + г, га — г, (48,18) Преобразуя функцию Лагранжа от цилиндрических координат к эллиптическим, найдем: + 2 (й' — 1)(1 — т)')ф' — УЯ, т), гр). (48,!9) Отсюда для функции Гамильтона получим: а(й — ) ).(~ ') "1+ (' " ) рч+ (»* — 1+1 — аМ+ + У($, т), ср).
(48,20) Физически интересные случаи разделения переменных соот« ветствуют потенциальной энергии 0= " = — ) ( '2 ")+Ь('*2 ')), (4821) где а(й) и Ь(т)) — произвольные функции. Результат разделе« ння переменных в уравнении Гамильтона — Якоби гласит: 8= — Е)+ р ~р (48,22) а) Линии постоянных й представляют собой семейство эллипсоидов аа а Р оа(йг — ц с фокусами в точках А, и Аа, а линии постоянных Ч вЂ” семейство софокусных с ними гиперболоидов оаиа о' (1 — т1') кднгтЙйчйскии уРАниииия 188 1гл.
ччг Задача 1. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби для движения настины в поле 0= — -Ря а г '(наложение нулоновского в однородаого полей); найти специфическую для такого движения сохраняющуюся функцию координат н импульсов. Решение. Данное поле относится к типу (48,15), причем Р з Р а ($) а — — йз, Ь (т!) а + — т!'. 2 2 Г(олный натеграл уравнения Гамильтона — Якоби дается формулой '(48,16) с втимн функциями а($) и Ь(ц). Для ныясиения смысла постоянной 5 пишем уравнения 25ре + та (5) — тЕ5 +— 25 2 2т!р + тЬ (т)) — тЕИ+ — з= — 5. ч 2г) Вычтя одно из зтих уравнений из другого и выразив импульсы рс до/дй и р д8/дг) через импульсы р дд/др и р = д5/дз в цилиндрическнк и р координатах, получим после простого приведения: Га.
ре ( т — т ~ — + — (зр — рр ) + — н ! — — Ррз. Г„г т р з гнре 3 2 Выражение в квадратных скобках представляет собой интеграл движения, спецвфичеснзй для чисто к)шпионского поля (л-компонента вектора (15,17)). 2, То же в поле 0 — +— а, аз г, гг Сгч (кулеиовское ноле двух неподвижных Рис, 55 центров на расстоянии 2а друг от друга). Р еще а н е. Данное лоле относится к типу (48,21), причем (ц а +пей Ь( ) а3 аз и а Действие Ю(5, тй ф, Г) получается подстановкой зтих выражений в (48,22). Смысл постоянной 5 выясняется аналогично тому, как зто было сделано в вадаче 1; оиа выражает собой е данном случае сохранение следующей вели.
чины: () ° а р + -н- — Ме+ 2та (чз~ соз О~ + аз соз О ), ч р р г аде тре (гР) Ррз + Рзд + з 2нррзРр~ рз а Ог а Оз — углы, указанные на рис, 55, учз! 'АДИАБАТИЧВСКИБ ННВАРИАНты 199 5 49. Адиабатические инварианты Рассмотрим механическую систему, совершающую одномерное финитное движение и характеризующуюся некоторым параметром Х, определяющим свойства самой системы или внешнего поля, в котором она находится'). Предположим, что параметр Х под влиянием каких-либо внешних причин медленно (как говорят, адиабатически) меняется со временем. Под медленным подразумевается такое изменение, при котором Х мало меняется за время периода движения системы Т: (49,1) При постоянном Х система была бы замкнутой и совершала бы строго периодическое движение с постоянной энергией Е н вполне определенным периодом Т(Е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
