Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 34
Текст из файла (страница 34)
При переменном пара. метре Х система не является замкнутой и ее энергия не сохраняется. Но в силу предположенной медленности изменения Л скорость Е изменения энергии будет тоже малой. Если усреднить эту скорость по периоду Т и тем самым сгладить «быстрые» колебания в ее величине, то получающееся таким образом значение Е определит скорость систематического медленного изменения энергии системы; об этой скорости можно утверждать, что она будет пропорциональна скорости Л изме« пения параметра Л. Это значит, другими словами, что понимаемая в указанном смысле медленно меняющаяся величина Е будет вести себя как некоторая функция от Х. Зависимость Е от Х можно представить в виде постоянства некоторой комбинации из Е н Х. Такую величину, остающуюся постоянной при движении системы с медленно меняющимися параметрами, называют адиабатическим инвариантолс.
Пусть Е(а, р; Х) — гамильтонова функция системы, зависящая от параметра Х. Согласно (40,5) скорость изменения энергии системы в'о дН дН Н. (49,2) пг дг дх дС Выражение в правой стороне этой формулы зависит не только от медленно меняющейся переменной Х, но и от быстро меняющихся переменных д и р. Для выделения интересующего нас систематического хода изменения энергии надо, согласно сказанному выше, усреднить равенство (49,2) по периоду движения. При этом ввиду медленности изменения Х (а с ним и Х) г) Для краткости записи формул мы предполагаем, что имеется всего олям такой пзрзмстр, по все результаты остаются в силе я прв любом числе пзраметров, КАНОНИЧЕСКИЕ УРАННЕНИЯ !Гл. уп можно вынести Л за знак усреднения: дн дх дН д! дг дЛ ' (49,3) а в усредняемой функции дН/дЛ рассматривать как изменяющиеся величины лишь д и р, но не Л.
Другими словами, усреднение производится по такому движению системы, какое имело бы место при заданном постоянном значении Л. Запишем усреднение в явном виде как т дн 1 Г дН вЂ” — — с(!. дЛ Т,) дЛ о Согласно уравнению Гамильтона д дН/др имеем до "' = анир ' о (49,4) знаком $ здесь обозначается интегрирование по полному изменению координаты («вперед» и «назадв) за время периода '), Таким образом, формула (49,3) принимает вид дн/дЛ (49,5) Как уже было указано, интегрирования в этой формуле должны производиться по траектории движения при данном постоянном значении Л. Вдоль такой траектории функция Гамильтона сохраняет постоянное значение Е, а импульс является определенной функцией переменной координаты гу и двух постоянных независимых параметров Е и Л.
Понимая импульс именно как такую функцию р(49 Е, Л) и дифференцируя равенство Н(р, д; Л) = Е по параметру Л, получим„ ан ан ар дн!дЛ др — + — — =0 или дЛ др дЛ аН(др = дх ') Если движение системы представляет собой вращение, а координатой Ч является некоторый угол поворота е, то интегрирование по до должно производиться по «йолному обороту», т. е. от нуля до 2н. С помощью этого равенства заменяем интегрирование по времени на интегрирование по координате, причем и период Т, записываем в виде г АДИАБАТИЧЕСКИН ИНВАРИАНТЫ 2В1 Подставив это в верхний интеграл в (49,5) и написав в нижнем подынтегральную функцию в виде др/дЕ, имеем: с др дЕ дЛ Х дЛ с / др дЕ др дЛ 1 — — — или <у ~ — — + — — )Ец=0. аг дг г. др ЪЛде ш дл дг! ~у — дд $ дЕ Это равенство можно окончательно переписать в виде дà — =0 дг (49,6) где l обозначает интеграл 7= —,1„$РЕ7, (49,7) (49,8) или иначег дŠ— = ГВ д( (49,9) где в = 2ИТ вЂ” частота колебаний системы.
Интегралу (49,7) может быть приписан наглядный геометрический смысл, если воспользоваться понятием о фазовой траектории системы. В данном случае (одна степень свободы) фазовое пространство сводится к двумерной системе координат р, д, и фазовая траектория системы, совершающей периодическое движение, представляет собой замкнутую кривую в этой плоскости, Интеграл (49,7), взятый вдоль этой кривой, представляет собой заключенную внутри нее площадь.
Он может быть написан и как двумерный интеграл по площади: (49,10) В качестве примера определим адиабатический инвариант для одномерного осциллятора. Его функция Гамильтона р 3иич О= — + —, 2)В 2 (49, 11) взятый по траектории движения при заданных Е и Л. Этот результат показывает, что величина 7 остается в рассматриваемом приближении постоянной при изменении параметра Л, т. е. является адиабатнческим инварнантом, Величина 7 является функцией энергии системы (н параметра Л). Ее частная производная по энергии определяет период движения: согласно (49,4) имеем 2я — = (у — Ид =Т дг с др дЕ З' дЕ к»ноничзскив уРАвнвния )гл, т где в — собственная частота осцнллятора.
Уравнение фазовой траектории дается законом сохранения энергии Н(р, о) =Е. Это есть эллипс с полуосями Л12глЕ и ~2Е!та' н его площадь (деленная на 2п) 1= Е(а, (49,12) Адиабатическая ннварнантность этой величины означает, что при медленном изменении параметров осциллятора его энергия меняется пропорционально частоте. .и бО. Канонические переменные 5~(о, Е; Л) = ~ р(д, Е; Л) йо, (50,1) взятый при заданном значении энергии Е (и параметра Л).
Но для замкнутой системы 1 является функцией одной только энергии; поэтому 5» можно с тем же правом выразить в виде функции 5«(д, 1; Л), а частная производная (д5»/дд) е = р совпадает с производной (д5»/дд)г при постоянном !. Поэтому имеем дно(е й Л) де (50,2) что соответствует первой из формул канонического преобразования (45,8). Вторая же формула определит новую «координату», которую обозначим через ап дз«(е, 0 Л) (50,3) д) Переменные 1 и ю называют каноническими переменными, причем 1 называется в этой связи переменной действия, а ю —: угловой переменной. Поскольку производящая функция 5»(о„1; Л)' не зависит явно от времени, то новая функция Гамильтона Н' совпадает со старой Н, выраженной через новые переменные.
Другими словами, Н' есть энергия, выраженная в функции переменной Пусть теперь параметр Л постоянен, так что рассматриваемая система замкнута. Произведем каноническое преобразование переменных д,,р, выбрав величину 1 в качестве нового «импульса». Роль производящей функции должно при этом играть «укороченное действие» 5м выраженное в функции от д и 1, Действительно, 5« определяется как интеграл КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 203 действия, Е(1).
Соответственно уравнения Гамильтона для кинетических переменных имеют вид 1 =0 тй= —. зЕ (!) Н Из первого имеем, как и следонало, !=сонат — вместе с энергией постоянна и величина 1. Из второго же видим, что угловая переменная является линейной функцией времени: то= — „! !+сонат=е(1) !+сонат; ол (50,5) она представляет собой фазу колебаний. Действие Зо(д, 1) — неоднозначная функция координат, По истечении каждого периода эта функция не возвращается к исходному значению, а получает приращение баю = 2П1, (50,6) как это очевидно из (50,1) и определения 1 согласно (49,7), За это же время угловая переменная получает приращение Ью = Ь вЂ” = — Ь5 = 2п. аз, а д! дЕ О (50,7) Обратно, если мы выразим д и р '(или любую их однозначную функцию г,(д„р)) через канонические переменные, то эти функции не будут менять свои значения при изменении и иа 2п (при заданном значении !).
Другими словами, всякая однозначная функция )с(д, р), будучи выражена через канонические переменные, является периодической функцией то с периодом, равным 2Н. Уравнения движения могут быть сформулированы в кано ническнх переменных также и для незамкнутой системы с зависящим от времени параметром А,. Преобразование к этим пе. ременным осуществляется по-прежнему формулами (50„2)- (50,8) с производящей функцией Яо, определяемой интегралом (50,1) и выраженной через переменную 1, Определяемую интегралом (49,7). Неопределенный интеграл (50,1) и определенный интеграл (49,7) вычисляются при этом так, как если бы параметр Х(!) имел заданное постоянное значение; другими словами, Яо(д, 1; а(1)) — прежняя функция, вычисленная при постоянном Х, замененном затем заданной функцией Х(!) ').
Поскольку производящая функция оказывается теперь (вместе с параметром А) явной функцией времени, то новая функ. ция Гамильтона 0' уже не будет совпадать со старой, т, е, ') Подчеркнем, однако, что онределеннаи таким образом фуикинн 8а уже отнюдь ие совпадает с истинным укороченным действием дла системы с за. йиснвтей от времени гамнльтоновой функцией! 204 КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ (гл.
Узт где введено обозначение (дЛ) г' (50,9) причем Л должна быть выражена (после осуществления диф ференцнрования по Х) с помощью (50,3) через 1 и гн. Уравнения Гамильтона принимают теперь вид (50,11) где ш =(дЕ/д1)а — частота колебаний (снова вычисленная так, как если бы Х было постоянным), Задача Написать уравнения движения в канонических переменных для гармони чаского осциллятора (функция Гамильтона (40,1!)) с частотой, зависящей от времени.
Решение. Поскольку в (50,1) — (50,3) все действия совершаются при постоянном Л (роль которого играет в данном случае сама частота ю), то связь д и р с ю имеет тот же вид, что и при постоянной частоте (когда ю= юг): / 2Е , / 21 д= Ч/ —, з1п м=,т/ — з(п ю, р т/2йот сов ю. им' гам Отсюда Зо= ~ рг(ц= ~ р( — / Ею=21 ~ соззю дю г дд дю ~де и затем Уравнения (50,10), (50,11) принимают теперь впд Й Й 1 = — 1 — соз 2ю, ю = ю+ — з(п 2ю, е ' 2ю й 61. Точность сохранения адиабатического ннварианта Уравнение движения в форме '(50,10) позволяет снова убедиться в адиабатической инвариантности переменной действия, Функция Ее(д, 1; Л) — неоднозначная функция д; при возвращении координаты к первоначальному значению к 5с прибавляется целое кратное от 2и1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
