Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Из рисунка очевидно, что углы Ог и йг могут быть выражены через угол т формулами нпркгиз столкновнння частиц Значение и' при этом — наибольшее возможное; максимальная энергия, которую может получить в результате столкновения первоначально покоившаяся частица, равна, следовательно, тз 2 ызх 2 (щ, + пзз)з и (17,7) где Е, =из,из/2 — первоначальная энергия налетающей частицы, При ит1 ( тз скорость первой частицы после столкновения может иметь любое направление. Если же из1) итз, угол отклонения летящей частицы не может превышать некоторого максимального значения, соответствующего такому положению точки С (рис. 16,б), при котором прямая АС касается окружности. Очевидно, что з(п 61 ах=ОС/ОА, В или з)п 6,,„= лтт7из,. (17,6) Особенно просто выглядит столкновение частиц (из которых одна первоначально покоится) с Рис.
17 одинаковыми массами. В этом случае не только точка В, но и точка А лежат на окружности ',(рис. 17). При этом х 6 -х (17,9) и'=псов —, и'=из(ив х . х 1 2' з 2 (! 7,10) Отметим, что частицы разлетаются после столкновения под пря- мым углом друг к другу. 'Задача Выразить скорости обеих частиц после столкновения движущейся части. цы (щ~) с неподвижной (пзз) через их углы отклонения в л-системе, Случаю, когда обе частицы после столкновения движутся по одной прямой («лобовой удар»), соответствует Х = н, т.
е. положение точки С на диаметре слева от точки А (рис. 16, а; при атом р', и р', взаимно противоположны) или между А и О (на рис. 16,б; при этом р', и р', направлены в одну сторону). Скорости частиц после столкновения в этом случае равны (17,6) столкновпния чдстиц 1гл. гв Решение Из рнс. 18 имеем рз — — 2 ° ОЕ ° соева или о = 2о — сон Вз. е е т Длв импульса же р1 АС вмеем уравнение ОС АОз+ р~е — 2АО ° р1 соз В, нли ~) е з о ! 2т о~ т — т — — соз 0~ + О.
о тз о т~+тз Отсюда е т, 1 — + созе т + т — т,з!п 0~ (при т~ > тз перед корнем допустимы оба знака, при тз ~ т~ — знак +1; 5 18. Рассеяние частиц Как было уже указано в предыдущем параграфе, полное определение результата столкновения двух частиц (овределенне угла 11) требует решения уравнений движения с учетом конкретного закона взаимодействия частиц.
В соответствии с общим правилом будем рассматривать сначала эквивалентную задачу об отклонении одной частицы с массой пз в поле 11(г) неподвижного силового центра (расположенного в центре инер« ции частиц). Как было указано в $14, о,1ек Р~ траектория частицы в цент- — — ральном ноле симметрична по Рвс. !8 отношению к прямой, прове- денной в ближайшую к центру точку орбиты (ОА на рис. 18).
Поэтому обе асимптоты орбиты пересекают указанную прямую под одинаковыми углами. Если обозначить эти углы посредством фз, то угол и отклонения частицы при ее пролете. мимо центра есть, как видно из рисунка, К = ( зс — 2то!. (18,1) Угол же 1ро определяется согласно (!4,7) интегралом (!8,2) ~~12т ~Š— У (г)! Рассвяиив чхбтнц взятым между ближайшим к центру и бесконечно удаленным положениями частицы. Напомним, что г ы является корнем выражения, стоящего под знаком радикала. При инфинитном движении, с которым мы имеем здесь дело, удобно ввести вместо постоянных Е и М другие — скорость и частицы на бесконечности и так называемое прицельное расстояние р.
Последнее представляет собой длину перпендикуляра, опущенного из центра на направление ч, т. е. расстояние, иа котором частица прошла бы мимо центра, если бы силовое поле отсутствовало (рис. 18). Энергия и момент выражаются через эти величины согласно Е=тоз,Г2, М=шро, (18,3) а формула (18,2) принимает вид ОО Иг Р „ъ Рь / ~ зц Р ! — —— ~м ~/ г2 „з О\ (18,4) где и — число частиц, проходяших в единицу времени через единицу площади поперечного сечения пучка (мы предполагаем, естественно, что пучок однороден по всему своему сечению).
Это отношение имеет размерность площади и называется эффективным сечением рассеяния, Оио всецело определяется видом рассеивающего поля и является важнейшей характеристикой процесса рассеяния. Будем считать, что связь между )( и р — взаимно однозначна; зто так, если угол рассеяния является монотонно убывающей функцией прицельного расстояния. В таком случае рассеиваются в заданный интервал углов между т, и )(+ ф лишь те частицы, которые летят с прицельным расстоянием в определенном интервале между р(т) и р(т)+др(т1.
Число таких Вместе с (18,1) она определяет зависимость у от р. В физических применениях приходится обычно иметь дело не с индивидуальным отклонением частицы, а, как говорят, с рассеянием целого пучка одинаковых частиц, падающих на рассеивающий центр с одинаковой скоростью и .
Различные частицы в пучке обладают различными прицельными расстояниями и соответственно рассеиваются под различными углами д. Обозначим посредством дЖ число частиц, рассеиваемых в единицу времени на углы, лежащие в интервале между )( и Х+ 4~. Само по себе это число неудобно для характеристики процесса рассеяния, так как оно зависит от плотности падающего пучка (пропорционально ей). Поэтому введем отношение сЬ = ЕМУ, (18,5) столкновиния частиц !гл. ш частиц равно произведению л иа площадь кольца между окруж. настями с радиусами р и р+ с(р, т, е. сИ = 2лр с(р и. Поэтому аффективное сечение сЬ = 2нр с(р.
(18,6) Чтобы найти зависимость эффективного сечения от угла рас. сеяния, достаточно переписать это выражение в виде г( =2Ч (Х)! Р„х ~с(Х. (18,7) (18,8) Возвращаясь к фактической задаче о рассеянии пучка частиц не иа неподвижном силовом центре, а на других первоначально покоившихся частицах, мы можем сказать, что формула (18,7) определяет эффективное сечение в зависимости от угла рассеяния в системе центра инерции. Для нахождения же эф* фективного сечения в зависимости от угла рассеяния 9 в лабо« раториой системе надо выразить в этой формуле Х'через О согласно формулам (17,4), При этом получаются выражения кан для сечения рассеяния падающего пучка частиц ()( выражено через 8!), так и для частиц, первоначально покоившихся ()( выражено через Оз).
Задачи 1. Определить аффективное сечение рассеяния частиц от абсолют* но твердого шарика радиуса а(т.е. пря законе взаимодействия (г' = ео при г ( а и у = О при г ) а). Р е ш е н и е. Так как вне шарвка Рнс. 19 частица движется свободно, а внутрь него проникнуть вообще не может, то траектория складывается из двух прямых, расположенных симметрич. но относительно радиуса, проведенного в точку их пересечения с шарипом (рнс. 19).
Как видно нз рясунка, и — Х х р а з!п фз а з!и — а соз —. 2 г ') Если функцяя р'(Х) многозначна, то надо, очевидно, взять сумму, таких выражения по всем ветввм втой фуннции. Мы пишем здесь абсолютное значение производной с(р/г(Х, имея в виду, что она может быть отрицательной (как это обычно бывает) '). Часто относят г(а не к элементу плоского угла с(Х, а к элементу телесного угла Но. Телесный угол между конусами с углами раствора (( и )(+ цгХ есть с(о =2пз(п Хдх. Поэтому имеем из (18,7): эасснянип частиц 4 нй Подставляя в (18,7) нлн '(18,8), получнмк па' и' 2(н — з!и Х!(Х вЂ” 2(о, 2 4 т. е.
в ц-снстеме рассеяние нзотропно. Интегрируя !(и по всем углам, найдем, что полное сечение а = па' в соответствнн с тем, что лрицзльнал плон!пдь, в которую должна попасть частица для того, чтобы вообще рассеяться, есть плошаль сечения шарика. Для перехода к л-снстеме надо выразить Х через О! согласно (17,4). Вычисления полностью аналогичны произведенным в задаче 2 $ 18 (ввиду формального сходства формул (17,4) н (16,5)). Прн т! ( гпз (т! — масса частнц, тз — масса шариков) получим: н! ! + — сов 20, ! т! т2 2 — созб, + Лгз 2 ! ! — — з!и* 8! 2п 2 ° а' Йт! 4 !го! (!(о! =2п з!и О!!20!). Волн же в!2 < то то 2 1+ — соз 20, ! пз !и', !(о! 2 л! 1 — — з!па О, ! тз !(о!.
Прн т! = тз имеем: 2(о! = аз ) соз 0, ( !(о„ что можно получить н прямой подстановкой Х = 20, (согласно (17,9)) в (!). Для первоначально покоившихся шариков имеем всегда Х и — 202, н подстановка в (Ц дает; !(оз аз (сов 02( !(оь 2. Для того же случая выразвть эффектнвное сечевне как функцню энер. гнв а, теряемой рассенваемымн частнцамн. Решение. Эчергня, теряемая частицей т!, совпадает с энерг2шй, прм обретаемой частицей та. Согласно (17,5) н (17,7) имеем: 2 Е Ез З О ч З!П ВП!Зз З!П 2"згтг 2 2 Х 2Х (т +та)з " 2 Охнула ов г)замах з!и Х !2Х. в, подставляя в формулу (1) задачн 1, получим! !2а !го па' —. Ва!зх Распределение рассеянных частиц по значенннм в оказывается однородным во всем интервале в от нуля до в , .
3. Как зависят эффектнвнае сеченве от скорости э частиц нрн рассеянна в поле У со г СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ У0 Рею ен не. Согласно (!0,3), если потенциальная энергия есть однород. пая функция порядка й = — л, то для подобных траекторий р оз и згл или Р о 1(2) (углы отклонения )( для подобных траекторий одинаковы). Подставляя в ;(18,6), найдем, что лосос «айо. 4. Определить эффективное сечение для «паденияз частиц на центр поля У = — а/г'. Решение, «Падаютз на центр те частицы, для которых выполняется усапвие 2а>глр о (см. (14,11)), т.е. у которых прицельное расстояние не 2 т превышает значения р,„= Ч/2а/мс„,. 3 Поэтому искомое эффективное се чение 2ла о пр шач З гло, 6.
То же з поле У вЂ” а/г" (ч ~ 2, а ° О). Решеняа Зависимость эффектна. ной потекциальной энергии я~р о т т У,ээ- Рис. 20 от г имеет вид, изображенный иа рис. 20 с максимальным значением (л — 2)а( шр о 2 «Падают» на центр те частицы, у которых У«< Е. Определяа р „из уело. вия У« = Е, получико 6. Определить аффективное сечение для падения частиц (с массами т,) на поверхность сферического тела (с массой тз и радиусом )г), к которой оии прнтигиваются по закону Ньютона.
Решение. Условие падеаия заключается в неравенстве гш ( )1, где г,„— ближайшая к центру сферы точка траектории частицы. Наибольшее допустимое значение р определяется условием г«и = Ю, что сводится к ре. шеиию уравнения У,зеф) Е илн 2 3 г шР Рюаа а т~о~ 2Е )с 2 Рлссиянии члбтмц ~- )( (1+ '™,*).
Прн и -ьаа эффективное сечение стремится, естественно, к геометрической площади сечения сферы. 7. Восстановить вид рассеивающего поля (г(г) по заданной зависимости эффективного сечения от угла рассеяния при заданной знергии Е; предпола. гаегся, что 0(г) — монотонно убывающая функция г (поле отталкивания), причем (/(0) ) Е, 0(аа) = О. (О. Б.
Фирсов, 1933.) Решение. Иитегрировавие г(п по углу рассеиння определяет согласно формуле — ЫХ=прз Ип '(Х квадрат прицельного расстояния, так что функцию р(Х) (з с ней и Х(р)) тоже можно считать заданной. Вводим обозначения: з 1/г, х 1/р', ш ч/1 1 — ()/Е. (2) Тогда формулы (18,1), (18,2) запишутся в виде и — Х(х) ( пз .) (/хшз-зз ' о (3) где зо(х) — кореяь уравнения хю ('о)-хо=О. з Уравнение (3) — интегральное уравнение для функции ш(з); его можно решить методом, аналогичным использованному в й 12.
Разделив обе сто. роны (3) иа Ч/а — х н проннтегрировав по дх в пределах от нуля до а, найдем: а зг(х) я — Х (х) бх с(з г(х й ~т-т 1 1 ч*. -*ч(' — — — ч ж(а) а Ых Из Ч/(хюз — зз) (и — х) о х(ж) ж (а) или, интегрируя по частям в левой стороне равенства". а ж (а) г(Х Г г(з м Ч/й — ~ Ч/а — х — бх и г(х 3 ю' Полученное соотношение диффереицируем по а, после чего вместо зэ(и) пишем просто з, соответственно чему заменяем и на зз/юз) написав равенство причем а = ушгшз '(у — гравитационная постоянная), и мы псаожили и яз ть считая, что ш, л ш(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
