Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Так, при постепенном увеличении частоты внешней силы амплитуда вынужденных колебаний будет возрастать, следуя кривой АВС. В точке С произойдет «срыв» амплитуды, кото. рая скачком упадет до значения, отвечающего точке Е, и затем (при дальнейшем увеличении частоты) будет .меняться вдоль кривой ЕР. Если теперь вновь уменьшать частоту, то амплитуда вынужденных колебаний будет меняться вдоль кривой Р0, в точке 0 скачком возрастает до В и затем будет уменьшаться вдоль ВА. Для вычисления значения )'ь замечаем, что это есть то значение 1„ при котором оба корня квадратного (по Ьв) уравнения (29,5) совпадают; при 1 = Га весь участок СВ сводится к одной точке перегиба.
Приравняв нулю дискриминант квадратного уравнения (29,5), получим ее=ЗЛв; соответствующий корень уравнения: гсЬн 2Б~З, Подставляя эти значения Ь и в в (29,4), найдем: У2 — 32лгтгв2ЛЗ/3 /3! к 1. (29,7) Наряду с изменением характера резонансных явлений нри частотах у т гоо нелинейность колебаний приводит также к появлению новых резонансов, в которых колебания с частотой, близкой к гое, возбуждаются внешней силой с частотой, суще. ственно отличающейся от гво.
Пусть частота внешней силы у ж гоо/2, т. е. у = го,/2 + в. ') Докавательство можно найти, например, в книге Н. Н. Б о гол юбо ° вн н Ю. А. Мнтропольсного, «Аснмптотнчеснне методы в теорнн нелинейных колебаний>. — Мд Фнвматгна, 1958. РвзонАнс В нвлинепных колявхниях В первом, линейном, приближении она возбуждает в системе колебания с той же частотой н с амплитудой, пропорциональ. ной амплитуде силы: хю = соз ( — '+ е) 1 о введя косинус удвоенного угла и сохраняя в правой стороне лишь резонансный член, получим: х' '+ 2Лхпо+ ооохео+ ахко + рх' ' — ",, соз (ооо+ 2е) С.
(29,8) Это уравнение отличается от уравнения (29,1) лишь тем, что вместо амплитуды силы [ в нем стоит выражение, пропорциональное квадрату [о. Это значит, что возникает резонанс такого же характера, как и рассмотренный выше резонанс на частотах у ж ооо, но с меньшей интенсивностью. Зависимость Ь(е) получается заменой 1 на-8а~%тво(и е на 2е) в уравнении (29,4): Ь' [(2е — яЬо)о+ Ло) 16ао1о [81глооо~о (29,9) Пусть теперь частота внешней силы у = 2о>о + е. В первом приближении имеем: х ' = — —, соз (2во + е) С. а> зтво При подстановке х = хп> + х<о> в уравнение (29,1) мы не получим членов, имеющих характер резонансной внешней силы, как это было в предыдущем случае. Возникает, однако, резонанс параметрического типа от члена третьего порядка, пропорционального произведению ха1х<з1.
Если из всех нелинейных членов сохранить лишь этот, то для хао получим уравнение Р'+ 2Лх'"+ е,'хев = — 2ахо'.Р или х'"+ 2Лх"'+ гол~1 — —,соз(2ео+ е)1~ х~~=О, (29,98) "(согласно формуле (22,4)). Но при учете нелинейных членов; во втором приближении, эти колебания приведут к появлению в правой стороне уравнения движения (29,1) члена с частотой 2у ж ао. Именно, подставив хо> в уравнение хсе -[- 2Л.Р -[- оха'-(- 'о' о -[- Яхсо о = — хшо МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ и л. ч 12О т. е.
уравнение типа (27,8) (с учетом трения)„ приводящее, каи мы уже знаем, к неустойчивости колебаний в определенном интервале частот. Однако для определения результирующей амплитуды колебаний это уравнение недостаточно. Установление конечной амплитуды связано с эффектами нелинейности, для учета которых в уравнении движения должны быть сохранены также нелинейные по х<о> члены: х' '+ 2)охи '+вох' '+ах' + йх'" = —,соз(2во+е)л ° х' '. алово (29,11) Исследование этой задачи можно очень упростить, заметив следующее обстоятельство. Положив в правой стороне уравне- ' ния (29,11) х — Ьсоз[(во+ — ) 1+ Ь~ (где Ь вЂ” искомая амплитуда резонансных колебаний, б — несущественный для дальнейшего постоянный сдвиг фазы) и представив произведение двух периодических множителей в виде суммы двух косинусов, мы получим здесь член ~~, соз[(в, + Я вЂ” Ь1 Зол еоо обычного резонансного (по отношению к собственной частоте системы во) характера.
Поэтому задача снова сводится к рассмотренной в начале параграфа задаче об обычном резонансе в нелинейной системе с тем лишь отличием, что роль амплитуды внешней силы играет теперь величина а)Ь/Зв~о (а вместо е стоит е/2). Произведя эту замену в уравнении (29,4), получим: Ь [( — — Ь ) + Ь,о~= "1~ зеол во Решая это уравнение относительно Ь, найдем следующие воз- можные значения амплитуды: Ь= О, (29,12) (29,13) (29,14) На рис.
33 изображена получающаяся отсюда зависимость Ь' от е (для к) О; при х( О кривые направлены в обратную РЕЗОНАНС В НЕЛИНЕИНЪ|Х КОЛЕБАНИЯХ 121 сторону). Точки В и С отвечают значениям 1/( — ) — Ьь . Слева от точки В возможно лишь значение Ь = О, т. е. резонанс отсутствует и колебания с частотой -ша не возбуждаются.
В интервале между В и С имеем два корня: Ь =О (отрезок ВС на рис. 33) и выражение (29,13) (ветвь ВЕ). Наконец, справа от точки С существуют все три кор- Е ня (29,12) — (29,14). Однако не все эти значения отвечают устойчивому колебательному режиму. Значение Ь = О неустойчиво на участке ВС'), и можно показать ° также, что всегда неустойчив д в режим, соответствующий корню Рис. ЗЗ (29,! 4) (промежуточпому между двумя другими).
На рис. 33 неустойчивые значения Ь изображены штриховой линией. Проследим, например, за поведением первоначально «покоившейся»э) системы при постепенном уменьшении частоты внешней силы. До достижения точки С остается Ь =О, а затем происходит «срыв» этого состояния с переходом на ветвь ЕВ. При дальнейшем уменыйении в амплитуда колебаний уменьшается до нуля в точке В. При обратном же увеличении частоты амплитуда колебаний растет вдоль кривой ВЕ').
Рассмотренные случаи резонансов являются основными из возникающих в нелинейной колебательной системе. В более высоких приближениях появляются резонансы и на других частотах. Строго говоря, резонанс должен возникать на всякой частоте у, для которой пу+ тша = ш, (и, т — целые числа), т.
е. при всяком у = рва/|7, где р, г) — снова целые числа. Однако ') Этот интервал как раз соответствует области параметрического резо. панса (27,!2), причем нз сравнения 120,10) с 127,З) имеем )й ! 2ау/За|ма< Условие же ~ 2а)/Зглваэ ~ > 4Л прв котором возможно сушествованне рассматриваемого явленля, отвечает неравенству П ) Ьь т) Напомним, что мы рассматриваем здесь резонансные колебания. Их отсутствие не означает поэтому буквального покоя системы, в которой будут происходить слабые вынужденные нолебания с частотой т.
') Следует, однако, помнить, что все выведенные формулы справедливы лишь до тех пар, пака амплитуда Ь (а также е) остается достаточно малой. и действительности кривые ВВ н се в своем дальнейшем ходе оканчиваются, соединяясь в некоторой точке; прн достижении этой точки колебвтельный режим <срывается» н становится Ь О, Ф за) движвнин в выстро осциллнрнюшнм полн 1М й 30.
Движение в быстро осциллнрующем поле Рассмотрим движение частицы, находящейся одновременно под действием постоянного поля У и силы (=), созв)+)аз!ив), (30,П меняющейся со временем с большой частотой в ((з, (т — функции только от коордйнат). Под «большой» мы понимаем прн этом частоту, удовлетворящую условию в >> ЦТ, где Т вЂ” порядок величины периода движения, которое частица совершала бы в одном поле с).
По своей величине сила ( не предполагается слабой по сравнению с силами, действующими в поле У,' Мы будем, однако, предполагать малым вызываемое этой силой колебательное смещение частицы (обозначенное ниже посредством $). Для упрощения вычислений рассмотрим сначала одномер. ное движение в поле, зависящем лишь от одной пространственной координаты х. Тогда уравнение движения частицы') ил +~' бУ (30,2) Из характера действующего на частицу поля заранее ясно, что ее движение будет представлять собой перемещение вдоль некоторой плавной траектории с одновременными малыми осцилляциями (с частотой в) вокруг нее.
Соответственно этому представим функцию х(1) в виде суммы х(1) =Х(1) + $(1), (30,3) где $(1) представляет собой указанные малые осцилляции. Среднее значение функции $(1) за время ее периода 2п/в обращается в нуль, функция же Х(1) за это время меняется очень мало. Обозначая такое усреднение чертой над буквой, имеем поэтому: х=Х(1), т. е. функция Х(1) описывает усредненное по быстрым осцнлляциям «плавное» движение частицы, Выведем уравнение, определяющее эту функцию з). Подставляя (30,3) в (30,2) и разлагая по степеням $ с точ.
постыл до членов первого порядка, получим: Х+ $= —,(х — $ „~~ +)(Х, ()+$ —. (30,4) В этом уравнении фигурируют члены различного характера— осциллирующие и «плавные»; они должны, очевидно, взаимно ') Координата л — не обязательно декартова, а коэффициент лг соответ. ственно не обязательно есть масса частицы и не обязательно постоянен, как вто предположено в (30,2).
Такое предположение, однако, не отражается на окончательном результате (см. ниже). ') Идея излагаемого виже метода принадлежит П. Л. Т(алике (195Ц, 124 мллыв колевания 1гл. ч сокращаться в каждой из этих двух групп в отдельности. Для осциллнрующих членов достаточно написать: л4=~(Х, 1), (30,5) остальные содержат малый множитель $ и потому малы по сравнению с написанными (что касается производной $, то она рропорциональна большой величине юз и потому не мала).
Интегрируя уравнение (30,5) с функцией 7 из (30,1) (причем величина Х рассматривается как постоянная), получим: $ = — )/гпее. (30,6) Усредним теперь уравнение (30,4) по времени (в указанном выше смысле). Поскольку средние значения первых степеней 7 и $ обращаются в нуль, получим уравнение ди д) д(г лтХ= — — + 5 — = — — — — 1 —. дХ дХ ИК глез дХ ' содержащее уже только функцию Х(1). Перепишем его окончательно в виде ди»ээ птХ = — —, дХ (30,7) где «эффективная потенциальная энергия» определяется посредством ') + 2лгез г + 4лтез Ь+ та).
Сравнивая это выражение с (30,6), легко видеть, что дополнительный (по отношению к полю ()) член представляет собой не что иное, как среднюю кинетическую энергию осцилляционного движения: (У ээ=(7+ — Е 2 (30,9) Таким образом, усредненное по осцилляциям движение чатицы происходит так, как если бы, помимо постоянного поля , действовало еще и дополнительное постоянное поле, квадратично зависящее от амплитуды переменного поля. Полученный результат может быть легко обобщен на случай системы с любым числом степеней свободы, описываемой обобщенными координатами дь Для эффективной потенциаль- ') Произведя несколько более длинные вычвслепня прн вавнсянгеа от к величине вг, легко убеднться в том, что формулы (Зв,у), (ЗО,В) остаются справедливыми н в этом случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
