Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Р е ш е н и е Энергия маятника т!'ф' Š— — шб! соз ф = — тп! соз фо, гае ф — угол отклонения нити от вертикали; фо — максимальный угол откло. пенна. Вычисляя период как учетверенное время прохождения интервала уг- лов от нуля до фо, находим: Т = 4 / бф / — =- 2 20 .) ч/соо ф - соо ф, Ъ | .) / . о о чм! з!и' — — юп— фо . ф 2 2 о(п оф Подстановкой ,' = о1п и этот интеграл прпнодится к виду з1п /о фа Т 4 у — К ~з(п3 — ). /! г, фрч ч/ !! 'х 2/' где К (й) ог-'е'нат о — так яазываемый полный эллиптический интеграл перного рода. При фо фо а1п — — «ч.
1 (малые колебания) разложение функции К(й) дает: Т 2п чг — (1+ — фг+ ...). /! '7д (. 16 Первый член этого разложении отвечает известнои злемевтарпой формуле. 2. Определить период колебаний а зависимости от энергии при движении частицы массы гл в полях с потенциальной зпсргнсй: А ( х (н Ответ: 1Е/А!ив — — 1 ,~/Е Ахч Аыч — Ц Подстановкой у" = и интеграл приводится к так называемому В-интегралу Эйлера; потовый выровняется через.р-функции ! ! Т 2цг2лщг(1/л) Ео х пА!/" Г (1/и+ 1/2) 4! 0,31.
Зависимость Т от Е соответствует закону механического н ойцм (102)', 'о нод б) (/ -(/о/сЬопл, -(/о<В<0. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ 1гл. ттт Ответ: У = ' л т~2ге/а ~~1 а ). а) и иотат О ~ ьет: Т л.ь|2т 1а 4Е +О„. 2 12. Определение потенциальной энергии по периоду колебаний Рассмотрим вопрос о том, в какой степени можно восстановить вид потенциальной энергии (т'(х) поля, в котором частица совершает колебательное движение, по известной зависимости периода этого движения Т от энергии Е.
С математической точ. ки зреичя речь идет о решении интегрального уравнения (11,5), в котором У(х) .рассматривается как неизвестная, а Т(Е)— как известная функции. При этом мы будем заранее предполагать, что искомая функция 0(х)' имеет в рассматриваемой области пространства лишь один минимум, оставляя в стороне вопрос о возможности существования решений интегрального уравнения, не удовле— — — творяющих этому условию. Для удобства выберем начало координат в положении минимума потенциальной энергии, а значение последней в этой точке положим равным нулю (рис. 7).
Преобразуем интеграл (11,5)', Рис. 7 рассматривая в нем координату х как функцию К Функция х(ет)' двузначна — каждое значение потенциальноц энергии осуществ.- ляется при двух различных значениях х. Соответственно этому интеграл (11,5), в котором мы заменяем т(х на „~ т(У, перейдет Ых в сумму двух интегралов: от х=хт до х=й и от х=б до х = хе, будем писать зависимость х от (т' в этих двух Ьбластях соответственно как х=х1((т) и х=хт(0), Пределами интегрирования по е(с7 будут, очевидно, Е и О, так что получаем: е о Т(Е)=1~2т ~ — ' + 1~2тп ~ о и е — ~~лхт их11 60 о опгеделенна потенииьльнои энвегни по пвгиодт 43 Разделим обе стороны этого равенства на Ч~а — Е, где а— параметр, и проинтегрируем по Е от нуля до а: оа т(е) йе ~ — ~ ~ ~лхо((0 о оо Фх, (О) 4Ш «ЕЕ ~и ) ~~ — ~)~.—.) нли, меняя порядок интегрирования: а о а Ь о Интеграл по ЕЕ вычисляется элементарно и оказывается равным и.
После этого интегрирование по ЮУ становится тривиальным и дает: = и Ь/оп )хо (а) — х, (а)] Т (Е) оЕ о хо(0) — х1(0) = 1 Г Т(Е) НЕ о (12,1] Таким образом, по известной' функции Т(Е) определяется разность хо(0) — х~ (0). Сами же функции хо(0) и х1 (О) остаются неопределенными. Это значит, что существует не одна, а бесчисленное множество кривых 0 = У(х), приводящих к заданной зависимости периода от энергии и отличающихся друг от друга такими деформациями, которые не меняют разности двух значений х, соответствующих одному н тому же значению У. Многозначность решейия исчезает, если потребовать, чтобы кривая 0 У(х) была симметрична относительно оси ординат, т. е. чтобы было: В таком случае формула (12,1) дает для х(0) однозначное выражение «(0) ~Г ) Г т<к>и (12,2) о (при этом учтено, что хо(0)= х1(0)= 0)„Заменив теперь бук- ву а на У, находим окончательно: интеГРНРОВАние уРАВнении дВижения 1гл.
На $ 13. Приведенная масса Полное решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении системы, состоящей всего из двух взаимодействующих частиц (задача двух тел). В качестве предварительного шага к решению этой задачи покажем, каким образом она может быть существенно упрощена путем разложения движения системы на движение центра инерции и движения точек относительно последнего. Потенциальная энергия взаимодействия двух частиц зависит лишь от расстояния между ними, т, е. от абсолютной величины разности нх радиус-векторов. Поэтому лагранжева функция такой системы т,г~ тзгз '2 '2 Ь= + — — иЦг,— гз~).
2 2 (13,1) Введем вектор взаимного расстояния обеих точек г=г,— г, и поместим начало координат в центре инерции, что дает: пг2г1 + пттгз = О. Из двух последних равенств находим: тз г, = + г, ги ~ Гз =— г. т~ + гиз (13,2) Подставляя эти выражения в (13,1), получим: тг' 2 (13,3) где введено обозначение ' т,тз Пг= т~+тз (13,4) величина пг называется приведенной массой, Функция (13,3) формально совпадает с функцией Лагранжа одной материальной точки с массой пт, движущейся во внешнем поле сг',(г), сим. метричном относительно неподвижного начала координат. Таким образом, задача о движении двух взаимодействующих материальных точек сводится к решению задачи о движении одной точки в заданном внешнем поле (2'(г).
По решению г = г(1) этой задачи траектории г1 — — г1(1) и гз — — га(1) каждой из частиц гп1 и пгз в отдельности (по отношению к их общему центру инерции) получаются по формулам (13,2), Задача Система состоит из одной частицы с массой М и и частиц с одинаковыми массами т. Исключить даижеиие цеитра инерции и свести задачу к задаче о дзиигеиии и частиц, 5 Н1 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛК Решение, Пусть й — радиус-вектор частицы М, а й, (д 1, 2... ° ..., л) — радиус-веиторы частиц с массамн иь Введем расстояния от части.
цы М до частиц ш 4'а=на й н поместим начало координат в центре инерции: Мй+ лч ~ на=О Иэ этих равенств находим: ~, 4'д, йд й+ га, Р а где р М+ пиь Подставив эти выражения в функцию Лагранжа Мйд га ь- — + — ~й — ц я 2 а а получим: а а где та--дгд. Потенциальная энергия эависит лишь от расстояний между частицами н потому может быть представлена как функция от векторов г,. $14, Двнженне в центральном поле Сведя задачу о движении двух тел к задаче о движении одного тела, мы пришли к вопросу об определении движения частицы во внешнем поле, в котором ее потенциальная энергия зависит только от расстояния г до определенной неподвижной точки; такое поле называют 44ентральныл.
Сила аи<.1 «Ц г Р~ — — = — — —, дг «г г ' действующая на частицу, по абсолютной величине зависит прн 'этом тоже только от г н направлена в каждой точке вдоль ра. днус-вектора. Как было уже показано в $9, прн движении в центральном поле сохраняется момент системы относительно центра поля, Для одной частицы момент Поскольку векторы М н г взаимно перпендикулярны, постоянство М означает, что прн движении частицы ее радиус- вектор все время остается в одной плоскости — плоскости, перпенднкулярной к М.
Таням образом, траекторня движения частицы в централь. ном поле лежит целиком в одной плоскости. Введя в ней интеГРЯРОВАние упавиении движения )гл. Не полярные координаты г, ~р, напишем функцию Лагранжа в виде (ср. (4,5)) у. = — (гв -1- гефв) — (у (г) (14,! ) Эта функция не содержит в явном виде координату <р. Всякую обобщенную координату г)ь не входящую явным образом в лагранжеву функцию, называют циклической. В силу уравнения Лагранжа имеем для такой координаты: гг дь дЬ т. е. соответствующий ей обобщенный импульс р; = дЕ./дг)г является интегралом движения. Это обстоятельство приводит к существенному упрощению задачи интегрирования уравнений движения при наличии циклических координат.
В данном случае обобщенный импульс ре = ааг'Ф совпадает с моментом М = М (см. (9,6)), так. что мы возвращаемся к известному уже нам закону сохранения момента М тнгвф = оопа(. (14,2) Заметим, что для плоского движения одной частицы и центральном поле этот закон допускает простую геометрическую ин. терпретацию. Выражение — г ° г агр 1 представляет собой площадь сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом о дуги траектории (рис. 8). Обозначив ее как Щ, напщпем момент частицы в виде М = 2тл), (14,3) где производную 1 называют секториальной скоростью.
Поэтому сохранение момента означает постоянство секториальной скорости — за равные промежутки времени радиус-вектор двнжувйейся точки описывает равные площади (так называемый второй закон Келлера' )). Полное решение задачи о движения частицы в центральном поле проще всего получить, исходя из законов сохранения энергии и момента, не выписывая прн этом самих уравнений дви- ') Закон сохранения момента для частицы, движущейся в центральном иоле, ииогда иааывают интегралом площадей.
дВижение в цент»хлъном гюле женив. Выражая ф через М из (14,2) и подставляя в выражение для энергии, получим: Е= — ", (,'+. ф)+У(.) = —," + —,„', +и(,). (14,4) Отсюда ='~й=Мм( л~ /э м) (14,6) или, разделяя переменные и интегрируя: + сопз1, П4.61 Далее, написав (14,2) в виде М тр= — „глг, подставив сюда Ж из. (14,5) и интегрируя, находим: М вЂ” лг г» + сопз1, М» эо3 (Š— и (Т —— (14,7) Формулы (14,6) и (14,7) решают в общем виде поставленную задачу. Вторая нз них определяет связь между г и ~р, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
