Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Так, для движения одной частицы во внешнем поле общий вид функции Лагранжа ма* Е= 2 — Ц(г, О, и уравнение движения дУ глч = — —. дг ' (5,7) Однородным называют поле, во всех точках которого на частицу действует одна и та же сила Г. Потенциальная энергия в таком поле равна, очевидно: Ег = — Гг. (5,8) В заключение этого параграфа сделаем еще следующее замечание по поводу применения уравнений Лагранжа к различным конкретным задачам. Часто приходится иметь дело с такими механическими системами, в которых взаимодействие между телами (материальными точками) имеет, как говорят, характер связей, т.
е. ограничений, налагаемых на взаимное расположение тел, Фактически такие связи осуществляются пу- $ З1 ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 21 тем скрепления тел различными стержнями, нитями, шарнирами н т. п. Это обстоятельство вносит в движение новый фак* тор — движение тел сопровождается трением в местах их со. прикосновения, в результате чего задача выходит, вообще говоря, за рамки чистой механики (см. 2 25). Однако во многих случаях трение в системе оказывается настолько слабым, что его влиянием на движение можно полностью пренебречь.
Если к тому же можно пренебречь массами «скрепляющих элементов» системы, то роль последних сведется просто к уменьшению числа степеней свободы системы и (по сравнению с числом 3))(). Для определения ее движения можно при атом снова пользоваться функцией Лагранжа вида (5,5) с числом независимых обобщенных координат, отвечающих фактическому числу степеней свободы.
Задачи Найти фуякпию лагранжа следуюпгих систем, находящихся в спнор дн " поле тяжести (ускорение силы тяжести д). 1. 1(войной плоский маятник (рнс. 1), Рис. 2 Рис. 1 Решение. В качестве координат берем углы <р! и фз, которые нити 1! и (а образуют с вертикалью. Тогда для точки зг! имеем: т т Г! = — я!!1!Ф1, ГУ вЂ” пг!21! соз ф1, 2 Чтобы найти кинетическую энергию второй точки, выражаем ее декартовы координаты хз, у! (начало координат в точке подвеса, ось у — по вертикали вниз) через углы !Рп фз: хэ 1! з!п ф! + 1э з!и фз уз 1! сов ф!+ 1! сов фа После етого получим: аа ' 2 Йх+Ут) = 2 Ь1!ф(+1дфа+21!1асоз(ф1-фа) Ф!Фзз.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ Окончательно: Ь = ' 1гф!+ — '1Я~~+тз1!(ур!Ф соз(~р — ~рД+ +(т, +та)21, созе, + тза(з сов еь 2. Плоский маятник с массой тг, точка подвеса которого (с массой пи в ней) может совершать движение по горизонтальной прямой (рис 2). Решен не. Вводя координату к точки тг в угол ы между нитью вант. ника и вертикалью, получим: Ь = 2'+ — (1т<Рз+ 2(хм соз е) + тз Я1 соз ~Р. 3. Плоский маятник, точка подвеса которого: а) равномерно движется по вертикальной окружности с постоянной ча. стотой у (рис.
3); Рнс. 3 Рис. 4 б) совершает горизонтальные колебания по закону а сову!; в) совершает вертикальные нолебання по закону а сов у1. Р е ш е н и о а) Координаты точки т: х=асозуг+1з!п<у, у — аз!пу!+(спечь Функция Лагранжа т1з С вЂ” ф'+ т(ау' з!п (в — уг) + тл1 соз ~р; 2 здесь опушены члены, зависящие только от времени, и исключена полная производная по времени от та1у сов (ы — у1), б) Координаты точки т: х = а соз у1 + ! з!п <р, р = 1 сов ~р. Функция Лагранжа (после исключения полных производных) 1 Ь = — фа + т(ауз соз уг з!п у + л!21 соз йь 2 фа! Функция лАГРАнжА системы материальных точек 23 в) Аналогичным образом т!а ., л — ф'+ гл!атз аозт! соз ф+ тд! соз ф. 2 4. Система, изображенная на рис.
4; точка та движется по вертикальной осн, а зся система вращается с постоянной угловой скоростью И вокруг этой оси. Решен не. Вводим угол О между отрезком а и вертикалью и угол поворота ф всей системы вокруг оси вращения; ф = Рл Для каждой из точек ш~ элемент перемещенвя о)! а~ой +а шп Обф~. Для точки ш рас. стояние от точки подвеса А равно 2асозВ, н потому с))а = — 2аз)пай, Функция Лагранжа Ь ш,а'(О'+йззщ'В)+2шзаз з!и'В О'+2еа(т,+глз)созО. ГЛАВА 11 ЗАКОНЪ| СОХРАНЕНИЯ 5 6, Энергия При движении механической системы 2з величин д~ и д~ (1=1, 2, ..., в), определяющих ее состояние, изменяются со временем. Существуют, однако, такие функции этих величин, которые сохраняют при движении постоянные значения, зависящие только от начальных условий.
Эти функции называют интегралами движения. Число независимых интегралов движения для замкнутой механической системы с з степенями свободы равно 2в — 1. Это очевидно из следующих простых соображений. Общее решение уравнений движения содержит 2з произвольных постоянным (см. стр. 12). Поскольку уравнения движения замкнутой системы не содержат времени явно, то выбор начала отсчета времени совершенно произволен, и одна нз произвольных постоянных в. решении уравнений всегда может быть выбрана в виде аддитивной постоянной 10 во времени. Исключив 1+10 из 2з функций д,=д,(1+1„сь С„..., С„,), Ч =А(!+1, С,, С, ..., С„,), мы выразим 2з — 1 произвольных постоянных Сь См ..., Сы 1 в виде функций от а и а, которые и будут интегралами движения.
Однако далеко не все интегралы движения играют одина» ково важную роль в механике. Среди них есть несколько, постоянство которых имеет весьма глубокое происхождение, связанное с основными свойствами пространства и времени — им однородностью и изотропией. Все эти, как говорят, сохраняю. щиеся величины имеют важное общее свойство аддитивности— их значение для системы, состоящей нз частей, взаимодействием которых можно пренебречь, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности. Именно свойство аддитивности придает соответствующим величинам особенно важную механическую роль.
Предположим, например, что два тела взаимодействуют в течение некоторого времени. Поскольку как до, так и после взаимодействия каждый из аддитивных интегралов всей системы равен сумме вм значений для обоих тел в отдельности, то законы сохранения энвггия И~ Х дд д~ + ~Х г дд дг дЬ дЬ , дЬ ! если бы Е зависела явно от времени, к правой стороне равеп( дь х дЬ ства добавился бы член †). Заменяя производные — согласно д! )' дд, дЬ уравнениям Лагранжа на — —., получим: сИ дд 4 ! илн Отсюда видно, что величина дЬ е=~ д,—.— ь ддю (6, 1) остается неизменной при движении замкнутой системы, т. е. является одним из ее интегралов движения. Эта величина называется энергией системы. Аддитивность энергии непосредственно следует из аддитивности функции Лагранжа, через ко торую она выражается согласно (6,1) линейным образом.
Закон сохранения энергии справедлив не только для замкнутых систем, но и для систем, находящихся в постоянном (т. е. не зависящем от времени) внешнем поле единственное использованное в приведенном выводе свойство функции Лагранжа — отсутствие явной зависимости от времени — имеется и в этом случае. Механические системы, энергия которых гохраняется, иногда называют консервативными. Как мы видели в $ 5, лагранжева дункция замкнутой (илн находящейся в постоянном поле) системы имеет вид ь=т(д, д)-()(д), этих величин сразу дают возможность сделать ряд заключений о состоянии тел после взаимодействия, если их состояния до взаимодействия известны. Начнем с закона сохранения, возникающего в связи с однородностью времени. В силу этой однородности лагранжева функция замкнутой системы не зависит явно от времен-., Поэтому полная производная функции Лагранжа по времени может быть записана следующим образом; ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ [гл.
ы Подставляя это значение в (6,1), найдем: Е=т(р, в)+им; (6,2) в декартовых координатах Е = ~~ — '" + У (г„гм " ) Я (6,3) Таким образом, энергия системы может быть представлена в виде суммы двух существенно различных членов: кинетической энергии, зависящей от скоростей, и потенциальной энергии, зависящей только от координат частиц. $7. Импульс Другой закон сохранения возникает в связи с однородностью пространства. В силу этой однородности механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе си- стемы как целого в пространстве. В соответствии с этим рас. смотрим бесконечно малый перенос на отрезок в и потребуем, чтобы функция Лагранжа осталась неизменной.
Параллельный перенос 'означает преобразование, при кото- ром все точки системы смещаются на один и тот же постоян- ный вектор е, т. е. их радиус-векторы г,-ь.г, +е. Изменение функции Ь в результате бесконечно малого изменения коорди- нат при неизменных скоростях частиц есть дА 'г~ дЬ И.=~ — Ьг,=е р —, Ь дтпл ~ Л.ю дгд ' Ф О где суммирование производится по всем материальным точкам системы. Ввиду произвольности в требование М. =0 эквивалентно требованию ~' — „= О. дЕ В силу уравнений Лагранжа (6,2) получаем отсюда: д дГ. д дА где Т вЂ” квадратичная функция скоростей. Применяя к ней известную теорему Эйлера об однородных функциях, получимг дв .
дТ ~Юг =~,Чг —. ддг ддг импт лье Ф г! Таким образом, мы приходим к выводу, что в замкнутой механической системе векторная величина (7,2) а остается неизменной при движении. Вектор Р называется импульсом ') системы. Дифференцируя функцию Лагранжа (5,1), найдем, что импульс следующим образом выражается через скорости точек: Р = ~„гл,ч,. (7,3) Аддитивности импульса очевидна.
Более того, в отличие от энергии импульс системы равен сумме импульсов ра Гпаиа отдельных частиц вне зависимости от возможности пренебрежения взаимодействием между ними. Закон сохранения всех трех компонент вектора импульса имеет место лишь в отсутствие внешнего поля. Однако отдельные компоненты импульса могут сохраняться и при наличии поля, если потенциальная энергия в нем не зависит от какой- либо из декартовых координат. При переносе вдоль соответствующей координатной оси механические свойства системы, очевидно, не меняются, и тем же способом мы найдем, что проекция импульса на эту ось сохраняется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
