Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Находя отсюда р, получим: 3 столкновения частиц ггл, пг в днфференцналах, получнмз нлв .( ) ( х'.ьыг —, о — х мэ Это уравнение интегрируется непосредственно, прнчем в правой стороне сле. дует наменять порядок ннтегрнрозання по ох в о(з)м), Учитывая, что прн а О (т.е. г-1-ао) должно быть м 1 (т.е. 0 О), в аозврапгаясь к походным переменным г в р, получим окончательный результат (в двух эквн. валентных формах): ЮО м=ехр — э Агой — ° — Лр ~ ехр~— Г р лх ! г х(р) лр ( и э гсэ гГр я чгр гэ оэ Этой формулой определяется в неявном анде зависимость гэ(г) (а тем самым н 0(г)) прн всех г ~ г~ьч т.е.
в той области значений г, которая фактаче- скн проходится рассеиваемой частицей с заданной энергией Е. откуда оэ Р = э ч 1К Фэ эг~о~ или, вводя согласно (18,1) гро =(я — х)/2: (19,1) "ЮО Дифференцируя это выражение по Х н подставляя в (18,7) или в (18,8), получим: соз— х "="( — ')' гп 2 (19,2) или (19,3) 9 19. Формула Резерфорда Одно из важнейших применений полученных выше формул — рассеяние заряженных частиц в кулоновском поле. Положив в (18,4) 0 =а/г и производя элементарное интегрирование, получим: а/гнэ р Фэ = агссоз ~6+М е рт ' ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА Это так называемая формула Резерфорда.
Отметим, что эффективное сечение не зависит от знака и, так что полученный результат относится в равной степени к кулоновскому полю отталкивания и притяжения. Формула (19,3) дает эффективное сечение в системе отсчета, в которой покоится центр инерции сталкивающихся частиц. Преобразование к лабораторной системе производится с помощью- формул '(17,4). Для частиц, первоначально покоившихся, подставляя у =и — 20з в (19,2), получим: (19,4) Для падающих же частиц преобразование приводит в обгцем случае к весьма громоздкой формуле. Отметим лишь два частных случая.
Если масса тз рассеивающей частицы велика по сравнению с массой т1 рассеиваемой частицы, то 7 ж 8ь а т ж ть так что (19,5) ма 3 где Е,=т,о'/2 — энергия падающей частицы. Если массы обеих частиц одинаковы (т1 — тз, т = т172), то согласно (17,9) у =28ь и подстановка в (19,2) дает: Если не только массы обеих частиц равны, но эти частицы вообще тождественны, то не имеет смысла различать после рас« сеяния первоначально двигавшиеся частицы от первоначально покоившихся.
Общее эффективное сечение для всех частиц мы получим, складывая до~ и доз и заменяя 01 и 8з общим значе. нием 0' (19,7) Вернемся снова к общей формуле '(19,2) и определим с ее помощью распределение рассеянных частиц по отношению к теряемой ими в результате столкновения энергии. При произвольном соотношении между массами рассеиваемой (т1) и рассеивающей (лтз) частиц, приобретаемая последней скорость выражается через угол рассеяния в и-системе посредством зт, х и,'= + и з(ив столкновения частиц 74 !гл пг Эта формула отвечает на поставленный вопрос, определяя эф« фективное сечение как функцию от потери энергии е; последняя пробегает при этом значения от нули до э =2птзэ,',/ят,. Залечи Е Найти зффектнвное сечение рассеяния в поле У и/га 1к) О). Ретенне Угол отклонения: [ ~~ «з ь,ъ.
~' Эффективное сечение 2п»а и'и то 2 м — Х оо Хз(2м — Х)з а(пХ 2. Найти аффективное сечение рассеянии сферической «потенциадьной ямой» радиуса п н «глубины» У«[т,е. полем У О при г~а, У= — Уе при г ( о». Рнс. 21 Р е ш е н и е. Прямолинейная траектория частицы «преломляется» прн входе в яму н при выходе нз иее Согласно задаче к й 7 утды падения а и преломления Р (рнс. 21) связаны опочив!пением Мп а/з!и р и.
п = «/1+ 2Уе/то„. Угол отклонения Х = 2(а — Р). По»тому имеем: »1п (а — Х/2) Х соз — — с!К а з!и — = —. х ! а!и а 2 2 п' (см. (17,5)). Соответственно, приобретаемая этой частицей, а тем самым н теряемая частицей пг! энергяя равна га т тто йт, Х в= — = — и' з(па —. та " 2 Выразив отсюда з1п — через а н подставив в (19,2), получаем: х г(о =2я — —.
а' пв (19,8) тяпам РАССВЯНИН ПОД МАЛЫМИ УГЛАМИ 76 Исключив а иэ этого равенства н очевидного из рисунка соотношения аз!па=р, получим связь между р и Х е виде лз э)пэ х рэ = аэ 2 л + 1 — 2лсоз— э х 2 Нэконеп, дифферелнируя это равенство, получим эффективное сечение (л соз — — 1) (л — соэ — ) а'л' 2 2 Х г э Х тз 4 соз — !ч! + лэ — 2л соэ — ) 2 2) Угол Х меняется в пределэх от нуля (прн р = О) до эпзчення Хлп* (при р = а), определяемого нз х 1 соэ — = —.
2 л" Полное эффективное сечение, получающееся пятегрировзннем ао по всем углам внутри конуса Х < Х лл равно, рззумеется, площздв геометрического сечения па'. ф 20. Рассеяние под малыми угяамн Вычисление эффективного сечения значительно упрощается, если рассматривать лишь те столкновення, которые происходят на больших прицельных расстояниях, где поле сг' является слабым, так что углы отклонения соответственно малы. Прн этом вычисление можно производить сразу в лабораторной системе отсчета, не вводя систему центра ннерцнн.
Выберем ось х по направлению первоначального импульса рассеиваемых частиц (частицы тг), а плоскость ху — в плоскостн рассеяния. Обозначив посредством р,' импульс частицы после рассеяния, имеем очевидное равенство згп Вт = Уэ',„/Р',. Для малых отклоненнй можно приблнженно заменять з!и О1 на 8!, а в знаменателе — заменить р', первоначальным импульсом р! — — т!о; О, э )т'!~)т!о . Далее, поскольку рэ = Гз, то полное прнращенне импульса вдоль осн у р,„= ~ р.„уу. (20,2! Ф СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ 1ГЛ 1Ч При этом сила: аи ди аг диу У ау дг ду дг г Поскольку интеграл (20,2) уже содержит малую величину (7, то при его вычислении можно в том же приближении очи.
тать, что частица вовсе не отклоняется от своего первоначального пути, т. е. движется прямолинейно (вдоль прямой у = р) и равномерно (со скоростью о ). Соответственно этому полагаем в (20,2) дз с(1 =— з„ ди р г з" г и получаем: Гдидз гн с„,) дг г ' Наконец, от интегрировании по дх перейдем к интегриро« ванию по сзг. Поскольку для прямолинейного пути ге =ха+ рз, то при изменении х от — оо до +со г изменяется от оо до р и затем снова до оо. Поэтому интеграл по дх перейдет в удвоен. ный интеграл по с)г от р до оо, причем с(х заменяется на с(х = г с)г „~з з чем и определяется искомая зависимость Ос от р при слабом отклонении. Эффективное сечение рассеяния (в л-системе) получается по такой же формуле, как (18,81 (с 01 вместо Х), причем эйп 01 можно и здесь заменить на Ос.
до = ~ — „~ — с(ос. др 1р(вй =дв,! В, (20,4) ') Если ироизвссти весь изложенный вывод в Ч-системе, то мы иолучнм для Х такое же выражение с т вместо т, в соответствии с тем, что малые углы Е, и Х должны быть связаны согласно (17,4) соотношением шз ,+, х. Окончательно получим для угла рассеяния (20,1) следуютцее выражение '): О Ер Г ли дг (20,3) шсо„Фг Чlг — р' РАССНЯНИН ПОД МАЛЫМИ УГЛАМИ 78 Задачи 1, Получить формулу (20,3) из формулы (18,4). Р е ш е н и ф С целью избежать ниже фиктивно расходящихся интегралов, предстаним фоймулу (!8,4) в виде д тз~ —— 1 — — — — Фг, р др 3 лшз гею причем в качестве верхнего предела пишем большую конечную величину й, имея в виду перейти затем к пределу 1(-ьсо. Ввиду малости У разлагаем корень по степеням (Г, а г ~О заменяем приближенно нз р: я ОО ге О 1 ОО)ю ч/ г Первый интеграл после перехода к пределу 1г-~.ОО дает я(2.
Второй же ин. теграл предварительно преобразуем по частям и получаем выражение ЮО ОО Р зхвивалентное формуле (20,3), 2. Определить аффективное сечение рассеяния на малые углы в полб (Г = а/гю (я ) О). Решение. Согласно (20,3) имеем1 ЮО 2рпл ~ ю(г 0,= —,1 " гв+г А~г~ — рз Р Подстановкой рю(гз и интеграл приводится к В-интегралу Эйлера н выражается через Г-функции Выражая отсюда р через 0О и подставляя в (20,4), получим л Г ~" ) ш1ез гллвл ч МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ $21. Свободные одномерные колебания Очень распространенный тип движения механических си. стем представляют собой так называемые малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения устойчивого равновесия. -Рассмотрение этих движений мы начнем с наиболее простого случая, когда система имеет всего одну степень свободы. Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором ее потенциальная энергия 0(д) имеет минимум; отклонение от такого положения приводит к возникновению силы — НУ/с(д, стремящейся вернуть систему обратно, Обозначим соответствующее значение обобщенной координаты посредством дв.
При малых отклонениях от положения равновесия в разложении разности У(о) — (1(де) по степеням д — дв достаточно сохранить первый неисчезающий член. В общем случае таковым является член второго порядка и(В-( (Че) - —,(ч- й)н а где й — положительный коэффициент (значение второй производной Ум(д) при д = де). Будем в дальнейшем отсчитывать потенциальную энергию от ее минимального значения (т.
е. положим У (дв) = 0) и введем обозначение х=Ч вЂ” ~ге (21,1) для отклонения координаты от ее равновесного значения. Та. ким об азом, р У (х) = йхн/2, (21,2) Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы имеет в общем случае вид '/на(д) де= '/на(д) хн. В том же приближении достаточно заменить функцию а(н)' просто ее значением при д = дв. Вводя для краткости обозна. чение ') а (с1в) = лт, ~) Падчеркнем, одннко, что величина лс совпадает с массой только, если х есть декнртовн координата частицы! 79 СВОБОДНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ получим окончательно следующее выражение для лагранжевой функции системы, совершающей одномерные малые колебания '): (21,3) Соответствующее этой функции уравнение движения гласит: гнх+ Йх =О, (21,4) или (21, б) х+атх=О, где введено обозначение а = Т~й/пг. (21,6) Два независимых решения линейного дифференциального уравнения (21,6): соз аг и з1п аг, так что его общее решение х= с, сонат'+ с, з(п аг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
