Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Проследим за изменением характера этих «траекторий» конца вектора й1') по мере изменения величины М (при '1 Аналогичные кривые, оиисываемые концом вектора 11, называются аолодяями. Уже отсюда можно сделать некоторые заключения о характере движения волчка. Для этого заметим, что уравнения ;(37,3) и,(37,4) представляют собой, геометрически, в осях Мь Мз, Мз, уравнения соответственно поверхности эллипсоида с полуосями т~2Е!„ л~2Е1~, -з72Е!~ и сферы с радиусом М. При перемещении вектора М (относительно осей инерции волчка) его конец движется вдоль линии пересечения указанных поверхностей (на рис. 51 изображен ряд тт ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ~ГЛ ЧГ заданной энергии Е).
Когда Мз лишь немногим превышает 2Е!н сфера пересекает эллипсоид по двум замкнутым маленьким кривым, окружающим ось хз вблизи соответствующих двух полюсов эллипсоида (при Мз — «2Е!з эти кривые стягиваются в точки — полюсы). По мере увеличения Мз кривые расширяются, а при Мз = 2Е1, превращаются в две плоские кривые (эллипсы), пересекающиеся друг с другом в полюсах эллипсоида па оси хз. При дальнейшем увеличении Мз вновь возникают две раздельные замкнутые траектории, но окружающие уже полюсы на оси хз, при М' — «ЗЕ1з они стягиваются в эти две точки.
Отметим, прежде всего, что замкнутость траекторий означает периодичность перемещения вектора М по отношению к телу волчка; за время периода вектор йй описывает некоторую коническую поверхность, возвращаясь в прежнее положение. Далее отметим существенно различный характер траекторий, близких к различным полюсам эллипсоида. Вблизи осей хз и хз траектории расположены целиком в окрестности полюсов, а траектории, проходящие вблизи полюсов на оси хз, в своем дальнейшем ходе удаляются на большие расстояния от этих точек. Такое различие соответствует разному характеру устойчивости вращения волчка вокруг его трех осей инерции. Вращение вокруг осей хз и хз (отвечающих наибольшему и наименьшему из трех моментов инерции волчка) устойчиво в том смысле, что при малом отклонении от этих состояний волчок будет продолжать совершать движение, близкое к первоначальному.
Вращение же вокруг оси «з неустойчиво; достаточно малого отклонения, чтобы возникло движение, уводящее волчок в положения, далекие от первоначального. Для определения зависимости компонент зз (или пропорциональных им компонент М) от времени обратимся к уравне. ниям Эйлера (36,5). Выразим зза и ззз через Яз из двух урав« пений (37,2), (37,3) ~)а= а (1 1) ((2Е1з М') 1з(1з 1з)Ж)' (37,6) 1) ИМ' 2Е1~) ' 1~(1~ 1~)Ж и подставив во второе из уравнений (36,5), найдем: хааа 1з — га — = — ЙФз = Ш Га — (((2Е1, — М ) — 1,(1, — 1,) а,и(М вЂ” 2Е1,)— 1з 1~!а — 1, (1, — 1,) аз1)'ь. (37,7) Разделяя в этом уравнении переменные и интегрируя, получим функцию з(ззз) в виде эллиптического интеграла, При приве. АСИММВТРИЧВСХИИ ЭОЛз!ОК денни его к стандартному виду будем считать для определенности, что Мз > 2Е/з (в обратном случае во всех следующих ниже формулах надо переставить индексы ! и 3).
Вводим вместо 1 и йз новые пе. ременные ~ (1з — 1з) (М'-2Е)0 „. / 1. (1. -1.) 1,1,1, '= з Ч 2Е1,— М' и положительный параметр йз ( 1 согласно лз ((з — 1з) (2Е(з — Мз) (1з — 1з) (Мз — 2Е1~) (37,9) Тогда получим: в т= з(в о зΠ— зПт=нз (начало отсчета времени условно выбираем в момент, когда йз =О). Прн обращении этого интеграла возникает, как из- вестно, одна из эллиптических функций Якоби з=зпт, получим окончательно следующие формулы: 2Е/з — Мз й,= ( )опт, /2Е(з-М й,=.тз ( ) зпт, „ / Мз — гЕ1, ,/ р (37,10) Функции '(37,10) — периодические, причем их период по переменной т равен, как известно, величине 4К, где К есть полный эллиптический интеграл первого рода: з зз12 о ззг~пг-'з*вз ( Вю-з' в'.
' о чем и определяется зависимость йз от времени. Функции йз(() и йз(1) выражаются алгебраически через й,(1) согласно равенствам (37,6). Учитывая определение двух других эллиптических функций =з~з — ' . з ~Ч-Ф'ю~, движение тВеРдОГО телА (Гл. Тт Период же по времени дается, следовательно, выражением (37, 12) Т=4К По истечении этого времени вектор 11 возвращается в свое начальное положение относительно осей волчка. (Самый же волчок при этом отнюдь не возвращается в свое прежнее положение относительно неподвижной системы координат — см.
ниже.) При У~ = (з формулы (37,10), разумеется, приводятся к формулам, полученным в предыдущем параграфе для симметрического волчка. Действительно, при 7,— 7з параметр йз — »О, эллиптические функции вырождаются в круговые: впт — «з(пт, спт — »созт, опт-«1, и мы возвращаемся к формулам (36,7), При М~ =2Е!з имеем: й~,'= ь)з =О, 1)з = сопз1, т. е. вектор (з постоянно направлен вдоль оси инерции хз, этот случай соответствует равномерному вращению волчка вокруг оси хз.
Аналогичным образом при М' = 2Е7, (при этом т = О) имеем равномерное вращение вокруг оси хь Перейдем к определению абсолютного (по отношению к неподвижной системе координат Х, У, Х) движения волчка в пространстве как функции времени. Для этого вводим эйлеровы углы ф, д, О между осями волчка хь хь хз и осями Х, У, Х, выбрав при этом неподвижную ось Х вдоль направления постоянного вектора М. Поскольку полярный угол и азимут направления Х по отношению к осям хь хз, хз равны соответствен. ио О и — — ф (см.
примечание иа стр, 144), то, проектируя 2 вектор й4 на оси хь х,, х„получим: М з(п О з(п ф = М, = 7,йо Мз(пйсозф=М,=7Д„ (37,13) М зО=М,=7а,. Отсюда (37,14) соз О = /з(2з7М, 1а $ =1,Р~7720ь и, используя формулы (37,10), найдем: созй= ~( „, ' бпт, ! (з (М1 2ЕЦ) м'(!з — г,) (37,15) чем и определяется зависимость углов О и ф от времени; вместе с компонентами вектора 9 они являются периодическими функциями с периодом (37,12).
ВСИММЕТРНЧЕСКИН ВОЛЧОК Угол гр в формулы (37,13) не входит, и для его вычисления надо обратиться к формулам (35,1), выражающим компоиен. ты аа через производные по времени эйлеровых углов, Исклю. чая 8 из равенств 1), = ф з1п 0 зш ф+ 8 соз ф, 1)2 = ф з)п 8 соз 2р — 8 з)п ф, получим: Й1 5)о 1) + 22 соа 1) ф= а!н 0 после чего, используя формулы (37,13), найдема йр )аа+٠— =М )2г)2 1 )тг22 ' (37,18) Отсюда функция ~р(1) определяется квадратурой, но подынте. гральное выражение содержит сложным образом эллиптические функции.
Путем ряда довольно сложных преобразований этот интеграл может быть выражен через так называемые тэта- функции; не приводя вычислений '), укажем лишь их окончательный результат. Функция гр(г) может быть представлена (с точностью до произвольной аддитивной постоянной) в виде суммы двух членов 2р (т) = 2р (г) + 'р (г) (37,17) один из которых дается формулой Он ( Т вЂ” )а) етов «) = юа, ( +аа) (37,18) (К и Т вЂ” из (37,11), (37,12) ). Функция в правой стороне (37,18) — периодическая с периодом Т/2, так что ер2(1) изменяется на 2п за время Т, Второе слагаемое в (37,17) дается формулой ) ) м Т ое',()о) ра()) =2 —,, —, = — — — " .. (37,28) Т' ' Г 2228 .
ЛГ Ом (га) ' ') Их можно найти н книге Н. Т. Уиттекер, Аналитических динамика. М.: ОНТИ, Г937. где 622 — тэта-функция, а а — вещественная постоянная, определяющаяся равенством )а (А22 — 2Е)1) зп(12аК) =1 ( двнжппгв твврдого тела' !гл ц! Задачи 1. Определить свободное вращение волчка вокруг осн, близкой к осн инерции х~ (нлн х~). Решен н е. Пусть к направлению М близка ось хз. Тогда компоненты М~ н М, являются малыми величинами, а компонента Мз м М (с точностью до велнчнн первого порядка малости).
С этой же точностью первые два нз уравнений Эйлера (36,5) напишутся в виде "М' = (! — ф) а,Мь — „,* = ( — ' — !) а,Мь где мы ввели постоянную аз = М||ь Следуя обшнм правилам; ншем решепне для Мь М, в виде, пропорциональном е'~~, н для частоты ю получаем зна- ченне ю аз ~(| !) (| !) Для самих же велнчнв М~ н Мз получим /к, .ю |з М~ =Ма чь( — — 1 созе|, Мз Ма ччг — ' — 1 з!н юб (2) 'Ч |* 'Ч |, где о — произвольная малая постоянная. Этими формуламн определяется двнжение вектора М относительно волчка; в построении на рнс. 51 конец вектора М списывает (с частотой ы) малый эллнпс вокруг полюса на осн хз. Для определения абсолютного движения волчка в пространстве определяем его эйлеровы углы.
В данном случае угол наклона В осн хз к осн Я (направленню М) мал, н согласно формулам (37,!4) Мз М1 ™2 12 ф=м1|мь Взяз2(! — созВ) 2, 1 — — (яз М | подставляя (2), получаем: |Д(|,-1,) ы "ф=Ъ |.(| — |) "' ' Вз=аз[( — ' — 1) соззюг+ ( — ' — 1) з)пав|1. (3) Для вычисления угла Ч) замечаем, что согласно третьей нз формул (35,1] прн 0 ж.! аз аз ф+ ф. Поэтому в=а,! — р (4) (пронзвольную постоянную ннтегрнровання опускаем). Эта функция испытывает приращение 2я за время Т'. Таким образом, движение по углу гр представляет собой совокупность двух периодических изменений, причем один из периодов (Т) совпадает с периодом изменения углов ф и О, а другой (Т')— несоизмерим с первым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
