Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(гл. чт движение твн*дого твлх 1ЗО Имеем; 2 Тхр 2 лх (Й~х! — ();ххххх) = —,1 лх Щ()хб1хх~ — 01()хх~хД - —,а,а,Е (,б,„- р,). 1 2 Здесь использовано тождество (л = дат где бга — единичный тензор (компоненты которого равны единице при ) = Й и нулю при ( Ф А). Введя тензор 1ы Е гп (хАа — хааа) получим окончательное выражение для кинетической энергии твердого тела в виде = — + 2 1~э()Фт вУ 1 (32,3) Функция Лагранжа твердого тела получается из (32,3) вы. читанием потенциальной энергии пуа Х, = — + — 11х()1йх — У. 2 2 (32,4) Потенциальная энергия является в общем случае функцией шести переменных, определяющих положение твердого тела, например, трех координат Х, У, 2 центра инерции и трех углов, определяющих ориентацию движущихся осей координат относительно неподвижных.
Тензор 1га называется тензором моментов инерции или просто тензором инерции тела, Как ясно из определения (32,2)> он симметричен, т. е, (32,5) 1ы=1ы Я т (ух+ хх) — ~ тху — ~ тхх 1и, = — ~, тух ~„т (х'+ х') — 2'„~ух . (32,6) — ~ тхх — 2 тху Ч~~~ т(х + ух) Компоненты 1ть 1„„, 1„иногда называют моментами инерции относительно соответствующих осей. Тензор инерции, очевидно, аддитивен — моменты инерции тела равны суммам моментов инерции его частей.
Если твердое тело можно рассматривать как сплошное, то в определении (32,2) сумма заменяется интегралом по объему тела: 1ы —— ~ р (хД» — х,хх) и)'. Выпишем для наглядности его компоненты в явном виде в следующей таблице: ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ з зз! !в! Как н всякнй симметричный тензор второго ранга, тензор инерции может быть приведен к диагональному виду путем соответствующего выбора направлений осей кь хз, хз. Эти на. правления называют главными осями инерции, а соответствующие значения компонент тензора — главными моментами инерции; обозначим их как 1ь 1з, 1,. При таком выборе осей хь хз, хз вращательная кинетическая энергия выражается особенно просто: Т~~р /з (1зВ~ + 1з(зз+ 1зйз) (32,8) так что 1з = 1~ + )з.
(32,!О) Если тело обладает осью симметрии какого-либо порядка, то центр инерции лежит на этой осн. С ней же совпадает одна из главных осей инерции, а две другие — перпендикулярны к ней. При этом, если порядок осн симметрии выше второго, то тело является симметрическим волчком. Действительно, каждую главную ось (перпендикулярную к осн симметрии) можно Отметим, что каждый из трех главных моментов инерции не может быть больше суммы двух других. Так, 1, + 1,= ~'„лз (хз~+ кзз+ 2хзз)) Я т(хзз+ хзз) = 1з. (32,9) Тело, у которого все три главных момента инерции разлнч. ны, называют асимметрическим волчком.
Если два главных момента инерции равны друг другу, 1! = 1з Ф. 1з, то твердое тело называют симметрическим волчком. В этом случае выбор направления главных осей в плоскости х~кз произволен. Если же все три главных момента инерции совпадают, то тело называют шаровым волчком. В этом случае произволен выбор всех трех главных осей инерции: в качестве нх можно взять любые трн взаимно перпендикулярные осн. Нахождение главных осей инерции очень упрощается, если твердое тело обладает той нли иной симметрией; ясно, что по.
ложение центра инерции и направления главных осей инерции должны обладать той же симметрией. Так, если тело обладает плоскостью симметрии, то центр инерции должен лежать в этой плоскости. В ней же лежат две главные осн инерции, и третья — перпенднкулярна к ней. Очевидным случаем такого рода является система частиц, расположенных в одной плоскости. В этом случае существует простое соотношение между тремя главными моментами инерции.
Если плоскость системы выбрана в качестве плоскости кзкз, то поскольку для всех частиц хь' —— О, имеем: зиъз~ 1з лз шхь 13 ~ зи (х~ + хз)ю движении твврдого талл 1Зй 1гл, чг повернуть тогда на угол, отлячный от 180', т. е. выбор этих осей становится неоднозначным, а это возможно лишь в случае симметрического волчка. Особым случаем является система частиц, расположенных вдоль одной прямой линии.
Если выбрать эту прямую в качестве оси хз, то для всех частиц х, = хз — — О, и потому два главных момента инерции совпадают, а третий равен нулю: 1, = 1, = ~ тхз, 1з —— О. (32,11) Такую систему называют рогаторож. Характерной особенностью ротатора в отличие от обшего случая произвольного тела является то, что он имеет всего две (а не три) вращательные степени свободы, соответствующие вращениям вокруг осей х~ и х,; говорить же о сращении прямой вокруг самой себя, очевидно, не имеет смысла.
Наконец, сделаем еще одно замечание по поводу вычисления тензора инерции. Хотя мы определили этот теизор по отношению к системе координат с началом в центре инерции (только при таком определении справедлива основная формула (32,3) ), но для его вычисления может иногда оказаться удобным вычислить предварительно аналогичный теизор Р гз г 1за = )' лз (хт бта — хзха), определенный по отношению к другому началу 0'. Если расстояние 00' дается вектором а, то г=г'+ а„х,=хт+ а„' учитывая также, что ~ тг= О, по определению точки О, найдем: 1ы =1га+ )з(а'бза — ааа). !32,12) Р По этой формуле, зная 1оо легко вычислить искомый тензор 1,з. Задачи 1.
Определить главные моменты инерции для молекул, рассматриваемых мак системы частиц, находящихся на неизменных расстояниях друг от друга, в следующих случаях: а) Молекулы из атомов, расположенных на одной пряной. Ответ: у ) ~ и л з ! з 1 у о 1 г,~„в а' з зУЬ где я4 — массы атомов, 1яь — расстояние между атомами а и Ь; суммирование производится по всем парам атомов в молекуле (причем каждая пара значений л, Ь входит в сумму по одному разу).
Для двухатомной молекулы сумма сводится к одному члеяу, давая заранее очевидный результат — произведение приведенной массы обоих атомов на квадрат расстояния между ними: у~ !з —— лз, пзз 1. щ~ + лзз 133 ТЕНЗОР ИНЕРЦИИ б) Трехатомная молекула в виде равнобедренного треугольника (рис. 36). О т в е т: Венгр инерции лежит на ' высоте треугольника ка расстоянии Хз = тзЬ/р от его основания.
Моменты инерции: 2т~та лз, 1~= — Ь 13 — аз, 1з . 13+ 13 р 2 в) Четырехатомная молекула с атомами, расположенными в вершкнах правильной трехугольной пирамиды (рис. 37). лг Рнс. 37 Рис. 36 О т в е т: 11ентр инерции лежит на высоте пирамиды на расстоянии Хз = тзЬ)р от ее основания. Моменты инерции: Зт,тз т,аз 1, =13 — 'Ьз+ —, 1з= т,аз, И При т, тм Ь=а~/213 мы получаем тетраэдрическую молекулу с моментами инерции 1, 1=1 та. 2. Определить главные моменты инерции сплошных однородных тел. а) Тонкий стержень длиной 1.
! От нет: 1, 1, = — р1', 1, =0 (толщиной стержня пренебрегаем). 12 б) Шар радиуса )7. Ответ: 13 13 13 = — И)С 2 б вычислять следует сумиу 1, + 13+ 1з 2р ~ гз ду). в) Круговой цилиндр радиуса )7 и высотой Ь. Ответ: ~11 4'ь~ 1' 3 2У 3! ((хз — ось цилиндра) . г) Прямоугольный параллелепипед с длинами ребер а, б, с, Ответ: 1, = —" (Ь'+ с'), 13 = — (с'+ а'), 13 — (а'+ Ьз) 12 ' 12 12 )1осн хз, кз, хз параллельны ребрам а, б, с), движкник твпрдого тплл (гл.
чт )34 д) Круговой конус с высотой й к радиусом основания )1. г Р е ш е и и е. Вычисляем сначала тензор 1га по отношению к осям с на. чалом в вершине конуса (рис. 33). Вычисление легко производится в цилин дрических координатах н дает: 5 ъ4 1' 3 1з р)с' 10 Центр тяжести находится, как показывает простое вычисление, на оси ко нуса на расстоянии а = ЗЬ/4 от вершины.
По формуле (32,12) находим окон чательно 3 уз Ьзъ 3 1~ 1з 1 — ра — р ~Аз+ — ) 1 =1 = — р)(. 1 в уравнение поверхности единичной сферы еьз ) Ч)з ь гьз Так, для момента инерции относительно оси л получаем: 1, р ~~~(р +я)г(хпрсГя раЬс ~ ~ ~ (Ьзч)з + сзьз) Н$ с(т) Ф~ ~ аЬс — 1' (Ь'+ сз), Р .33 где 1' — момент инерции шара единичного радиуса. Учитывая, что объем эллипсоида равен 4паЬс)3, получим окончательно моменты инерции 1,= — "(п'+ Ь').
5 1, = — (а'+ с'), з 5 1, = — (Ь'+ с'), р 5 3. Определить частоту малых колебаний физического маятника (твердое тело, качающееся в поле тяжести около неподвижной горизонтальной оси). Решен не. Пусть 1 — расстояние от центра инерции маятника до ося вращения, а и, (), у — углы между направлениями его главных осей инерции и осью вращения. В качестве переменной координаты вводим угол ф между вертикалью и перпендикуляром, опушенным из центра инерции на ось враще.
ияя. Скорость центра инерции У = (ф, а проекции угловой скорости на глав. ные осн инерции: фсози, ф соя(), фсозу. Считая угол ф малым, находим потенциальную энергию в виде (1 рй1 (1 — соз ф) яз — рпгп, з 2 е) Трехосный эллипсоид с полуосями а, Ь, с. Решение. Центр инерции совпадает с центром эллипсоида, а главные оси инерции — с его осями, Интегрирование по объему эллипсоида может быть сведено к ннтегрнрованвю по объему сферы путем преобразования координат к = а$, у = Ьг), л = сь, превращающего уравнение поверхности эллипсоида хз дз яз — + — + — ) оз Ьз сз тензОР инерции 135 Поэтому функция Лагранжа фа+ — (11 соз и+ 12 соз р+ 1з сот у) ф ф р! 3 РУ!' з 2 2 (Р— масса одного стержня).
т! Декартовы координаты центра инерции 3! .Рис. 39 стержни АВ: Х= — соэф, Г= — зщф. Так 2 ' 2 как угловая скорость вращения этого стержня тоже равна ф, то его кинетическая энергия Р °, ° 1. РР 1фз Тз — (Х'+ Уз) + — ф'= — (1+ 8 з)паф) ф'+— 2 2 8 2 В х Полная кинетическая энергия системы Р!3 Т= — (1+За!п ф)ф 3 аподставлено 1 РР112 согласно задаче 2, а)). б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
