Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Определить частоты колебаний линейной трехатомиой симметричной молекулы АВА (рис. 2З). Предполагается, что потеициальпая энергия молекулы зависит только от расстояиий А — В и  — А и от угла АВА. Решение. Продольные смещения атомов хь хз, хз связаны в силу (24,1) соотношением шл (хз + хз) + шзхз С его помощью исключаем хз из фуикции Лагранжа продольного движения молекулы ь — (хз + хз) + — хз — — 1(хз — хх) + (хз — хз) ~, после чего вводим новые координаты Яд —— к, +хз з)« =к, — х,. ') См. «Квантовая механика», З.е изд„$100. з) Расчеты колебаний более сложных молекул можно иайти в книгах: М.
В, Волькепштейзь М. Л, Ельяшевич, Б, И. Степаиов. Колебаиия молекул.— Мл Гостехиздат, 1949; Г. Герц берг, Колебательиые ивращательпые спектры миогоатомиых молекул. — Мл ИЛ, 1949. КОЛПНАНИП МОЛПКкЛ В результате получим: А! '2 А '2 1М 2 ! 2 е. = — 0„+ — !), — — Я вЂ” — Я Атв 4 4тл 4 ' Н = 2ш»+т» — масса молекулы), Отсюда видно, что Я, и (~» являются ' с точностью до нормировки) нормальными координатама. Координата Я» у1 А А 2 ! 1 А В А Рнс. 28 Рис. 29 отвечает антнсимметричному относительно середины молекулы колебанию (х» = х»! рис. 28, а) с частотой Координата Я, соответствует симметричному (х, = — х», рис.
28, б) колебанию с частотой ю»~ ~.~/й,/т Поперечные смещения атомов уь уь у* в силу (24,!) и (24,2) связаны соотношениями А(У1+УЗ)+ ВУ2 ' У1 УЗ '(симметричное колебание изгиба; рис. 28,е), Потенциальную энергию изгиба молекулы пишем в виде й»!»82)2, где 6 — отклонение угла АВА от значения зй оно выражается через смещения согласно ! б — ((у — уз) + (уз — уз)1 Выражая все смещения уь уь уз через б, получим функцию Лагранжа попе, речного колебания в виде А 2 2 В .2 2 2 А В 22 82 2 3 2 — (у +у)+ — у — — б = — !б — б 3 2 2 2 откуда частота ч -»»н»!"."' 2. То же для молекулы АВА треугольной формы (рнс. 2й).
В!АЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ Решение. В силу (24,1), (24,2) составляющне смещений н атомов по направлениям Х н У (рнс. 29) связаны соотношениями шл («! + «з) + швхз О' шл(У!+ Уз)+ л'в"з з!п а(у! — уа) — сова(х, + хэ) = О. Изменения б!! в б!з расстояний А — В н  — А получаются путем проектнро. ванна векторов н! — нз н н, — нз на направления папий АВ ы ВА: Ы, = (х, — хз) з!и а + (у, — у,) соз о, Ы, — («з — хз) з!п а+ (уз — уз) соз а. Функция Лагранжа молекулы Ь вЂ” "( й, + нд) + — п~~ — — ' (Ы, + Ыз) — — б .
Вводнм новые координаты «!+хз Ую х — хм Уз!=у +Уз. Компоненты векторов н выражаются через ннх согласно 1 1 х, — (!?~+ ую), 2 хэ - — (!?а — Ча!), 2 хз — — ф„ шв 1 у — (узз+ (?в с!а а), 2 1 уз — (Узз — !св с!2 и), 2 Уз=- — Узь А В а для функция Лагранжа получим после вычисления; глл 2шА 1 ~! 'т шл .з шлр ( — + —.~г? + — б + — б,— 4 [ гл з!пза ? " 4 з! 4л! В В 3 3 Уй! (й з1пза+2й сааза) — д~ — (й созза+2йзз!пза)+ в + дз!озз — (2йз — й!) з1п а соз и. р 2шв Отсюда видно, что координата !?, отвечает нормальному колебанию с ча. сгбтой й / 2ш е — ~1 + — з!и' и), ША ЛзВ 'внтнснмметрычыому отвосытельна осв У(х! хз, у! = -Уз! рнс, 29,а), Изменение же угла АВА получается проектированием тез же векторов на направления, перпендикулярные к отрезкам АВ н ВА: 1 1.
б — [(х, — хз) соз а — (у, — уз) з!и п[ -[- — [- («з — хз) соз а — (уз-уз) з!и а[. затухдющиа колнвлиия Координаты же у,о д,» совместно соответс»вуют двум колебаниям (симметричным относительно оси У: х» = — х», у» = у»1 рис. 29,б и в), частоты которых ы,», ы*» определяются как корни квадратного (по ы») характеристического уравнения ы' — в' ~ †' ~ 1 + †" созз о ) + †' ~ 1 + †" з)пз а + †',' О.
"»А тВ тА тВ твтА Прн 2»» = и все зги частоты совпадают с найденными в задаче !. 3. То же для линейной несимметричной молекулы АВС (рис 30). Решение. Продольные (х) и поперечные (у) смешения атомов связаны соотношениями »плх» + твхз + тсхз О, 3 1з 2 11 т п»АУ» + тнуз+ тсуз О С В А А гу! С ЗУЗ' Рис. 39 Потенциальную энергию растяжения и изгиба пишем в виде l т й, а» Фзг — (61») + — (б(з) + — б 2 ' 2 2 121 1, +1»). Вычисления, аналогичные произведенным в задаче 1, приводят к значению Ь)2 У (з (т А)т~, — + — +— 1»12 тс тл тв 22 дли частоты поперечного колебания и к квадратному (по ю») уравнению для частот ып, а»» двух продольных колебаний.
$25. Затухающие колебания До сих пор мы всегда подразумевали, что движение тел происходит в пустоте или что влиянием среды на движение можно пренебречь. В действительности при движении тела в среде последняя оказывает сопротивление, стремящееся замедлить движение. Энергия движущегося тела при этом в конце концов переходит в тепло или, как говорят, диссипируется. Процесс движения в этих условиях уже не является чисто механическим процессом, а его рассмотрение требует учета движения самой среды и внутреннего теплового состояния как среды, так и тела. В частности, уже нельзя утверждать в общем случае, что ускорение движущегося тела является функ.
цией лишь от его координат и скорости в данный момент вре. меии, т. е. не существует уравнений движения в том смысле„ какой оии имеют в механике. Таким образом, задача о дви. кении тела в среде уже не является задачей механики. шо МАЛЫЕ' КОЛЕБАНИЯ !гл. о Существует, однако, определенная категория явлений, когда движение в среде может быть приближенно описано с помощью механических уравнений движения путем введения в них некоторых дополнительных членов.
Сюда относятся колебания с частотами, малыми по сравнению с частотами, характерными для внутренних диссипативных процессов в среде. При выполнении этого условия можно считать, что на тело действует сила трения, зависящая (для заданной однородной сре. ды) только от его скорости. Если к тому же эта скорость достаточно мала, то можно разложить силу трения по ее степеням. Нулевой член разложения равен нулю, поскольку на неподвижное тело не действует никакой силы трения, и первый неисчезающий член пропорционален скорости.
Таким образом, обобщенную силу трения 1,р, действующую на систему, совершающую одномерные малые колебания с обобщенной координатой х, можно написать в виде 1, = — ах, где а — положительный коэффициент, а знак ' минус показывает, что зила действует в сторону, противоположную скоро. сти. Добавляя эту силу в правую сторону уравнения движения, получим (ср. (21,4)): лгх = — Фх — ах. (25,1) Разделим его на пг и введем обозначения ~Ф~г = ео~г, а/лг = 2Х. (25,2) еоо есть частота свободных колебаний системы н отсутствие трения, Величина Х называется коэффициентом затухания '), Таким образом, имеем уравнение х + 2Лх + оггзх =О. (25,3) Следуя общим правилам решения линейных уравнений с по.
стоянными коэффициентами, полагаем х = е" и находим для й характеристическое уравнение ге+ 2Хг+ пгг б Общее решение уравнения (25,3) есть к .4. ~,, — А а~/Т вЂ” м. Здесь следует различать два случая. Если А,( ого, то мы имеем Два комплексно сопРЯженныл значения г. Общее решение уравнения движения может быть ') Безразмерное произведение Ат (где Т = йя1ю — пераод) называют аогарафмичееаам декремеатом затухавая, ю1 ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ представлено в этом случае, как где А — произвольная комплексная постоянная.
Иначе можно написать: м~ р р. -~Я вЂ” р', (25,4) где а и рх — вещественные постоянные. Выражаемое этими формулами движение представляет собой так называемые затухающие колебания. Его можно рассматривать как гармониче. скне колебания с экспоненциально убывающей амплитудой, Скорость убывания амплитуды определяется показателем А, а «частота» ы колебаний меньше частоты свободных колебаний - в отсутствие трения; при А Б, ьр, разница между а и Брз — второго порядка малости. Уменьшение частоты при трении следовало ожидать заранее, поскольку трение вообще задерживает движение. Если А ~ ые, то за время одного периода 2п/ы амплитуда затухающего колебания почти не меняется.
В этом случае имеет смысл рассматривать средние (за период) значения квадратов координаты н скорости, пренебрегая при усреднении изменением множителя е-А', Эти средние квадраты, очевидно, пропорциональны е-БАР. Поэтому и энергия системы в среднем убывает по закону Е=ЕБе рьр (25,5) где ЕБ — начальное значение энергии. Пусть теперь Х ) Бро. Тогда оба значения г вещественны, причем оба отрицательны. Общий вид решения Мы видим, что в этом случае, возникающем при достаточно большом трении, движение состоит в убывании ~х), т. е. в асимптотическом (при г- срр) приближении к положению равновесия. Этот тип движения называют апериодическим ватуханиеАр. Наконец, в особом случае, когда А = ао, характеристическое уравнение имеет всего один (двойной) корень г = — А. Как известно, общее решение дифференциального уравнения имеет в этом случае вид х=(с, + сне-АР. (25,7) Это — особый случай апериодического затухания.
Оно тоже не имеет колебательного характера, щг малые калякания Для системы со многими степенями свободы обобщенные силы трения, соответствующие координатам хь являются линейными функциями скоростей вида ~„р — — — ~ амхе. Из чисто механических соображений нельзя сделать никакия заключений о свойствах симметрии коэффициентов ам по ин. дексам 1 и Ф. Методами же статистической физики можно по- казать '), что всегда (25,9) а,я = аяь Поэтому выражения (25.8) могут быть написаны в виде про. взводных (25,10) дх ~1тр= — дя от квадратичной формы 1 %с 2 ~ аахяхм 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
