Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Выясним условия возникновения параметрического резонанса в важном случае, когда функция оз(Г) мало отличается от некоторой постоянной величины ото и является простой пе. рнодической функцией озз(1) =озт(! + Ь сов у1), где постоянная Ь ~ 1 (мы будем считать Ь положительной, чего всегда можно добиться надлежащим выборомт начала отсчета времени). Как мы увидим ниже, наиболее интенсивным образом параметрический резонанс возникает, если частота функции оз(1) близка к удвоенной частоте озо. Поэтому положим: у =2ао+ а, где е чГ озо.
Решение уравнения движения') х + озо (1+ Ь соз (2юо+ е) 1] х 0 (27,8) будем искать в виде х=а(1)сов(гво+ в )1+0(1) з)п (оз + в ) т (27 о) ~) Уравнение такого вида (с произвольными т и 8) называются в мате. ) мвтической физике урввиеиием Матье. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ РЕЗОНАНС 109 где а(1) и Ь(1) — медленно (по сравнению с множителями соз и з)п) меняющиеся функции времени. Такой вид решения, разумеется, ие является точным.
В действительности функция х(1) содержит также члены с частотами, отличающимися от во+е/2 на целое кратное от (2во+ е); эти члены, однако, высшего по- рядна малости по И, и в первом приближении ими можно пренебречь (см. задачу 1). Подставим (27,9) в (27,8) и произведем вычисления, сохраняя лишь члены первого порядка по е. При этом предположим, что Й аа, Ь еЬ (правильность этого предположения в условиях резонанса подтвердится результатом).
Произведения тригонометрических множителей разложим в суммы соз (во + — ) Г ° соз (2во + а) Г = = — соз (Зво + — ) т + — соз (во + 2 ) т и т. п. и в соответствии со сказанным выше опустить члены с частотами З(во+ е/2). В результате получим: — (2а+Ье+ з Ь)воз!и (во+ — )1+ + (26 — аа+ 2 а) во сов (во+ — ) 1=0. Выполнение этого равенства требует одновременного обращения в нуль коэффициентов при каждом из множителей з!п и соз. Отсюда получаем систему двух линейных дифференциальных уравнений для функций а(1) и Ь(1).
Следуя общим правилам, ищем решение, пропорциональное е". Тогда за+ 2 (а+ й )Ь вЂ” О 1 т' авоч — (а — — ) а — зЬ=О, 2 к 2 / и условие совместности этих двух алгебраических уравнений дает: (27,10) У9ЛОВНЕ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПЕРаМЕттРИЧССКРГО РЕЗОНаиеа ЗаКЛЮ- чается в вещественности з 1т. е, з > О)'). Такйм ооразом, ои имеет место в интервале -Ьво/2 < а < йво/2 (27,'1) ~) Постоянная В я '127,6) связана с з носредстном)з -езвм (прн зз мене з на с+ 2я)2вз сок н з)н н 127,9) меняют знак), ио (гл, ч МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ вокруг частоты 2юе').
Ширина этого интервала пропорциональна й, и такого же порядка осуществляющиеся в нем значения показателя усиления колебаний л. Параметрический резонанс имеет место также при частотах у изменения параметра системы, близких к значениям вида 2ео/гэ, где а — любое целое число. Однако ширина резонансных областей (областей неустойчивости) с увеличением п быстро уменьшается — как л» (см.
задачу 2). Так же уменьшаются и значения показателя усиления колебаний в них. Явление параметрического резонанса существует и при наличии слабого трения в системе, но область неустойчивости при этом несколько сужается. Как мы видели в $25, трение приводит к затуханию амплитуды колебаний по закону е-"'. Позтому усиление колебаний при параметрическом резонансе происходит, как еы-ю! (с положительным з, даваемым реше. кием задачи без трения), а граница области неустойчивости определяется равенством з — 7! = О.
Так, используя л из (27,10), получим для резонансной области вместо (27,11) неравенства — !!("! )' — 4!'(,( ь!( (— "') — !!'. (27,!2) Обратим внимание на то, что при этом резонанс оказывается возможным не при сколь угодно мйлой амплитуде л, а лишь начиная с определенного «порога» йю равного в слу. чае (27,12) йэ=4Ч Можно показать, что для резонансов вблизи частот 2ше/л величина порога Й„пропорциональна )э !7", т. е. возрастает с увеличением п.
Задавя 1. Определить границы области неустойчивости прн резонансе вблизи у 2юэ с точностью до величин порядка й'. Решен не. Ищем решение уравнения (27,8) з виде зх / е~ л ~ а соз еэ+ — ) 1+ Ьэ з(п ~юэ+ — ) 1 + э,',) 2) зх зь +а, созз(юэ+ 2)1+ Ь! з!из 1ьюо+ — ) й учитывая в ием '(по сравнению с (27,9)1 также в элены следующего порядка по Ь. Интересуясь лвшь граннцамв области неустойчнвоств, предполагаем ноэффициенты аэ, Ьэ, аь Ь! постоявнымв (в соотэатстанв с замечанием, еде, ') Если внтересоваться лишь границами областв резонанса (не петере. суясь выражением для з внутри нее), то можно упростить вычисления, заме.
тив, что на этих границах э = О, т. е, коэффициенты а и Ь в (27,9) постоян. иы; при этом мы сразу получим значения е ~йыэ)2, отвечающие границам области (27,11), ИАРАметрнческни РезОнАнс !Н ланным в сноске на стр. 110). При подстановке в уравнение (27,8) произведения тригонометрических функций разлагаем в суммы, опуская при этом члены с частотами 5(ыз+е/2), которые нужны были бы лишь в еще более высоком приближении.
Получаем: 1 1~ е' 1 Ьгоз Ьмз е е 0 — аз (газе+ — + — аз+ — а, сов~|ее -1- — 1 ! -1- е ч Ьгзо Ьыо 1 / +~ — Ьз(ыэз+ — ) Ьз+ — Ь!1з!и ~ыз+ — )г+] 4 ) 2 2 3 1„2) " Ьыо + ~ — а — 8е|еа|1созЗ~ыо+ )1+ + ~ — Ьо Змозб!1 и!и 3(ы + — )!=О. 12 3 1 о 2) В членах с частотами оы+ е/2 сохранены величины первого н второго порядка малости, а в членах с частотами З(во+ — 1 — члены первого по- 2/ рядка. Каждое из выражений в квадратных скобках должно обращаться в нуль в отдельности.
Из лвух последних имеем: Ь Ь а, — аз Ь вЂ” Ье !б 16 после чего из двух первых находим| Ь з ез Ьтвз о о ызе ~ — + — — — О. 2 4 32 Решая зто уравнение с точностью до членов порядка Ьз, получим аскоиые граничные значения е: Ьыз е й — — — Азы. 2 32 з. 2.
Определить границы области неустойчивости при резонансе вблизи у = шз. Решение. Написав у = ыю+ е, получаем урзвнение движения Х+ ео (1+ Ь соз (ее + е) !) х = О. Имея а виду, что искомые граничные значения е Ьз, ищем решение в виде х = ао соз (ыз + в) ! + Ьз з!п (ыз + е) ! + а, соз 2 (ыо + е) Г + + Ь| з|п 2 (аз+ е) !+с~ учитывая в нем сразу члены двух первых порядков. Для определения границ неустойчивости снова предполагаем коэффициенты постоянными и получаем: :1 Ьшо 2еэоеао+ 2 а|+ Ам||с! ~сов(ш~|+ е) |+ Ьыоз 1 (, Ь' + ~ 2|еоеЬо+ — Ь!1з!и (Из+ е) (+ ~ -Зеоа|+-у~~о1 соз2(во+ ) !+ з Ьыо Г х Ьыо + ~ Зе|оЬ!+ — Ьо) з!п 2(во+ е)г+ ~ с!во+ 2 о1 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 112 1гл. ч Отсюда находим: й й Ь а» = — ао, Ь! — Ьо. с, = — — ао, 6 ' 6 ' 2 и затем две границы области неустойчнвостн: б 1 в= — — й юо е= — Ь юо.
о о 24 ' 24 3. Найти условия параметрического резонанса для малых колебаний пло* ского маятника с колеблющейся в вертикальном нзпрзвленян точкой подвеся. Р е ш е н в е. По найденной в задаче 3, в) 5 5 функции Лагранжа найдем для малых (ф ~ 1) колебзвнй уравнение двнження Ф + юо (1+ 4 — сов (2юо + з) Г ) ф = 0 ( где юо — — д/!). Отсюда видно, что роль введенного в тексте параметра й з нгрзет отношение 4ат). Условие (27,11), например, принимает внд ! е! ( 2а.т/Х)1~я. 8 28. Ангармонические колебания Вся изложенная выше теория малых колебаний основана на разложении потенциальной н кинетической энергий системы по координатам и скоростям с оставлением лишь членов второго порядка; при этом уравнения движения линейны, в связи с чем в этом приближении говорят о линейньгх колебаниях. Хотя та« кое разложение вполне законно при условии достаточной малости амплитуд колебаний, однако учет следующих приближений (так называемой ангарлтоничносги или нелинейности колебаний) приводит к появлению некоторых хотя и слабых, но качественно новых особенностей движения.
Произведем разложение функции Лагранжа до членов третьего порядка. В потенциальной энергии при этом появятся члены третьей степени по координатам хт, в кинетической же энергии — члены, содержащие произведения скоростей и координат вида х,хьх,; это отличие от прежнего выражения (23,3) связано с оставлением членов первого порядка по х в разложении функций ато(т)). Таким образом, функция Лагранжа бу. дет иметь вид 1 ч 1 ч .. 1 ч = — 1 (лттзхтх» — йгзхтхз) + — ф гттыхтхзхт — — 1 1готхтхохг, гз 2 т. в, т 3 т, з, т (28,)) тде н»зт, !»зт — новые постоянные коэффициенты.
Если от произвольных координат хт перейти к нормальным КООрдИНатаМ (ЛИНЕЙНОГО ПРИ6ЛИжЕНИя) 1',)оь тО В СИЛУ ЛИНЕЙ- ности этого преобразования третья и четвертая суммы в (28,!) Перейдут в аналогичные суммы, в которых вместо координат хо АНГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ из и скоростей х( будут стоять Я и 9а.
Обозначив коэффициенты в этих суммах через Ха()т и раз„, получим функцию Лагранжа в виде (28,2) Мы не станем выписывать полностью следующих из этой лагранжевой функции уравнений движения. Существенно, что они имеют вид 4.+а)'(",=)' ((') Я Ф (28,8) где („— однородные функции второго порядка от координат О и их производных по времени. Применяя метод последовательных приближений, ищем решение этих уравнений в виде (аа Я«и+ Яа ~ (28,4) где Я, а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
