Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Теоретическая механика (1119847), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Таким образом,мы получаем уравнение дь дь — — — — = О. ггг дч дд При наличии нескольких степеней свободы в принципе наименьшего действия должны независимо варьироваться з различных функций д;(г). Очевидно, что мы получим тогда и уравнений вида — — — — =0 (1=1 2 ... з). дг, дЬ ог дд дд (2,6) Это — искомые дифференциальные уравнения; они называются в механике уравнениями Лагранжа' ). Если функция Лагранжа данной механической системы известна, то уравнения (2,6) устанавливают связь между ускорениями, скоростями и координатами, т, е. представляют собой уравнения движения системы. С математической точки зрения уравнения (2,6) составляют систему з уравнений второго порядка для з неизвестных функций дг(У), Общее решение такой системы содержит 2з произвольных постоянных.
Для их определения и тем самым полного определения движения механической системы необходимо знание начальных условий, характеризующих состояние системы в некоторый заданный момент времени, например знание начальных значений всех координат и скоростей. Пусть механическая система состоит из двух частей А и В, каждая из которых, будучи замкнутой, имела бы в качестве функции Лагранжа соответственно функции 7.л и 1.в Тогда в пределе, при разведении частей настолько далеко, чтобы взаимодействием между ними можно было пренебречь, лагранжева функция всей системы стремится к пределу 1ггп 7.
= Т.л+ 7.в. (2,7) Это свойство аддитивности функции Лагранжа выражает собой тот факт, что уравнения движения каждой из невзаимодействующих частей ие могут содержать величины, относящиеся к другим частям системы. Очевидно, что умножение функции Лагранжа механической системы на произвольную постоянную само по себе не отражается на уравнениях движения. Отсюда, казалось бы, могла 4) В ввривнионном исчислении, рассматривающем формальную задачу об оиределеиии экстремумов интегралов вида (2,1), они называются уравнениями Эйлера. пгинцнп относитвльности гхлилня 1З вытекать существенная неопределенность: функции Лагранжа различных изолированных механических систем могли бы умножаться на любые различные постоянные.
Свойство аддитивности устраняет эту неопределенность,— оио допускает лишь одновременное умножение лагранжевых функций всех систем на одинаковую постоянную, что сводится просто к естественному произволу в выборе единиц измерения этой физической вели. чины; мы вернемся еще к этому вопросу в Э 4. Необходимо сделать еще следующее общее замечание. Рассмотрим две функции Ь'(д, д, 1) и Т.(д, д, 1), отличающиеся друг от друга на полную производную по времени от какой- либо функции координат и времени ~(д,(); Т'(ц, ), 0 = ~ (Ч. А И+ — „1 (Ь ~). Вычисленные с помощью этих двух функций интегралы '(2,1) связаны соотношением 5' - ~ Ь'(д, 6, ~) й = ~ Т. (д, ), ~) Ж + ~ д,' й = в =5+1М", М вЂ” )(4" 1~) т.
е. отличаются друг от друга дополнительным членом, исче. зающим при варьировании действия, так что условие 65'* О совпадает с условием 65 = О, и вид уравнений движения остается неизменным. Таким образом, функция Лагранжа определена лишь с точ постыл до прибавления к ней полной производной от любой функции координат и времени. в 3. Принцип относительности Галилея Для изучения механических явлений надо выбрать ту или иную систему отсчета. В различных системах отсчета законы движения имеют, вообще говоря, различный вид.
Если взять' произвольную систему отсчета, то может оказаться, что законы даже совсем простых явлений будут выглядеть в ней весьма сложно. Естественно, возникает задача отыскания такой си. стемы отсчета, в которой законы механики выглядели бы наи. более просто. По отношению к произвольной системе отсчета пространство является неоднородным и пеизотропным. Это значит, что если какое-либо тело не взаимодействует нн с какими другими те.
лами, то, тем не менее, его различные положения в простран. стае и его различныс ориентации в механическом отношении не эквивалентны, То же самое относится в общем случае и ко УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 1гл. в 14 времени, которое будет неоднородным, т. е. его различные моменты иеэквивалентными. Усложнение, которое вносили бы такие свойства пространства и времени в описание механических явлений,— очевидно.
Так, например, свободное (т. е. не подвергающееся внешним воздействиям) тело не могло бы покоиться: если скорость тела в некоторый момент времени и равна нулю, то уже в следующий момент тело начало бы двигаться в некотором направлении. Оказывается, однако, что всегда можно найти такую систему отсчета, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время †однородн.
Такая система называется инерциальной. В ней, в частности, свободное тело, покоящееся в некоторый момент времени, остается в покое неограниченно долго. Мы можем теперь сразу сделать некоторые заключения о виде функции Лагрннгка свободно движущейся материальной точки в ннерциальной системе отсчета. Однородность пространства и времени означает, что эта функция не может содержать явным образом ни радиус-вектора г точки, ни времени 1, т. е. Ь является функцией лишь от скорости ч. В силу же изотроппи пространства функция Лагранжа не может зависеть также и от направления вектора ч, так что является функцией лишь от его абсолютной величины, т.
е. от квадрата ч' = пл: л. = т*. (пз). (3,1) Ввиду независимости функции Лагранжа от г дй — =О, и потому уравнения Лагранжа имеют вид') Л дЬ вЂ” — =О, Ш дч имеем дЬ дЬ откуда — = сопз1. Но поскольку — является функцией топьдч дч ко от скорости, то отсюда следует, что и ч = сопз1.
(3,2) Таким образом, мы приходим к выводу, что в инерциальной системе отсчета всякое свободное движение происходит с постоянной по величине и направлению скоростью. Это утверждение составляет содержание так называемого закона инерции. Если наряду с имеющейся у нас инерцнальной системой отсчета мы введем другую систему', движущуюся относительно первой прямолинейно и равномерно, то законы свободного движения по отношению к этой новой системе будут теми же, что г) Под пронзнолной скалярной величины по вектору подразумевается вектор, компоненты которого равны пронзводным от этой велненны по соответезвукзщнм компонентам вектора, Е 11 ФУНКЦИЯ ЛАГРАНЖА СВОБОДНОЙ МАТВРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ н по отношению к первоначальной: свободное движение снова будет происходить с постоянной скоростью.
Опыт показывает, однако, что не только законы свободного движения будут одинаковыми в этих системах, ио что они будут н во всех других механических отношениях полностью эквивалентными. Таким образом, существует не одна, а бесконечное множество инерциальиых систем отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно. Во всех этих системах свойства пространства и времени одинаковы и одинаковы все законы механики. Это утверждение составляет содержание так называемого принципа относительности Галилея — одного из важнейших принципов механики.
Все сказанное достаточно ясно свидетельствует об исключительности свойств инерциальных систем отсчета, в силу которых именно эти системы должны, как правило, использоваться прн изучении механических явлений. Везде в дальнейшем, где обратное не оговорено особо, мы будем рассматривать только ннерциальные системы отсчета. Полная механическая эквивалентность всего бесчисленного множества таких систем показывает в то же время, что не существует никакой одной «абсолютной» системы отсчета, которую можно было бы предпочесть другим системам. Координаты г и г' одной и той же точки в двух различных системах отсчета К и К', из которых вторая движется относительно первой со скоростью У, связаны друг с другом соотношением г=г'+ Уй (3,3) При этом подразумевается, что ход времени одинаков в обеих системах отсчета: (3,4) Предположение об абсолютности времени лежит в самой основе представлений классической механики ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
