Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ная через нормальные координаты, распадается на сумму выражений, каждое нз которых соответствует одномерному колебанию с одной из частот ага, т. е. имеет внд (23,12) где т — положительные постоянные. С математической точки зрения это означает, что преобразованием (23,9) обе квадратичные формы — кинетическая энергия (23,3) и потенциальная (23,2) — одновременно приводится к диагональному виду.
Обычно нормальные координаты выбирают таким Образом, чтобы коэффициенты при квадратах скоростей в функции Лагранжа были ранцы 1/2. Для этого достаточно определить цормалыше координаты (обозначим их теперь Щ равенствамк Яа=1лг % - (23.13) Тогда ( 1 ~'(фг Г гг)г) а Все язложенное мало меняется в случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни. Общий вид (23,9), (23,10) интеграла уравнений движений Остается таким же (с тем же числом з членов) с той лишь разницей, что соответствующие кратным частотам МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ ~гл.
ч коэффициенты сьап уже не являются минорами определителя, ков торые, как известно, обращаются в этом случае в нуль '). Каждой кратной (или, как говорят, вырожденной) частоте отвечает столько различных нормальных координат, какова степень кратности, но выбор этих нормальных координат не однозначен. Поскольку в кинетическую и потенциальную энергии нормальные координаты (с одинаковым озп) входят в виде одинаково преобразующихся сумм ~ Яз„и ~ ь)з,, то их можно подвергнуть любому линейному преобразованию, оставляющему инварнантной сумму квадратов. Весьма просто нахождение нормальных координат для трех. мерных колебаний одной материальной точки, находящейся в постоянном внешнем поле.
Помещая начало декартовой системы координат в точку минимума потенциальной энергии 0(х,у, г), мы получим последнюю в виде квадратичной формы переменных х, у, г, а кинетическая энергия Т= ~ (Х'+уз+ха) (лг — масса частиц) не зависит от выбора направления координатных осей. Поэтому соответствующим поворотом осей надо только привести к диагональному виду потенциальную энергию. Тогда 2 (х + у + х ) 2 (й1» + йву + йза ), (23,! 4) и колебания вдоль осей х, у, г являются главными с частотами оз, = т/й,/т, озя=4И4т, озз= фея. В частном случае центрально-симметричного поля (й1 — — йз = =йз= й, 0 йгз/2) этн три частоты совпадают (см. задачу 3).
Использование нормальных координат пает возможность привести задачу о вынужденных колебаниях системы с не. сколькими степенями свободы к задачам об одномерных вынужденных колебаниях. Функция Лагранжа системы с учетом действующих на нее переменных внешних сил имеет вид ~с+ Х Ра(г) хы (23,15) ') Невозможность возникновения в общем интеграле членов, содержащих наряду с зкспоненпиальными также и степенные временные множители, очевидна из тех же физических соображений, которые исключают существование коиплексных «частоты наличие таких членов противоречило бы закону сохранения знергин, ГДЕ Ео- лаграижЕВа фуикцИЯ Свободных колебаний. Вводя вместо координат ха нормальные координаты, получим: 7.=-,)„((,)2 — в%2)'+ ~ 1 (1)(), (23,16) где введено обозначение 1.(»=,",Рз(1) ~"' чуягэ Соответственно уравнения движения (Е +в21;) =1 (» (23,17) будут содержать лишь по одной неизвестной функции (',)о(1).
Задачи 1. Определить колебания системы с двумя степенями свободы, если ее фуннция Лагранжа во 2 Ь = — (х'+ у') — — (х'+ у') + оху 2 (две одинаковые одномерные системы с собственной частотой ва связанные взаимодействием — аху). Р ею си не. Уравнения движения х+вох ау, у+вор =ах. Подстановка (23,6) дает: Ах (во в ) аАя Ая (во — в') аАМ Характеристическое уравнение (во — в ) = а, откуда 2 эт2 2 во — а, в во+ 2 2 2 2 Прн в = вг уравнеяия (1) дают А„= Ав а прн в = вз А = — А„. Поэтоиу 1 1 .- —,(а+ О.), у- —,(г) — О*) Ьг2 1/2 (коэффициенты 1г'тг2 соответствуют указанной а тексте нормировке нормальных координат).
При а ч.во (слабая связь) имеем: а х В~ гм во — — э Вз Во+ — ° 2во 2во ' Изменение х и у представляет собой в этом случае наложение двух колебаний с близкими частотами, т,е. имеет характер биений с частотой вз — он = айоо (см. $22). При этом в момент, когда амплитуда координаты х проходит через максимум, амплитуда у проходит через минимум и наоборот.
2. Определить малые колебания двойного плоского маятявка (рис, 1)'. Ч ян КОЛеБАния СИСТЕМ СО МнОГИМи степенями СВОБОДЫ 26 малый колввдння !ГЛ. и Решение. Для малых колебаний (!рг.а. [, фа м. Ц найденная в задаче 1 $ б функция Лагранжа принимает внд гф1+ 2 зфт+ 3 1 зф!фз 2 11 гф1 2 0 зф2' и!!+в!з з.з !и! 2 з . ° в!!+та 2 тз 3 Уравнения движения: (т! + л!1) 1!Ф! + !пз/зфз+ (!и! + гвз) уф! =*О. / ф +1 ф +уф =О. После подстановки (23,6): А! (т! + !пз) (у — 1!а') — Аза'тз!з = О, — А,/,аз+ Аз (у — !за*) О.
Корни характеристического уравнения: ! 3 2т,1,1 (( !+тз)(1+ 2) (т, + тз) [(т, + тз) (1, + /з)з — 4т,/А)). При т, -ь со частоты стремятся к пределам Щ1, и ЧЯ/1,, соответствуюшим независимым колебаниям двух маятников. 3.
Найти траекторию движения частицы в центральном поле (/ = Ьгз/2 ,(так называемый пространственный осциллягор). Решение. Как и во всяком центральном поле, движение происходит в одной плоскости, которую выбираем в качестве плоскости х, у. Изменение каждой иэ иоординат к, у — простое колебание с одинаковыми частотами а = Ч/Ь/т ! х =- а соз (а1 + и), у = Ь соз (а1 + Р) илв х=асозф, у=Ьсоз(ф+Ь) ЬсозЬсозф — Ьил ба!и!р, где введены обозначения ф а!+а, б = Р— оь Определив отсюда сов ф и в!п ф и составив сумму их квадратов, получим уравнение траектории хз уз 2ку — + — — — соз Ь и!п' Ь. пз Ьз па Это — эллипс с центром в начале координат '). При б = О или и траектория вырождается в отрезки прямой.
2 24. Колебания молекул Если мы имеем дело с системой частиц, взаимодействующих друг с другом, но не находящихся во внешнем поле, то не все ее степени свободы имеют колебательный характер. Типичным примером таких систем являются молекулы. Помимо движений, представляющих собой колебания атомов около их положения 'равновесия внутри молекулы, молекула как целое может совершать поступательное и вращательное движения.
') Тот факт, что в поле с потенциальной энергией (/ = Ьгз/2 движение происходит по замкнутой кривой, был уже упомянут в $ !4. КОЛЕБАНИЯ МОЛЕКУЛ Поступательному перемещению соответствуют три степени снободы. Столько же имеется в общем случае вращательных степеней свободы, так что из Ъп степеней свободы и-атомной молекулы всего Эп — 6 отвечают колебательному движению, Исключение представляют молекулы, в которых все атомы рас'положены вдоль одной прямой.
Поскольку говорить о вращении вокруг втой прямой не имеет смысла, то вращательных степеней свободы в этом случае всего две, так что колебатель. ных имеется Зп — 5. Прн решении механической задачи о колебаниях молекулы целесообразно с самого начала исключить из рассмотрения поступательные и вращательные степени свободы. Чтобы исключить поступательное движение, надо считать равным нулю полный импульс молекулы.
Поскольку это условие означает неподвижность центра инерции молекулы, то его можно выразить в виде постоянства трех координат последнего. Положив г, = г,А+ в, (где г,ь — радиус-вектор неподвижного положения равновесия и-го атома, а и,— его отклонение от этого положения), представим условие т,г, = сопз( = — ~ гп г,„ в виде ~„т,п, = О. (24,)) Чтобы исключить вращение молекулы, следует положить равным нулю ее полный момент импульса.
Так как момент не является полной производной по времени от какой-либо функции координат, то условие его исчезновения не может быть, вообще говоря, выражено в виде равенства нулю такой функции. Однако случай малых колебаний как раз представляет исключение. В самом деле, снова положив г, = г,с+ и, н пренебре. гая малыми величинами второго порядка по смещениям н„ представим момент импульса молекулы в виде М = ~ ~~т ~г,ч,) - "~~ т,(г Ап ]= — „г ~~' т,(гААНД. Условие его исчезновения в этом приближении можно, следовательно, представить в виде ~„т,[г„п„)=О (24,2) (начало координат может быть при этом выбрано пронзволь ным образом). Нормальные колебания молекулы могут быть классифицированы по характеру движения атомов в них на основании соображений, связанных с симметрией расположения атомов ,(в положениях равновесия) в молекуле.
Для этой цели суще. ствует общий метод, основанный на использовании теории мллые колавдния 96 1гл. и групп; он изложен в другом томе этого курса'). Здесь же мы рассмотрим лишь некоторые элементарные примеры. Если все а атомов молекулы лежат в одной плоскости, то можно различать нормальные колебания, оставляющие атомы в этой плоскости, и нормальные колебания, при которых атомы выводятся из плоскости. Легко определить число тех и других. Так как всего для плоского движения имеется 2п степеней сво. боды, из которых две поступательные и одна вращательная, то число нормальных колебаний, не выводящих атомы из плоскости, равно 2л — 3.
Остальные же (За — б) — (2п — 3) = = а — 3 колебательных степеней свободы отвечают колебаниям, выводящим атомы из плоскости. В случае линейной молекулы можно различать продоль. ные колебания, сохраняющие ее прямолинейную форму, и колебания, выводящие атомы с прямой. Так как всего движению л частиц по линии отвечает и степеней свободы, из которых одна поступательная, то число колебаний, не выводящих атомы с прямой, равно и — 1. Поскольку же полное число колебательных степеней свободы линейной молекулы есть 3п — 5, то имеется 2а — 4 колебаний, выводящих атомы с прямой.
Этим колебаниям, однако, отвечают всего и — 2 различные частоты, так как каждое из таких колебаний может осуществляться двумя независимыми способами — в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (проходящих через ось молекулы); из соображений симметрия очевидно, что каждая такая пара нормальных колебаний имеет одинаковые частоты. Задачи з) 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
