Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Рассмотрим теперь чисто формальным образом величину я как гамильтонову функцию некоторой фиктивной системы. Тогда согласно формуле (42,1) ЩР, ч = — 4/й. Но производная Й(/й есть величина, которая может зависеть лишь от свойств движения (нашей фиктивной системы) как такового, а не от того или иного выбора переменных. Поэтому и скобка Пуассона ((д) не может измениться при переходе от одних канонических переменных к другим.
Из формул (42,13) и теоремы (45,9) получим: ЯДА)Р, е = О, (РУРА)Р, е = О, (РДА), е = б|А (45,10) Это — записанные с помощью скобок Пуассона условия, которым должны удовлетворять новые переменные, для того чтобы преобразование р, д — 1-Р, (С было каноническим. Интересно отметить, что изменение величин Р, д при самом движении можно рассматривать как канонические преобразования, Смысл этого утверждения состоит в следующем.
Пусть дь Р, — значениЯ канонических пеРеменных в момент вРеменн 1, а д~+~, р~+,— их значения в другой момент 1+ Я. Последние являются некоторыми функциями от первых (и от величины интервала т как от параметра): Чю+~=Ч(ЧЬ Рь г. т)1 Рс+т=РЫН Рь гю т). Вели рассматривать эти формулы как преобразование от переменных до Ру к переменным ас+„р~.ь,', то это преобразование !Вз КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ !гл.
ун будет каноническим. Это очевидно из выражения 4(~ = Х (РюэР г(!1!+~ — Р! М) Мв-~- — О!) иг для дифференциала действия 5(дг+н д!,1), взятого вдоль истин. ной траектории, проходя!цей через точки д! и д!+, в моменты времени 1 и 1+ т при заданном т (ср. (43,7)). Сравнение этой формулы с (45,6) показывает, что — 5 есть производящая функция преобразовании.
й 46. Теорема Лиувилля Для геометрической интерпретации механических явлений часто пользуются понятием о так называемом фазовом пространстве как о пространстве 2з измерений, иа координатных осях которого откладываются значения з обобщенных координат и з импульсов данной механической системы. Кагкдая точка этого пространства отвечает определенному состоянию системы, При движении системы изображающая ее фазовая точка описывает в фазовом пространстве соответствующую линию, называему!о фазовой траекторией. Произведение дифференциалов (Г = (д, ...
Ь|, (Р, ... (Р, можно рассматривать как «элемент объема» фазового пространства. Рассмотрим теперь интеграл ~ г!Г, взятый по некоторой области фазового пространства и изобража!ощий собой ее объем. Покажем, что эта величина обладает свойством инвариантности по отношению к каноническим преобразованиям: если произвести каноническое преобразование от переменнын Р, д к переменным Р, (), то объемы соответствующих друг другу областей пространств р, д и Р, Я одинаковы: ~ ...
) Щ ... Щ!(р! ... Фр,= ~ ... !)!1Я! ... Щ,г)Р! ... !1Р„ (46,1) Как известно, преобразование переменных в кратном интеграле производится по формуле ~ !Ж1 ° ° ° Яз Р! ° ° 8 — ~ ° ° ° ~ Т~ич! ° ° ФАР! . г(Р5 где 1) д(!), ч, Р,.", РЛ (46,2) а !Чь ..., д„р,„..., рД есть так называемый якобиан преобразования. Поэтому доказательство теоремы (46,1) сводится к доказательству того, что 189 ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ нкобиан всякого канонического преобразования равен единице: 0=1. (46,3) Воспользуемся известным свойством якоби апов, которое позволяет обращаться с ними в определенном смысле, как с дробями, «Разделив числитель и знаменатель» якобиана на д(дь ..., г(о Рь ..., Р,), получим: д(1,1» °" ()» Р1 Рв)/ д(Ш °" Ч».
Р1 ° °" Р») д(д„..., 4„Р„..., РД д(д„..., «„Р„..., Р,) ' Согласно другому известному правилу якобиан, у которого в «числителе» и «зиаменателе» фигурируют одинаковые величины, сводится к якобиану от меньшего числа переменных, причем при всех дифференцированиях в нем выпавшие одинаковые величины должны считаться постоянными.
Поэтому а( „...,д,) ( у) а(р,,...,рд1 (464) л~ "" 1 Рассмотрим якобиан, стоящий в числителе этого выражения. Согласно определению это есть определитель ранга з, составленный из элементов д©/дд» (элемент на пересечении 1-й строки и й-го столбца). Представив каноническое преобразование с помощью производящей функции Ф(д, Р) в форме (45,8), получим: дну д~Ф дя ддь др ~ пГ = сопз(.
(46,5) Это утверждение (так называемая теорема Лиувилля) непосредственно следует из инвариантности фазового объема при канонических преобразованиях и из того, что самое иаменеийв р и д при движении можно рассматривать '(как было указано в конце предыдущего параграфа) как каноническое преобра. зование, Таким же образом найдем, что 1, й-й элемент определителя и д'Ф знаменателе выражения (46,4) равен д др .
Это значит, что дч дР оба определителя отличаются только за»)~евой строк на столбцы и обратно. Поэтому они равны друц другу, так что отношение (46,4) равно единице, что и требовалось доказать. Представим себе теперь, что каждая 'точка данного участка фазового пространства перемещается сО временем согласно уравнениям движения рассматриваемой механической системы. Тем самым будет перемещаться и весь участок.
При этом его объем остается неизменным: КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ИГЛ. Рм Совершенно аналогичным образом можно доказать инва. риантность интегралов Й~, урн ~~~~ ~х' )д, 7р,7д,ар„ В 47. Уравнение Гамильтона — Якоби В ф 43 было введено понятие о действии как функции координат н времени. Было показано, что частная производная по времени от этой функции о (д, 1) связана с функцией Гамильтона соотношением ~у+ Н(д р Г) =0 дд а ее частные производные по координатам совпадают с им. пульсами. Заменив в соответствии с этим импульсы р в функции Гамильтона производными дЗ/дд, мы получим уравнение — + Н (дн ..., д; д, ..., д ', ~) = О, дд дд дд которому должна удовлетворять функция о(д,1). Это уравнение в частных производных первого порядка; оно называется уравнением Гамильтона †Яко. Наряду с уравнениями Лагранжа и каноническими уравнениями уравнение Гамильтона — Якоби также является основой некоторого общего метода интегрирования уравнений движения.
Переходя к изложению этого метода, напомним предварительно, что всякое дифференциальное уравнение в частныв производных первого порядка имеет решение, зависящее от произвольной функции; такое решение называют общим интегралом уравнения. В механических применениях, однако, основную роль играет не общий интеграл уравнения Гамильтона Якоби, а так называемый полный интеграл; так называется решение дифференциального уравнения в частных производ. ных, содержащее столько независимых произвольных постоянных, сколько имеется независимых переменных, В уравнении Гамильтона — Якоби независимыми перемен.
ными являются время и координаты. Поэтому для системы с (47,1) в которых интегрирование производится по заданным двух-„ четырех- и т. д. -мерным многообразиям в фазовом простран- стве. уннвиеиив гдмильтонл = якОБи 19! Н =Н+— д( дг ') Хотя общий интеграл урзвнепня Гамильтона — Якоби нвм не понздобится, но укажем, что он может быть найден, если известен полный нитегрнл. )(ля этого будем считать величину А произвольной функцией остальных постоянных: З=((С, дь ..., д,; аь ..., аг)+ Л(аь ..., а,). Заменив здесь величины ас функциями координат н времени, которые нзходим из з условий дд — о, дас получим общий интеграл, ззвисящий от вида произвольной функции А(аь ..., а.).
Действительно, для полученной таким способом функции 5 имеем: в Но величины (дЗ/ддс)о удовлетворяют уравнению Гамильтона — Якоби, поскольку функция З(С, чч а) есть по предположению полный интеграл этого уравнения, Поэтому удовлетворяют ему и производные дд(дос. 'н степенями свободы полный интеграл этого уравнения долнген содержать н + 1 произвольных постоянных. При этом, поскольку функция 5 входит в уравнение только через свои производные, то одна из произвольных постоянных содержится в полном интеграле аддитивным образом, т. е. полный интеграл уравнения Гамильтона в Якоби имеет вид 5=7((, су„..., с),; а„..., а,)+ А, (47,2) где ось °, а, и А — произвольные постоянные'). Выясним теперь связь между полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби и интересующим нас решением уравнений движения, Для этого произведем каноническое преобразование от величин с), р к новым переменным, причем функцию 1(г, ст, а) выберем в качестве производящей функции, а величины ас, аю ..., а, — в качестве новых импульсов, Новые координаты обозначим посредством рс, ()э, ..., 8,.
Так как производящая функция зависит от старых координат и новых импульсов, мы должны пользоваться формулами (45,8): дг дг дс) ' ~С да Но поскольку функция ( удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби, то мы видим, что новая функция Гамильтона обращаетси тождестненно в нуль: Н'= Н+ — =Н+ — =О. д( дд дг дс Поэтому канонические уравнения для новых переменных имеют вид ас = О, рс = О, откуда следует, что а, = сонэ(, () с = сопз(. (47,3) !99 клноничвскив тгхвнвния 1гл.
чн С другой стороны, з уравнений да д1 дают возможность выразить з координат д через время и 2з постоянных а и (1. Тем самым мы найдем общий интеграл уравнений движения. Таким образом, решение задачи о движении механической системы методом Гамильтона — Якоби сводится к следующим операциям. По функции Гамильтона составляется уравнение Гамильтона — Якоби и находится полный интеграл (47,2) этого уравнения. Дифференцируя его по произвольным постоянным а н приравнивая новым постоянным р, получаем систему з алгебраических уравнений дз да (47,4) дает одно уравнение, связывающее дь ..., д, и й Уравнение Гамильтона — Якоби принимает несколько более простую форму в том случае, когда функция Н не зависит от времени явно, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
