Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 14
Текст из файла (страница 14)
1 т Интегрируя его, получим решение уравнения '(22,8) в виде (22,10) ') Меняется также епостоянный» член я фазе колебаний. вынужденные колеалния где постоянная интегрирования $е представляет собой значе ние й в момент времени 1= О. Это и есть искомое общее решение; функция х(1) дается мнимой частью выражения (22,10) .',(деленной на от)'). Энергия системы, совершающей вынужденные колебания, разумеется, не сохраняется; система приобретает энергию за счет источника внешней силы, Определим полную энергию, передаваемую системе за все время действия силы (от — оо до +со), предполагая начальную энергию равной нулю.
Согласно формуле (22,10) (с нижним пределом интегрирования — со вме. сто нуля и с й( — оо)=0) имеем при Г- со: Я 1$(оо) (т= — $ Р(т)е-""с(( С другой стороны, энергия системы как таковой дается выра~ жением Е= — (х'+~Ът) = — (В1'. (22,11) Подставив сюда 1$(оо) (э, получим искомую передачу энергии в виде я ! (тм.-'-й/и 1 йлз (22,12) Этот результат заранее очевиден: он выражает собой тот факт, что кратковременная сила сообщает системе импульс ~ Р с(т, не успев за это время произвести заметного смешения. Задачи 1. Определить вынужденные колебании системы под влиянием силы Рр), если в начальный момент т = О система поноитсн в положении равновесия (х = О, а = О) дли случаев а) Р = сопз( = Рь ') При этом, разумеется, сила Р(т) должна быть написана в вещественном виде.
она определяется квадратом модуля компоненты Фурье силы Р(() с частотой„ равной собственной частоте системы. В частности, если внешняя сила действует лишь в течение короткого промежутка времени (малого по сравнению с 1/та), то можно положить е-'"' ж 1. Тогда (гл. К В!АЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ Ответ: х=* — (! — сова!); действие постоянной силы приводят к таз смвненню полозкенна равновесии, вокруг которого происходит колебания, б)Р= а1, а О т в е т: х — (в1 — зш вг).
таз в)Р Ре ог. Ответ: х= Рв г -«1 а т(аз+аз) ч ччв — соз в1 + — з!п а1). а г) Р Р,е-'"сов РА Ответ: Ре Х (( з+ з ()з)з+ 4 з(!з) ( (в + а — р ) соз в1+ + — (аз+ аз+()з) з!и а1+ е сс [(аз+ а' — Оз) соз О1 — 2а)) зш ))1) ~ (при решеняи удобяо писать силу в комплексном виде Р Рзе! о+За!г). 2. Определить конечную амплитуду колебаний системы после действия внешней силы, меняющейся по аакону Р= О прн 1( О, Р= Рз()Т при О ( 1 Т, Р= Р, нри 1) Т (рис. 24)! Р до момента 1 О система покоится в положении равшжесиа Решение.
В ннтервале времени 0~1 ~ Т колебанна, удовлетворяю. щне начальному условию, имеют вид х — (а1 — а!и а1). Ро тТ вз Прн 1) Т ищем решение в виде Ро х =с% сова(1 — Т) +аз айза(1 — Т)+ — %; та Из условий непрерывности х и х пря 1 = Т находим! Рз с, = — — з!и вТ, с, — (! — соз аТ). т Таз т Тв' При атом амплитуда колебаний 2ре . в1' а л!/с +с ~ з1п Ч! х туа. 2 Отметим, что она тем меньше, чем медленнее «включается» сала Рч (т.е. чем больше Т). 3. То же в случае постоянной силы Рч, действукнцей в течение ограни.
чениого времени Т (рис. 25). 2м1 колевлния систем со многими степенямн своводы 67 Р е ш ен и е можае найти как в задаче 2, но еще проще воспользоваться формулой (22,10). Прв» > Т имеем свободные ковебаиня вокруг положешя к 0; при атом г — ое»он1е»е»»(» о (! — е»ат)оь»; л» о »еоа о квадрат же модуля $ дает амплитуду согласно формуле 1Яо = аоео. В результате находам: йг"о еТ а — з»п —, те' 2' 4. То же в случае сялы, действующей в течение времени от нуля до Т~ но закону г" РоИТ (рнс. 26). Рнс. 26 Рнс.
27 Решение. Тем же способом получим: а — чУе»Т» — 2еТ Мп еТ+ 2(1 — созеТ). Ро Тамо 6. То же в случае силы, меняющейся в течение времени от нуля до Т 2яуе по закову г" гое»пе» (рис. 27). Решение. Подставив в (22,10) г" (») "роз!пе» вЂ” '(еа — е 2» и проинтегрировав от нуля до Т, получвм» а г"ои/шее. 5 23. Колебания систем со многими степенями свободы Теория свободных колебаний систем с несколькими (л) сте.
пенями свободы строится аналогично тому, как были рассмотревы в $21 одномерные колебания, Пусть потенциальная энергия системы У как функция обоб. п(еиных координат »7» (! = 1, 2, ..., а) имеет минимум прн »7» = дш. Вводя малые сме»пения (23,1) «» = »7» Ч»о МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1ГЛ, Ч и разлагая по ним 0 с точностью до членов второго порядка, получим потенциальную энергию в виде положительно опреде ленной квадратичной формы 1Ч 0= — „~ йг»х1хы 2 ~~> В кинетической же энергии, которая имеет в общем случае вид — 1г» (р) фн) (см. '(5,5)), полагаем в коэффициентах д1=дм и, обозначая постоянные а~»(д») посредством лн», получаем ее в виде положительно определенной квадратичной формы тХ 1 (23,3) ь» Коэффициенты лп» тоже можно всегда считать симметричными по индексам Л»1» = Л»»1 Таким образом, лагранжева функция системы, совершающей свободные малые колебания: 1 ч-~ 1.
= 2 ~ (тр,х,х» — й,»х1х»). (23,4) Составим теперь уравнения движения. Для определения входящих в ннх производных напишем полный дифференциал функции Лагранжа 1 ч» Н. = — р (т,»х» дх»+ т»»х» 1(х, — й,»х, 1(х» — й,»х» дх,). Поскольку величина суммы не зависит, разумеется, от обозяачения индексов суммирования, меняем в первом и третьем членах в скобках ( на й, а й на й учитывая при этом симметричность коэффициентов т;» и й~», получим: п1 = ~~~ (т1»х» ох» йг»х» Лх1), и» где мы снова отсчитываем потенциальную энергию от ее минимального значения.
Поскольку коэффициенты й;» и й»~ входят в (23,2) умноженными на одну и ту же величину х;хы то ясно, что их можно всегда считать симметричными по своим индексам йы=йы, » Щ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СБОГОДЫ Зв Отсюда видно, что дЬ' Ч~ — =~ тг»хм де»..г дЬ д = Х й'»х' дх Поэтому уравнения Лагранжа т,»х»+ Х й,»х»=0. (23,5) Оии представляют собой систему е(1=1, 2...„з) линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
По общим правилам решения таких уравнений ищем з не. известных функций х»(1) в виде х» — — А„еия (23,6) где А, — некоторые, пока неопределенные, постоянные. Подставляя '(23,6) в систему (23,5), получаем по сокрашении на е' ' систему линейных однородных алгебраических уравнений, которым должны удовлетворять постоянные А». 7, (- ы»т,»+ й„) А» = О.
(23,7) Для того чтобы эта система имела отличные от нуля решения, должен обращаться в нуль ее определитель 1 йы — ь»»тщ ! = О. (23,8) Уравнение '(23,8) — так называемое характеристическое уравнение — представляет собой уравнение степени е относительно гэ». Оно имеет в общем случае з различных вещественных положительных корней»»',, а= 1, 2, ..., з (в частных случаях не-' которые из этих корней могут совпадать).
Определенные таким образом величины ыи называются собственными частотами системы. Вещественность и положительность корней уравнения (23,8) заранее очевидны уже из физических соображений. Действи. тельно, наличие у»» мнимой части означало бы наличие во временной зависимости координат х» (23,6) (а с ними и скоростей х») экспоненцнально убывающего или экспоненциально возрастающего множителя.
Но наличие такого множителя в данном случае недопустимо, так как оно привело бы к изменению со временем полной энергии Е = (7+ Т системы в противоречии с законом ее сохранения. В том же самом можно убедиться и чисто математическим путем, Умножив уравнение (23,7) на А', и просуммировав затем по 1, получим: „»т„+й,„) А;А„=О, мллын колнвдния [гл. ч (23,10) ') Положительная определенность квадратичной формы, построенной на иовффипнентах йм, очевидна иа их определении в (23,2) для вептественных вначений переменных.
Но если написать комплексные величины А» в явном виде как о»+Й», то мы получим (снова в силу симметричности Ф.»): й~»А~А» ~ й~»(а — тЬт)(ой+ тЬ») ~ Ь~»а;ай+ Ч~~~~ Ь~»Ь~Ь», с й ей 1» ! я,е. сумму двух положительно определенных форм, откуда Ь~»А,А» С' 'пт»АА» Квадратичные формы в числителе и знаменателе этого выражения вещественны в силу вещественности и симметричности коэффициентов й~» и т~», действительно, ( Е йг»А;А 1 = Е й; А,А' = ~' й ЬА;А' = ~ йг»А А; Они также существенно положительны, а потому положительно н аР").
После того как частоты от найдены, подставляя каждое из них в уравнения (23,7), можно найти соответствующие значе. ния коэффициентов А». Если все корни ета характеристического уравнения различны, то, как известно, коэффициенты А» пропорниональпы минорам определителя (23,8), в котором ат заменена соответствующим значением аа; обозначим этн миноры через Л»а. Частное решение системы дифференциальных уравнений (23,5) имеет, следовательно, вид тват «й ст»аСав где С вЂ” произвольная (комплексная) постоянная. Общее же решение дается суммой всех з частных решений.
Переходя к вещественной части, напишем его в виде а «й = Ке ~ ~' »хю Сов~4 = ~' Айач (23,9) а ! Р а где мы ввели обозначение чт, = тте (С,е "а ). Таким образом, изменение каждой нз координат системы со временем представляет собой наложение з простых перно. дических колебаний 9ь Йя, ..., 9, с произвольными амплитудами и фазами, но имеющих вполне определенные частоты.
Естественно возникает вопрос, нельзя ли выбрать обобщенные координаты таким образом, чтобы каждая из них совершала только одно простое колебание? Самая форма общего интеграла (23,9) указывает путь к решению этой задачи. а ю) колеБАиия систем со мнОГими степенями сВОБОды зг В самом деле, рассматривая з соотношений (239) как систему уравнений с з неизвестными величинами 8, мы можем, разрешив эту систему, выразить величины Оь Вг, ..., 6, через координаты яи яг, ..., х,.
Следовательно, величины 9 можно рассматривать как новые обобщенные координаты. Эти координаты называют нормальными (нли главными), а совершаемые ими простые периодические колебания — нормальными колебаниями системы. Нормальные координаты 6 удовлетворяют, как это явствует нз их определения, уравнениям б +аа6 =О. (23,11) Это значит, что в нормальных координатах уравнения движения распадаются на з независимых друг от друга уравнений.
Ускорение каждой нормальной коордпиаты зависит только От значения этой же координаты, н для полного определения ее временной зависимости надо знать начальные значения только ее же самой и соответствующей ей скорости. Другими словами, нормальные колебания системы полностью независимы. Из сказанного очевидно, что функция Лагранжа, выражен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
