Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 17
Текст из файла (страница 17)
я (25,11) называемой диссилативной функииеи. Силы (25,10) должны быть добавлены к правой стороне уравнений Лагранжа Н дг. дЬ дР д1 дх дх дх (25,12) дт Ж~~ дх ) 1.ю (ит дх дх) ~х дх Поскольку г' — квадратичная функция скоростей, то в силу теоремы Эйлера об однородных функциях сумма в правой сто. роне равенства равна 2г". Таким образом, дŠ— = — 2Р е'т т е. скорость изменения энергии системы дается удвоенной диссипативной функцией.
Так как дисснпативные процессы приводят к уменьшению энергии, то должно быть всегда Р ) О, т. е. квадратичная форма (25,11) существенно положительна. 1) Си. «Статвстячееяая фнзякя», 3-е иях., $121, Диссипативная функция имеет сама по себе важный физический смысл — ею определяется интенсивность дисси наци и энергии в системе. В этом легко убедиться, вычислив производную по времени от механической энергии системы. Имеемт Э вя вынь ждянныв колввдння пеи наличии таяния 1ОЗ Положив в этих уравнениях ' хд=Аде", получим по сокращении на е" систему линейных алгебраических уравнений для постоянных Ад х' (т,дгд+ амг+ йгд) Ад — — О. (25,15) Приравняв нулю определитель этой системы, найдем характеристическое уравнение, определяющее значения г: 1тгдг'+ аыг+ йд1=0.
(25,16) Это — уравнение степени 2з относительно г. Поскольку все его коэффициенты вещественны, то его корни либо веществен. ны, либо попарно комплексно сопряжены. При этом вещественные корни непременно отрицательны, а комплексные имеют отрицательную вещественную часть. В противном случае координаты н скорости, а с ними и энергия системы экспоненциально возрастали бы со временем, между тем как нали. чие диссипативных снл должно приводить к уменьшению энергии, й 26.
Вынужденные колебания при наличии трения Исследование вынужденных колебаний при наличии трения вполне аналогично произведенному в $ 22 рассмотрению коле. баний без трения. Мы остановимся здесь подробно на представляющем самостоятельный интерес случае периодической вынуждающей силы. Прибавив в правой стороне уравнения (25,1) внешнюю силу 1соз у1 и разделив на т, получим уравнение движения в виде х + 2Лх + едх = — соз у1, 1 т (26,1) Решение этого уравнения удобно находить в комплексной форме, для чего пишем в правой части е'т' вместо сов уй х+ 2Лх+ в~~х = — е~т~. т Частный интеграл ищем в виде х = Ве'т' и находим для Вд В= (26,2) т (ад — т'+ ШЛт) Уравнения малых колебаний при наличии трения получают. ся добавлением сил (25,8) в правую сторону уравнений (23,5)д ~'., т,дхд+ ~ йгдхд = — ~ а,дхд.
(25, 14) МАЛЫЕ КОЛЕЬАНИЯ 104 !ГЛ. 1Г Представив В в виде Ье'е, имеем для Ь и 6: е ~(вее — у«) + 4А у У во Наконец, отделив вещественную часть от выражения Ве~~= = Ье"У'+в,получим частный интеграл уравнения (26,1), а прибавив к нему общее решение уравнения без правой части (которое мы напишем для определенности для случая ве ) Х), получим окончательно: х=ае ~~сов(в1+ а) + Ь сов(у1+ Ь). (26,4) Первое слагаемое зкспоненциально убывает со временем, так что через достаточно большой промежуток времени остается только второй член: х = Ь соз (у( + Ь). (26,5) Выражение '(26,3) для амплитуды Ь вынужденного колебания хотя и возрастает при приближении частоты у к ве, но не обращается в бесконечность, как зто было при резонансе в отсутствие трения.
При заданной амплитуде силы 7 амплитуда .«-- - ° --. в. - ° ° «- «Я:««*; .«. «.« « ве зто значение отличается от ве лишь на величину второго порядка малости. Рассмотрим область вблизи резонанса. Положим у = ве + ь, где е — малая величина; будем также считать, что Х « ве.
Тогда в (26,2) можно приближенно заменить: У в»=(У+ ве) (У во) 2вое 2(ЛУ = 2йво, так что (26,6) 2т (е — гх) во или Ь= ', 166= — '". 2вв, ~/е«+ Х' е (26,7) Отметим характерную особенность хода изменения разности фаз б между колебанием и вынуждающей силой прн изменении частоты последней. Эта разность всегда отрицательна, т, е. колебание «запаздывает» относительно внешней силы. Вдали от резонанса, со стороны у ве, 6 стремится к нулю, а со стороны у ) во — к значению -л. Изменение 6 от нуля до — я происходит в узкой (ширины Х) области частот, близких к ве; через значение -и/2 разность фаз проходит прн у = ее.
Отметим в втой связи, что в отсутствие трения изме« пение фазы вынужденного колебания на величину п происхо. 4 м3 вынужденные кОлеБАния ПРи нАличии ТРения шз дит скачком при т = вв (второй член в (22,4) меняет знак); учет трения «размазывает» этот скачок. При установившемся движении, когда система совершает вынужденные колебания (26,5), ее энергия остается неизменной. В то же время система непрерывно поглощает (от источника внешней силы) энергию, которая диссипируется благодаря наличию трения. Обозначим посредством 1(у) количество энергии, поглощаемой в среднем в единицу времени, как функцию частоты внешней силы.
Согласно (25,13) имеем: 1(у) =2Р, где Р— среднее (по периоду колебания) значение диссипативной функции. Для одномерного движения выражение (25,П) диссипативной функции сводится к Р=ахв/2 =Ллвх». Подставив сюда (26,5), получим: Р = ЛтЬ'ув зшв (у1 + Ь). Среднее по времени значение квадрата синуса равно '/в поэтому 1(у) = ЛтЬ'ув. (26,8) Вблизи резонанса, подставляя амплитуду колебания из (26,7), имеем: 1(е) =— (26,9) 4ав в + А Такой' вид зависимости поглощения от частоты называется дисперсионным. Полушириной резонансной кривой (рис.
31) называют значение ~е), при ко- 1/1 (0) тором величина 1(е) уменьшается вдвое по сравнению с ее максимальным значением при е = О. Из формулы (26,9) видно, что в данном случае эта полуширина совпадает с показателем затухания Л. Высота же максимума -А а х 1(О) = /в/4 Л нвс 31 обратно пропорциональна Л. Таким образом, при уменьшении показателя затухания резонансная кривая становится уже и выше, т. е, ее максимум становится более. острым. Площадь же под резонансной кривой остается при этом неизменной. Последняя дается интегралом аа ° о ~1(у)<1у= ~ 1(е) де.
о ~а Поскольку 1(е) быстро убывает при увеличении )е), так что 106 агллые кОлеБАния 1гл. и область больших 1е( все равно не существенна, можно при интегрировании писать 7(в) в виде (26,9), а нижний предел заменить на — со. Тогда О ОЭ 4т ~ вт+)Р 4лг ' (26,10) Задача Определи~ь вынужденные колебания прн наличии трения под действием внешней силы /=)ге"гсозуа Р с шеи н а Решаем уравнение движения в комплексном виде 2 ) 2хв ! ыгк Уг еег+гтг о щ после чего отделяем вещественную часть решения.
В результате получаем вынужденное колебание в виде к = Ьеш соз (ут + б), где шл/(ысг+ а — у + 2а)г) + 4у (а+ Х) 2у !а+ )г) юсг — У + а + 2а)Г В 27. Параметрический резонанс Существуют такие незамкнутые колебательные системы, в которых внешнее воздействие сводится к изменению со временем ее параметров '). Параметрами одномерной системы являются коэффициенты т и й в функции Лагранжа (21,3); если они зависят от времени, то уравнение движения гласит: — (иИ)+ йх=О. (27,!) Путем введения вместо 1- новой независимой переменной т согласно Ж = аунг(1) зто уравнение приводится к виду пгк —, + тйх= О. г)тг Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, достаточно рассмотреть уравнение движения вида —,„+ шг (1) х = О, (27,2) которое получилось бы из (27,!) при т = сопз!.
') Простым примером такого рода является маятник, точка подвеса ко. торого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направч ленин (см. задачу 3), плплметпичкскии пезонлнс (бт Внд функции ш(1) задается условиями задачи; предположим, что эта функция периодическая с некоторой частотой у (н периодом Т = 2п/у). Это значит, что в (С + Т) = в(1), а потому и все уравнение (27,2) инвариантно по отношению к преобразованию 1-ьС+ Т. Отсюда следует, что если х(1) есть решение уравнения, то и функция х(1+ Т) тоже есть решение, Другими словами, если хг(1) н хв(1) — два независимых инте« грала уравнения (27,2), то при замене Сь 1+ Т онн преобразуются линейным образом друг через друга.
При этом можно ') выбрать х1 и хв таким образом, чтобы их изменение при замене 1 на 1+ Т сводилось просто к умножению на постоянный множитель х, (С+ Т) = )ь1хг (1), хя(1 + Т) = )гвхв(С). Наиболее общий вид функций, обладающих таким свойством, есть х, (1) = )ь~ "П, (С), хв(1) = )ьа Пя (1). (27,3) где Пг (1) н Пя(1) — чисто периодические функции времени (с периодом Т). Постоянные )а1 и )св в этих функциях должны быть связаны друг с другом определенным соотношением, Действительно, умножив уравнения х, + шт(1) х, = О, Ув+ ют (1) хя = О соответственно на хв и х~ и вычтя их почленно одно нз другого, получим: С х,х, — х,х, = — (хгхв — х,х) =О или Хгхв — Х|Х, = СОПЗ(. (27,4) Но при любых функциях хг'(1) н хв(1) вида (27,3) выражение в левой стороне этого равенства умножается на )г1ря прн изменении аргумента 1 на 1+ Т.
Поэтому ясно, что соблюдение равенства (27,4) во всяком случае требует, чтобы было )с~)ьв= ) ° (27,5) Дальнейшие заключения о постоянных )ьь )гя можно сделать, исходя из факта вещественности коэффициентов уравнения (27,2). Если х(1) есть какой-либо интеграл такого уравнения, то 1) Этот выбор эквивалентен приведению к диагональному виду матрицы линейных преобрааованна л~(С) и ле(С), что требует решения соответствующего секулнрного квадратного уравнения. Мы предполагаем, что корни етого уравнения не совпадают, 108 мдлые колевдния !гл. о и комплексно сопряженная функция х'(1) должна удовлетворять тому же уравнению.
Отсюда следует, что пара постоянных )зь )ся должна совпадать с парой )сь )зз, т. е. должно быть либо )з, =рз, либо )з, и )зз вещественны. В первом случае, учитывая (27,5), имеем )с,=1~)сь т. е.))з,(з=))зз)з=1; постоянные )4 и )зз по модулю равны единице. Во втором же случае два независимых интеграла уравнения (27,2) имеют вид х,(1)=)з'П,(1), хз(1)=)з 'Вз(1) (27,б) с отличным от единицы положительным или отрицательным вещественным числом )с. Одна из этих функций (первая или вторая прн ))з)) 1 или 1р~(1) экспоненциально возрастает со временем. Это значит, что состояние покоя системы (в положении равновесия х = 0) будет неустойчивым: достаточно сколь угодно слабого отклонения от этого состояния, чтобы появившееся смешение х стало быстро возрастать со временем. Это явление называется параметрическим резонансом.
Обратим внимание на то, что при строго равных нулю начальных значениях х и х они оставались бы равными нулю н в дальнейшем в отличие от обычного резонанса ($ 22), в котором возрастание смещения со временем (пропорциональное 1) происходит и от равного нулю начального значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
