Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Производная же (50,9) — одно- с энергией ЕЯ. Согласно общим формулам канонического пре. образования (45,8) имеем Н'=Е(11 Х)+ — '=Е(1; Л)+ЛЛ, (50,8) $ ац тОчнОсть сохРАнения АдиАЯАтического инВАРиАнтА дед 1= — (',~) к=0, (51,1) что и требовалось.
Уравнения движения (50,10), (50,11) позволяют рассмотреть и вопрос о точности, с которой сохраняется адиабатический инвариант. Поставим этот вопрос следующим образом: пусть параметр Х(1) стремится при 1-1- — оо и 1--+оо к постоянным пределам Х и Х+, задано начальное (при 1= — оо) значение 1 адиабатического инварианта, и требуется найти его приращение Л1 = 1+ — 1 ко времени 1 = +оо.
Из (50,10) имеем (51,2) Как уже было указано, величина Л вЂ” периодическая (с периодом 2п) функция переменной в; разложим ее в ряд Фурье: О Л= ~ е "Лс (51,3) ;(в силу вещественности Л коэффициенты разложения связаны прн этом соотношениями Л ~=Л)). Отсюда для производной дЛ/дв имеем .х — = ~ 11еп"Л~=2це~ 11еи ЛО (51,4) При достаточно малом Х производная в положительна (ее знак совпадает со знаком а, см.
(50,11) ), т. е. в — монотонная функция времени й При переходе в (51,2) от интегрирования по Ж1 к интегрированию по 0в пределы останутся поэтому прежними: Л1 = — ~ — — — дв. дЛ дь ~~1 дв Ж ~йо (5 1,5) Подставим сюда (51,4) и преобразуем интеграл, рассматривая в нем формальным образом в как комплексную значная функция, так как дифференцирование производится пРи постоанном 1 и пРнбавлЯюшиесЯ к до пРиРаЩениЯ пРи этом исчезают. Как и всякая однозначная функция, функция Л, будучи выражена через угловую переменную в, будет периодической функцией этой переменной.
Среднее же (по периоду) значение производной дЛ)дв от периодической функции обращается в нуль. Поэтому, усредняя уравнение (50,10) и вынося при этом А (при медленном изменении Х) из-под знака среднего, получим КАНОНИЧЕСКИЕ ХРАВНИНИЯ (гл. узг переменную. Предположив, что подынтегральное выражение не имеет особых точек при вещественных значениях зп, сместим путь интегрирования с вещественной оси го в верхнюю полу- плоскость этой переменной. При этом контур «зацепляется» за особые точки подынтегрального выражения и, огибая их, принимает вид, показанный схематически на рис.
56. Пусть агав ближайшая к вещественной оси особая точка, т. е. точка с нан. меньшей по величине (положнтельной) мнимой частью, Главный вклад в интеграл (51,5) возникает от окрестности этой точки, причем каждый из членов ряда (51,4) дает вклад, содержа- О щий множитель ехр( — 11гпюо). Сою храняя опять-таки лишь член с наименьшим по абсолютной величине отрицательным показателем (т. е. член с 1 = 1), найдем, что ') гас М оо ехр ( — 1п! гос) (51 6) Пусть (о в «момент времени» Рис, бб (комплексное число!)', отвечающий особой точке шс.' ш((з) = шс. По порядку величины ((а~ совпадает, вообще говоря, с характерным временем изменения параметров системы; обозначим это время через т ').
Порядок же величины показателя степени в (51,6)' будет 1 та с ~~ — к/Т. (51,7) Поскольку, по предположению, т )) Т, то этот показатель не. лик, Таким образом, разность !+ — 1 убывает экспоненциально при уменьшении скорости изменения параметров системы'). Для определения жо в первом приближении по Т/и (т. е. с сохранением лишь члена (Т/и)-' в показателе) можно отбросить в уравнении (50,11) малый член, содержащий Хз т, е, писать — =ш(Т, Х(0), (51,8) ~) В специальных случаях может оказаться, что разложение (51,4) не содержит члена с ! = 1 (см., например, задачу ! к этому параграфу); ва всех случаях нада брать член с наименьшим нмеюшимся в ряду значением ь з) Если медленность изменения параметра Х выражается з том, что он зависит от ! лишь в виде отношения з = Ет с большим т, то Гз = тйь где $з — не зависяшая от т особая точка функции Х($).
') Отметим, что если начальное и конечное значения функции А(г) совпадают (Х+ = Х ), то экспоненциально малой будет не только разность ай но вместе с иею также и разность ЛЕ=Е+ — Е конечкой н начальной энергии; согласно 149,9) будем иметь йЕ = вйй причем аргумент ( функции в ((, Х) полагается постоянным, скажем, равным ( . Тогда г, тно = ~ в (/о )о (()) с(( (51,9) (в качестве нижнего предела можно взять любое вещественное значение П интеРесУющаЯ нас мнимаЯ часть во от этого значения не зависит) '). Интеграл же (51,5)' с тй из (51,8) '(и с одним членом ряда '(51,4) в качестве дЛ/дш) принимает вид гм Х г(в А( оо Ке ~ (е ( ) .
(51,10) Отсюда видно, что в качестве конкурирующих '(при отборе ближайшей к вещественной осн) особых точек фигурируют особенности (полюсы, точки ветвления) функций Х(1)' и 1/ю((). Напомним в этой связи, что заключение об зкспоненциальиой малости Л( связано с предположением, что указанные функции не имеют вещественных особых точек. Задачи 1. Оценить А( для гармонического оспиллятора с частотой, медленно меняющейся по закону вз 2 1 „1 аеог 1 + еог от значения в в ори ! — оо дом+ ч/ав при ! со(а>0, н<м )з).
Р е ш ение. Пойимая под параметром )о саму частоту в, имеем )о а а 1 ) Эта функция имеет полюсы при е = — 1 и е — а. Вычислив интег-ог -аг рал ~ в ай найдем, что наименьшее аначеиие 1шво происходит от одного из полюсов и!о — 1и( — а) и равно воя!а при а > 1, 1ш во вон 1/а/а при а С 1, Для гармонического осциллятора йсо з!п 2в (см.
задачу к $50), так что ряд ,;(51,3) сводится к двум членам (с 1 Ай). Поэтому для гармонического осциллятора А( р ( — й(ш,). ~) Более подробное доказательство сделанных утверждений, а также вы. числение предэкспоненцнального множителя в формуле (51,6), можно найти в статье: Слуцкин А, А((ЖЗТФ. — 1965.— Т. 45. — С, 978, ') Гармоничность осциллятора проявляется в независимости частоты ко. лебанвй ог энергии, й н) точность' сохранвния адилватичнского ииплрианта юу КАНОНИЧЕСКНП УРАВНЕНИЯ !Гл. уи агŠ— аГ, а Г.. 2иа — — ахз — —, ~ хз Ж = — — ~> х р)х = — — ! (Е), р(! Т~ — Т3' тТ о где !(Е) — адиабатический инвариант, т — масса частицы.
Выражая период колебаний Т через 1 согласно (49,8), находим г!1 г!Е а — — — 1. с!Е р(! ш Интегрируя, получаем ! (Е) = ! (Ер) ехр ( — — !). Формула (1) определяет в неявном виде аависнмость Е(!). для гармониче. ского осцнллятора (1) переходит в (25,5). Решение справедливо при уело а вин — Т ч. 1. $52. Условно-периодическое движение Рассмотрим замкнутую систему со многими степенями свободы, совершающую финитное (по всем координатам) движение. Предположим при атом, что задача допускает полное разделение переменных в методе Гамильтона — Якоби.
Это значит, что при соответствующем выборе координат укороченное действие представляет собой сумму 5о = Х 5! И!) (52, 1) р функций, каждая из которых зависит только от одной из координат. Поскольку обобщенные импульсы азр ргх! Р! дд! ь!! ' то каждая из функций 5; может быть представлена в виде 5! = ~ Р! "г)! ° (52,2) Эти функции неоднозначны.
В силу финитностн движения каждая из координат может пробегать значения лишь в определенном конечном интервале. При изменении д! в этом интервале «вперед» и «назад» действие получает. приращение ЬЗз — — 65! — — 2п!г, (52,3) 2. Частица совершает колебания в потенциальной яме. Определить закон изменения ее энергии под действием силы трения ),р — — — ах с малым но. эффицнентом а (х — денартова координата).
Решение. Усредним уравнение (25,13) по периоду колебаний, ирене брегая в первом приближении их затуханием. Имеем УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИИ где 1~ есть интеграл 1 с зп гз'р' (52,4) взятый по указанному изменению и; '). Произведем теперь каноническое преобразование аналогич. но тому, как это было сделано в $50 для случая одной степени свободы. Новыми переменными будут «переменные действия» 1; и «угловые переменные» дз,(п, 1) . М,(дм 1) Х'.
д) (52,5) где производящей функцией снова является действие, выраженное через координаты и величины 1п уравнения движения в этих переменных ,) дЕ (1) ды дают: (52,6) (52 У) 1, = сопи(, гп~ = дг 1+ сонат. дЕ (1) Мы найдем также аналогично (50,7)', что полному 'изменению координаты д~ («вперед» и «назад») отвечает изменение соответствующего пч на 2ги (52,8) Другими словами, величины го;(д, 1] являются неоднозначными функциями координат, которые при изменении последних с возвращением к первоначальным значениям могут изменяться на любое целое кратное от 2п.
Это свойство можно сформулировать также и как свойство функции ю;(р, д) (выраженной через координаты и импульсы) в фазовом пространстве системы. Поскольку сами величины 1ь если их выразить через р и и, являются однозначными функциями этих переменных, то, под. ставив 1,(р,д) в пч(д,1), мы получим функцию вДр, Я, которая при обходе по любой замкнутой кривой в фазовом пространстве может измениться на целое кратное от 2п (либо на нуль), ') Подчеркнем, одяако, что здесь идет речь о формальном изменении координаты д, во всем допустимом интервале ее значений, а не об изменении ва период реального движения (как зто было в случае одномерного движе.
ния). Реальное финитное движение системы с несколькими степенями свободы ве только ие является в общем случае периодическим в делом, но даже нз. менение со временем каждой нз ее координат з отдельности не является периодическим (см. ниже). КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЙ )гл. уи Отсюда следует, что всякая однозначная функция состояния системы Р(р, о) '), будучи выражена через канонические переменные, является периодической-функцией угловых переменных с периодом 2п по каждой из них. Ее можно поэтому разложить в кратный ряд Фурье вида «« Р= К . ° ° К Аг с ... г е'(" '+"'+""') з -оэ ! -«г 1 з (1И 1я, ..., 1.— целые числа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
