Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Оа, а функции Я, удовлетворяют «невозмущенным» (3) и) и) уравнениям (аа + а)а(а)а = О, т. е. представляют собой обычные гармонические колебания Яа = Па СОЗ (Б)а) + Оа)' (28,5) Сохраняя в следующем приближении в правой стороне уравнений (28,8) лишь члены второго порядка малости, получим для величин чин А)~,~ уравнения (28,6) где в правую часть должны быть подставлены выражения '28,5). В результате мы получим линейные неоднородные диф'еренциальные уравнения, правые части которых можно преобразовать к суммам простых периодических функций. Так, например, Я~ ~ЯЗ) = а„а СОЗ (а),1 + аа) СОЗ (Б) Г + а ) = — аааз (СОЗ ((Б)„+ Б)Б) ) + Оа + па) + СОЗ ((а), — Е„) (+ Оа — аа)).
1 Таким образом, в правых частях уравнений (28,6) находятся члены, соответствующие колебаниям с частотами, равными суммам и разностям собственных частот системы. Ре. шение уравнений следует искать в виде, содержащем такие же периодические множители, и мы приходим к выводу, что во втором приближении на нормальные колебания системы 114 1гл. ч МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ с частотами е накладываются дополнительные колебания с ча- стотами 3 Мха ааэо иа мй Ь= — — — АЗ вЂ” — Х' — — Х.
2 3 4 (28,8) Соответствующее уравнение движения х+ ~,'х = — ах' — ()ха. ~а ~ ~з (28,7) (в том числе удвоенные частоты 2ы и частота О, соответствующая постоянному смещению). Этн частоты называются комбинационными. Амплитуды комбинационных колебаний пропорциональны произведениям аааз (или квадратам а,) соответствующих нормальных колебаний. В следующих приближениях прн учете членов более высокого порядка в разложении функции Лагранжа возникают комбинационные колебания с частотами, являющимися суммами и разностями большего числа частот ы„. Кроме того, однако, возникает еще и новое явление.
Дело в том, что уже в третьем приближении среди комбинационных частот появляются частоты, совпадающие с исходными в (ы + мз — вз). При применении описанного выше метода в правой части уравнений движения будут находиться, следовательно, резонансные члены, которые приведут к возникновению в решении членов с возрастающей со временем амплитудой. Между тем, физически очевидно, что в замкнутой системе в отсутствие внешнего источника энергии не может происходить самопроизвольное нарастание интенсивности колебаний.
В действительности в высших приближениях происходит изменение основных частот га по сравнению с их «невозмущеннымн» значениями га,', фигурирующими в квадратичном выражении потенциальной энергии. Появление же возрастающих членов в решении связано с разложением типа сов(Оэа + Ьыа)! аа созФа 1 1ЛОэа з(п ыа 1з явно незаконным при достаточно больших 1. Поэтому при переходе к следующим приближениям метод последовательных приближений должен быть видоизменен так, чтобы фигурирующие в решении периодические множителя с самого начала содержали точные, а не приближенные значения частот. Изменения же частот сами определятся в резуяьтате решения уравнений как раз из условия отсутствия резо. нансных членов.
Продемонстрируем этот метод на ангармонических коле. баннях с одной степенью свободы, написав функцию Лагран. жа в виде АНГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 116 Мы будем искать его решение в виде ряда последовательных приближений н>, <а, <3> > причем хн'= асоз в< (28,10) с точным значением а, которое само будем затем искать в виде ряда а=во+в('>+ам)+ ... (начальную фазу в х<'> можно всегда обратить в нуль надлежащим выбором начала отсчета времени). При этом, однако, уравнение движения в виде (28,9) не вполне удобно, так как при подстановке в него (28,10) ле.
вая сторона равенства не обратится строго в нуль. Поэтому перепишем его предварительно в эквивалентном виде 2 ао 2 2 3 ао —,х+взх= — ах — йх — ~1 — — 1х. <22 о>' / (28,11) Положив здесь х = х<'> + А<2>, а = ао+ а<'> и опустив члены выше второго порядка малости, получим для х<2> уравнение Хе)+ вохе) = — аа соз в<+ 2вов<"а сова! = аа2 аа' Щ = — — — — соз 2а( + 2вов а соз а<.
2 2 Условие отсутствия резонансного члена в правой стороне равенства дает просто а<И =0 в соответствии с изложенным в начале па(>аграфа методом нахождения второго приближения. После этого, решая обычным способом неоднородное линейное уравнение, получим: х = — — + — соз 2о><. <в аа* паз 2 во бао 2 2 (28,12) Далее, положив в '(28,11) х = х<'> + х<'> + х<'), а = во + а(2>, получим уравнение для х<'> 3(3) 1 (3) 2 Н)3(2) р Н) 1 2 (2> и] о или, подставив в правую часть выражения (28,10) и (28,12) после простого преобразования: -(З> + 2 <3) зг Р азч Г а) базаз 3 :-а ~ — + — 1созЗа(+а ~2вов + — — — азр1созон'. 4 бо>2 ~ бо)о з4 Приравнивая нулю коэффициент при резонансном множителе соза<, найдем поправку к основной частоте, пропорциональную квадрату амплитуды колебания: <2> / зр без х (28,18) ~ бэо 12аз ) 1гл.
Ь МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ Комбинационное же колебание третьего порядка х = — ~ — + — ~ соз Звг. Ео а' А ао -А: .) (28, 14) $29. Резонанс в нелинейных колебаниях Учет ангармонических членов при вынужденных колебаниях системы приводит к появлению существенно новых особенностей в резонансных явлениях. Добавив в правой стороне уравнения (28,9) внешнюю периодическую (с частотой т) силу, получим: х+ 2Ах+ вох = — соз уг' — цх — бх; 1 з. га (29, 1) (с малым е), т. е. мы находимся вблизи обычного резонанса, Для выяснения характер» возникающего движения можно обойтись без непосредственного исследования уравнения (29,1), если воспользоваться следующими соображениями. В линейном приближении зависимость амплитуды Ь вынужденного колебания От амплитуды ( и частоты у внешней силы дается вблизи резонанса формулой (26,7), которую напишем в виде Ь'(з'+ Х~ = ('(4~Ъ,', Нелинейность колебаний приводит к появлению зависимости их собственной частоты от амплитуды; напишем ее в виде во+ ИЬо, (29,3) где постоянная я выражается определенным образом через коэффициент ангармоничности (см.
(28,13)). Соответственно этому заменяем в формуле (29,2) (точнее в малой разности У вЂ” во) во на во+ хЬо. Сохранив обозначение а =у — во. получим в результате уравнение Ь' ((в — ИЬо)о + )оо] = (о(4лоов' (29,4) здесь написана также сила трения с показателем затухания Х (предполагаемым ниже малым). Строго говоря, при учете нелинейных членов в уравнении свободных колебаний должны учитываться также члены высших порядков в амплитуде вынуждающей силы, соответствующие возможной зависимости ее от смещения х. Мы ие пишем этих членов лишь с целью упрощения формул; они не меняют качественной картины явлений, Пусть РЕЗОНАНС В НЕЛННЕИНЫХ КОЛЕБАНИЯХ пт или Уравнение (29,4), кубическое по отношению к Ье, и его ве.
ществеиные корни определяют амплитуду вынужденных коле- баний. Рассмотрим зависимость этой амплитуды от частоты внешней силы при заданной амплитуде силы (. При достаточно малых значеи ииях ) амплитуда Ь тоже мала, так что можно пренебречь в (29,4) степенями Ь выше второй„, е и мы возвращаемся к зависимости Ь(е) (29,2), изображающейся Ь симметричной кривой с максимумом в точке в=0 (рис. 32,а). б<6~, По мере увеличения ) кривая деформируется, сохраняя сначала свой характер — с одним макси. мумом (рис. 32,б); последний е смещается (при х О) в сторону положительных е. Из трех Ь Рта корней уравнения (29,4) при этом веществен лишь один.
Однако, начиная с определенб ного значения (=), (которое мы определим ниже), характер кри- 1Ь вой меняется. При каждом знае чении ( ) )А существует опреде- Рес. 32 ленная область частот, в которой уравнение (29,4) имеет три вещественных корня; ей отвечает участок ВСОЕ кривой на рис.
32,в. ЫЬ Границы этой области определяются условием — = со в Ыв точках В и С. Продифференцировав уравнение (29,4) по а, получим: бь — еЬ+ НЬ' бе е'+ Ае — чиеЬе+ Зн'Ь' Поэтому положение тачек А) и С определяется совместным ре- шением уравнений е-4НЬ'е+ знеЬ'+ хв =0 (29,5) 118 МЛЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1гл. у и (29,4); соответствующие значения е оба положительны. Наибольшее значение амплитудыдостигается в точке, где — „=О. ль в'в При этом е = ИЬ», и из (29,4) имеем: Ью,„= 1/2тотоЛ; (29,6) это значение совпадает с максимумом, даваемым зависимостью (29,2) .
Можно показать (на чем мы не будем здесь останавливаться ')), что из трех вещественных корней уравнения (29,4)' средний (т. е. участок С0 кривой, изображенный на рис. 32,в штриховой линией соответствует неустойчивым колебаниям си. стемы: любое сколь угодно слабое воздействие на систему, на. ходящуюся в таком состоянии, привело бы к переходу к колебательному режиму, отвечающему большему или меньшему корню (т. е. участкам ВС или ВЕ). Таким образом, реальным колебаниям системы соответствуют лишь ветви АВС и ЮЕР. Замечательной особенностью является при этом наличие области частот„допускающих две различные амплитуды колебаний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
