Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 10
Текст из файла (страница 10)
14, а и б. В пеР- вом случае частица может вылететь под любым углом О. Во втором же случае частица может вылететь только вперед, под углом О, не превышающим значения О ью даваемого равенством зщ О „= ое/У (16,4) (направление касательной к окружности, проведенной из точки Л). Связь между углами вылета О н Ое в л- н ц-системах очевидна из той же диаграммы и дается формулой (16,Ь) оч соа Ве + у ') Точнее — любую точку сферы радиуса оо, диаметральным сечением иотороз яелиется иаображенная на рис, 14 окружность, столкновения частиц ~гл. щ Если решить это уравнение относительно соз 8в, то после элементарных преобразований получим: соз Ое — — — — з!п'0 ~ соз О ч /1 — —, зц~' О.
(16,6) со Ч "о При ое ) У связь между О, и О однозначна, как это видно из рис. 14, а. В формуле (16,6) надо при этом выбрать знак + перед корнем (так, чтобы было Ос=О при 8 =0). Если же ов с. У, то связь между Оз и О неоднозначна: каждому значению 0 отвечают два значения Оо, соответствующие (на рнс. 14,б) векторам чм проведенным из центра окружности в точки В или С; им отвечают два знака перед корнем в (16,6).
В физических применениях приходится обычно иметь дело с распадом не одной, а многих одинаковых частиц, в связи с чем возникают вопросы о распределении распадных частиц по направлениям, энергиям и т, п. Прн этом мы будем предполагать, что первичные частицы ориентированы в пространстве хаотическим, т. е. в среднем изотропным образом. В ц-системе ответ на эти вопросы тривиален: все распадныв частицы (одинакового рода) имеют одинаковую энергию, а их распределение по направлениям вылета изотропно.
Последнее утверждение связано со сделанным предположением о хаотич ности ориентаций первичных частиц. Оно означает, что доля числа частиц, летящих в элементе телесного угла с(оо, пропорциональна величине этого элемента, т. е, равна доз/4п. Распределение по углам О, получим отсюда, подставим Нов = = 2п з)п Оз ИОо, т. е. (16,7) '/, з!п Оз г(Ом Распределения в л-системе получаются путем соответствующего преобразования этого выражения. Определим, например, распределение по кинетической энергии в л-системе.
Возводя в квадрат равенство ч = чз + У, находим: п~= о~+ У~+ 2пз УсозОо откуда Ы соз Оз —— д (и~/2пс)'. Вводя сюда кинетическую энергию Т = глот/2' (где т есть т, или гл,, смотря по тому, какого рода распадные частицы мы рассматриваем) и подставляя в (16,7), получим искомое раси еделение Р г(Т/2йто У. (16,8) Кинетическая энергия может пробегать значения от наименьше- гоТ,„= — (ор — 1/)' до наибольшего Т~„= — (па+ $~)'.
В этом дитервале частицы распределены согласно (16,81 однородно, РАспАд чАстиц 61 $ !6! '(М вЂ” масса первичной частицы). Очевидно, что Т!6 будет иметь наибольшее возможное значение, когда Е,'„минимальна. Для этого надо, чтобы все распадные частицы за исключением частицы пз! двигались с одной и той же скоростью; тогда Е„' сводится просто к сумме их внутренних энергий, а разность Е,„— Е„„— Е' есть энергия распада в.
Таким образом, М вЂ” на, (Т\6)тах М (16,9) Задачи 1. Найти связь между углами вылета Ва, Ва (в л-снстеме) распадных частиц при распаде на две частицы. Решен.ие. В и-системе углы вылета обеих частиц связаны посредством Ваа = и — Оаь Обозначая Вы просто как Оа и применяя формулу (16,5) к каждой нз двух частиц, пай!ем: (г + еаа соз Ва п16 з!п Оа с!й В„ 1г паа соз Оа саа з!и Оа с16 Ва.
Из этих двух равенств надо исключить Ва, Для зтого определяем сначала из ннх сов йа и з!пВа, после чего составляем сумму соз'Ва+ з!па Оа = 1. Учитывая также, что заа/еаа шаlша и исппльзуя (16,2), найдем в результате следующее уравнение: — ' з! п' Ва + — ' 61п' О, — 2 з(п В, Мп В, сез (О, + 0,) лаа гпа 26 ( +, 61п'(О, +0,). 2. Найти распределение распадиых частиц пп направлениям вылета в л-системе, При распаде частицы на более чем две части законы сохр анения импульса и энергии оставляют, естественно, значительно больший произвол в скоростях н направлениях распадных частиц, чем при распаде на две части.
В частности, энергии разлетающихся частиц в ц-системе отнюдь не имеют одного определенного значения. Существует, однако, верхний предел кинетической энергии, которую может прн этом унести с собой каждая из распадных частиц. Для определения этого предела будем рассматривать совокупность всех распадных частиц за исключением одной заданной (с массой т,) как одну систему, ее «внутреннюю» энергию обозначим посредством Е,„Тогда кннетнчгеская энергия частицы и! будет согласно (16,1), (16,2): рз М вЂ” ш| Тю = 2ш = „И (Е,„— Еы„— Е,и) (гл.!ч стОлкнОВения частиц Р вш е н и е. Прн оз ) 'г' подставляем (16,6) со знаком плюс перед корнея в (16,7) и получаем искомое распределение в виде (гз 1 + — соз 20 оэ 1 — — з!и' О оа о Прн оз < 'г' надо учитывать обе возможные связи О, с О.
Поскольку при увеличении 0 одно из соответствуюших ему значений О, растет, а другое убывает, то надо взять разность (а не сумму) выражений о сов бе с двуми знаками перед корнем в (1б,б). В результате получим: $/3 !+ —,, созэа оз з!и О г!О $/3 1 — — з!па В оа о (0< 0( О, ). 3. Опредедить интервал значений, которые может иметь угол В между направлениями вылета обенхраспадных частиц в л-системе. Решение.
Угол В есть сумма Ог+Оз углов. определякндихся формулой (16,6), (см, ааддчу 1); проша всего вычисляется тангенс этого угла. Исскедовавне экстремумов получаюшегося выражения приводит к следуюшнм интервалам вовможаых значений В в зависимости от относительной величины р н озз озз (для определенности полагаем всегда озз ) оаз): 0 < 9 < гк если о,з < р < о,з; м — Оз, < О < м. если г' < о~з! О < В < Взь если У ~ озь причем значение О~ дается формулой г'(о„+ ом) з!и + о|возя $1Ч.
Упругие столкновения частиц Столкновение двух частиц называют упругим, если оно не сопровождается изменением их внутреннего состояния. Соответственно этому при применении. к такому столкновению закона сохранения энергии можно не учитывать внутренней энергии частиц. Проще всего столкновение выглядит в системе отсчета, в которой центр инерции обеих частиц покоится (а(-система)! будем отличать, как и в предыдущем параграфе, индексом О значения величин в этой системе. Скорости частиц до столкновения в г(-системе связаны с их скоростями ч! и ч, в лабораторной системе соотношениями гл~ ч, оп+ лгз гнз чг!о= ~ +ж ч, где ч = ч! = ча (см.
(13,2) ), упРуГие столкновения чАстиц (17,2) И силу закона сохранения импульса импульсы обеих частиц остаются после столкновения равными по величине и противоположными по направлению, а в силу закона сохранения энергии остаются неизменнымн и нх абсолютные величины. Таким образом, результат столкновения сводится в Ч-системе к повороту скоростей обеих частиц, остающихся взаимно противоположными и неизменными по величине. Если обозаачнть посредством па единичный вектор в направлении скорости частицы та после столкновения, то скорости обеих частиц после столкновення (отличаем их штрихом) будут: Чтобы возвратиться к лабораторной системе отсчета, надо добавить к этим выражениям скорость ч' центра инерции.
Таким образом, для скоростей частиц в А-системе после столкновения получаем: та тача =аа. тача опа+ т,+та Фа а + та т, т,ч~ + т,ча опа+ т,+т, т,+т, Этим исчерпываются сведения, которые можно получить о столкновении, исходя нз одних только законов сохранения импульса и энергии. Что касается направления вектора па, то он зависит от закона взаимодействия частиц и их взаимного располо- l жения во время столкновения.
а Полученные результаты можно интерпретировать геометрически. При этом удобнее перейти О В от скоростей к импульсам. Умножив равенства (17,2) соответ. ствеино на та и та, получим: Ра =шопа+ т + аа (Ра + Ра)а р = — тэп + (р + р ) Ос=тип Ав=т, т (Ра+Ра) (17,3) (т = т,та/(т, + та) — приве- Рэа. 1Э денная масса). Построим окружность с радиусом то и произведем указанное на рис. 15 построение. Если единичный вектор па направлен вдоль ОС, то векторы АС и СВ дают соответственно импульсы р', н р,'. При заданных р1 и ра радиус окружности и положение точек А и В столкновения частиц [гл.
ггг неизменны, а точка С может иметь любое положение на окружности. Рассмотрим подробнее случай, когда одна из частиц (пусть это будет частица тг) до столкновения покоилась. В этом случае длина ОВ = ' р, = то совпадает с радиусом, т. е. пг) + шг точка В лежит на окружности. Вектор же АВ совпадает с импульсом рг первой частицы до рассеяния. При этом точка А лежит внутри (если тг тг) или вне (если тг ~ т,) окружности. Соответствующие диаграммы изображены на рис. 16,а гггг < ггг т, т, Рис 16 гаг гга Х аг, + пгсаг Х ' (17,4) л — х 0 = —.
2 Выпишем также формулы, определяющие абсолютные величины скоростей обеих частиц после столкновения через тот же угол т: о'= ,г/ г г т +тг+зт1аггсогХ 2т~о з(п —,. (17,6) 1 аг~+ тг т, +тг СУмма Ог + 0г есть Угпл Разлета частиц после столкиовениЯ, Очевидно, что 0~ + Ог ) л/2 прн тг ( тг н Ог + Ог ( я/2 при тг > тг. н б. Указанные на них углы Ог и 0г представляют собой углы отклонения частиц после столкновения по отношению к направлению удара (направлению рг). Центральный же угол, обозйаченный на рисунках посредством Х (дающий направление и,), представляет собой угол поворота первой частицы в системе центра инерции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
