Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 21
Текст из файла (страница 21)
движение в выстоо осциллипрюшем поле 125 иой энергии получается (вместо (30,8) ) выражение 0,)Э вЂ” — У+ —,~~~ аи(г)ь — — У+ ~~> 2 $Дз, (ЗО,)О) сл г,а где величины ать' (вообц(е говоря, — функции координат)— элементы матрицы, обратной матрице коэффициентов аш в ки. иетической энергии системы (см. (5,5) ). Задачи 1. Определить положения устойчнвого равновесия маятника, точка подвеса которого совершает вертикальные колебания с большой частотой т(уъ ч/Й) Решение, Из полученной в задаче 3, в) й б функции Лагранжа видно, что в данном случае переменная сила — ш(ат сов т( 5(п ф (в качестве велячины х выбран угол ф).
Поэтому «аффективная потенциальная знергияв огтз Узйф шя) ( — соз ф+ — з!пз ф). 4е) Положения устойчивого равновесия отвечают минимуму втой функции, Иаправление вертикально вниз (ф = О) всегда устойчиво. При выполнении уело. вня агуз ' 2я( устойчивым является также положение вертикально вверх (ф и), 2. То же для маятника с горизонтально колеблющейся точкой подвеса. Решение.
По полученной в задаче 3, б) 5 5 функция Лагранжа находим ) = ш!ау'созт)созф и затем а'т' У,ЕЕ шй() - соз ф+ — созе ф~. 4ег если а'у'( 2яй то устойчиво положение ф = О, если же а"у' ~ 2лй тй) устойчивому равновесию отвечаег значение соз ф 221/а'уз. ГЛАВА Ч! ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В 31.
Угловая скорость Твердое тело можно определить в механике как систему материальных точек, расстояния между которыми неизменны. Реально существующие в природе системы могут, конечно, удовлетворять этому условию лишь приближенно. Но большинство твердых тел в обычных условиях так мало изменяет свою форму и размеры, что при изучении законов движения твердого тела, рассматриваемого как нечто целое, мы вполне можем отвлечься от этих изменений. В дальнейшем изложении мы будем часто рассматривать твердое тело как дискретную совокупность материальных точек, чем достигается некоторое упрощение выводов.
Это, однако, ни в какой степени не противоречит тому обстоятельству, что в действительности твердые тела можно обычно рассматривать в механике как сплошные, совершенно не интересуясь их внутренней структурой. Переход от формул, содержащих суммирование по дискретным точкам, к формулам для сплошного тела осуществляется просто заменой масс частиц на массу РЕМУ, заключенную в элементе объема ЫУ (р — плотность мас- сы), и интегрированием по всему 2 Вя объему тела. Для описания движения тверд, дого тел» введем две системы ко- ординат: «неподвижную», т.
е. а инерциальную систему Хуя, и г движущуюся систему координат х1 = х, х2 — — у, хз = г, которая а 1 предполагается жестко связанной с твердым телом и участвующей во всех его движениях. Начало 'Х движущейся системы координат удобно совместить с центром инерции тела. Положение твердого тела относительно неподвижной системы координат вполне определяется заданием положения движущейся системы.
Пусть радиус-вектор К указывает полоакение начала О движущейся системы (рнс, 351. Ориентация ггловля скогость ззп же осей этой системы относительно неподвижной определяется тремя независимыми углами, так что вместе с тремя компонентами вектора К мы имеем всего шесть координат. Таким образом, всякое твердое тело представляет собой механическую систему с шестью степенями свободы. Рассмотрим произвольное бесконечно малое перемещение твердого тела. Его можно представить в виде суммы двух частей.
Одна из них есть бесконечно малый параллельный перенос тела, в результате которого центр инерции переходит из начального положения в конечное при неизменной ориентации осей подвижнчй системы координат. Вторая — бесконечно малый поворот вокруг центра инерции, в результате которого твердое тело приходит в конечное положение. Обозначим радиус-вектор произвольной точки твердого тела в подвижной системе координат посредством г„ а радиус-вектор той же точки в неподвижной системе — посредством г. Тогда бесконечно малое смешение дг точки Р складывается из перемещения Щ вместе с центром инерции и перемещения (йм ° г1 относительно последнего при повороте на бесконечно малый гол д (см.
(9,1)).' У Ф ог=Ж+ [йр г]. Разделив это равенство на время Ю, в течение которого произошло рассматриваемое перемещение, и введя скорости 0ц лэ г У~ г Ч ~ а (31, 1) получим соотношение между ними ч = Ч + (5? г]. (31,2) Вектор Ч есть скорость центра инерции твердого тела; ее называют также скоростью его поступательного движения. Вектор й называется угловой скоростью вращения твердого тела; его направление (как и направление И~р) совпадает с направлением оси вращения. Таким образом, скорость ч любой точки тела (отиосительно неподвижной системы координат) может быть выражена через поступательную скорость тела и угловую скорость его вращения. Следует подчеркнуть, что при выводе формулы (31,2) специфические свойства начала координат как центра инерции тела совершенно не были использованы.
Преимущества этого выбора выяснятся лишь позже прн вычислении энергии движущегося тела. Допустим теперь, что жестко связанная с твердым телом система координат выбрана так, что ее начало находится не в центре инерции О, а в некоторой точке О' на расстоянии а от, точки О.
Скорость перемещения начала О' этой системы обо. значим через Ч', а угловую скорость ее вращения —.через Я; )гл. от движение твердого телА 128 Рассмотрим снова какую-либо точку Р твердого тела и обо. значим ее радиус-вектор относительно начала О' через г'.
Тогда г = г' + а и подстановка в (31,2) дает: тг=У+ [йаа]+ [ьаг']. С другой стороны, по определению У' и йй', должно быть тг= =У'+ [йй'г']. Поэтому мы заключаем, что У'=У+ [ййа] Я =йй. (31,3) Второе из этих равенств весьма существенно. Мы видим, что угловая скорость, с которой вращается в каждый данный момент времени жестко связанная с телом система координат, оказывается совершенно не зависящей от этой системы. Все такие системы вращаются в заданный момент времени вокруг параллельных друг другу осей с одинаковой по абсолютной величине скоростью ай. Это обстоятельство и дает нам право называть а) угловой скоростью вращения твердого тела как такового.
Скорость же поступательного движения такого «абсолютного» характера отнюдь ие имеет. Из первой формулы (31,3) видно, что если У и 12 (в данный момент времени) взаимно перпендикулярны при каком-либо выборе начала координат О, то они (т. е. У' и 12') взаимно перпендикулярны н прн определении по отношению к любому другому началу О'. Из формулы (31,2) видно, что в этом случае скорости и всех точек тела лежат в одной и той же плоскости — плоскости, перпендикулярной к ьй. При этом всегда можно выбрать такое начало О''), скорость У' которого равна нулю, что движение твердого тела (в данный момент) будет представлено как чистое вращение вокруг оси, проходящен через О'.
Эту ось называют мгновенной осью вращения тела'). В дальнейшем мы будем всегда предполагать, что начало движущейся системы координат выбрано в центре инерции тела, так что и ось вращения тела проходит через этот центр. При движении тела меняются, вообще говоря, как абсолютная величина аа, так и направление оси вращения. $32. Тензор инерции Для вычисления кинетической энергии твердого тела рассматриваем его как дискретную систему материальных точен ') Оно может, конечно, оказаться лежащнм н вне объема тела.
') В общем же случае не взаимно перпендикулярных направлений )Г н 1а начало коардннат можно выбрать таким образом, чтобы Ч н 11 стали параллельнымн, т.е. двпжепне (в данный момент времени) будет совокупностью вращения вокруг некоторой осн н поступательного перемещения вдоль этой же осн. 9 зз) тннзоп инерции 129 н пишем: где суммирование производится по всем точкам, составляющим тело. Здесь и ниже мы опускаем индексы, нумерующие эти точки, с целью упрощения записи формул, Подставив сюда (31,2), получим: Т=ч) 2 (У+[Иг])з=ч) 2 Уз+~~ тУ[Иг]+ ) -~-[Иг]я.
Скорости У и И одинаковы для всех точек твердого тела. Поэтому в первом члене )гз/2 выносится за знак суммы, а сумма Яи есть масса тела, которую мы будем обозначать посредством )т. Во втором члене пишем: тУ [Иг] Я иг [УИ] = [УИ] ~, тг. Отсюда видно, что если начало движущейся системы координат выбрано, как условлено, в центре инерции, то этот член обращается в нуль, так как тогда ~, тг = О. Наконец, в третьем члене раскрываем квадрат векторного произведения и в результате находим: Т = ~ + — 2', и (И'и' — (Иг)з].
2 2 Таким образом, кинетическая энергия твердого тела может быть представлена в виде суммы двух частей. Первый член в (32,1) есть кинетическая энергия поступательного движения— она имеет такой вид, как если бы вся масса тела была сосредоточена в его центре инерции. Второй член есть кинетическая энергия вращательного движения с угловой скоростью И вокруг оси, проходящей через центр инерции.
Подчеркнем, что возможность такого разделения кинетической энергии на две части обусловлена выбором начала связанной с телом системы координат именно в его центре инерции. Перепишем кинетическую энергию вращения в тензорных обозначениях, т. е. через компоненты хь И~ векторов г, И'). ') В этой главе буквами 1, й, 1 обозначаются тензорные индексы, пробегающие значения 1, 2, 3. При этом везде применяется известное правило суммирования, согласно которому знаки сумм опускаются, а по всем дважды повторяю~нимся (так называемым «немым») индексам подразумевается суммирование по значениям 1, 2, 3; так, АгВг=АВ, А( — — АгАг — — А и т. в„ т 2 Обозначение немых индексов можно, очевидно, менять произвольным образом (лишь бы оно не совпало с обозначением других фигурирующих в данном вмражении тензорных индексов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
